2024-2025学年广东省佛山市南海区桂江一中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省佛山市南海区桂江一中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.方程x2−x=0二次项系数、一次项系数、常数项分别是(

)A.1，1，0 B.0，1，0 C.0，−1，0 D.1，−1，02.菱形的面积为12cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为(

)A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm3.根据下列表格对应值：x2.12.22.32.42.5a−0.12−0.03−0.010.060.18判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解xA.2.1<x<2.2 B.2.2<x<2.3 C.2.3<x<2.4 D.2.4<x<2.54.菱形具有而矩形不一定具有的性质是(

)A.两组对边分别平行 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.四条边相等5.将方程x2+4x+2=0配方后，原方程变形为(

)A.(x+4)2=2 B.(x+2)2=26.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，在下列条件中，能使四边形EFGH为矩形的是(

)A.AB=CD

B.AC=BD

C.AD//BC

D.AC⊥BD7.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB=2，∠ABE=45°，则DE的长为(

)A.22−2

B.12−18.关于x的一元二次方程x2+2x−k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(

)A.k>−1 B.k≥−1 C.k≤1 D.k<19.如图，以正方形ABCD的边AB为一边向内作等边△ABE，连结EC，则∠BEC的度数为(

)A.60°

B.45°

C.75°

D.67.5°10.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE=DF；②CE⊥DF；③∠AGE=∠CDF；④∠EAG=30°，其中正确的结论是(

)A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.②③④二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边中线的长是______．12.若关于x的一元二次方程mx2+nx−1=0(m≠0)的一个解是x=1，则m+n的值是

13.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2−4x−1=0的两个实数根，则14.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD，P为CD上一点，连接BP，若四边形ABCD的面积为20，纸条的宽为4，DP=2，则BP的长是______．

15.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点F，E分别在边CD，BC上，且DF=CE，连接BF、AE交于点P，连接CP，则线段CP的最小值为______．

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题8分)

解方程：x2−6x−16=017.(本小题8分)

有一个面积为54cm2的长方形，将它的一边剪短5cm，另一边剪短2cm18.(本小题8分)

在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF.求证：四边形BFDE是矩形．19.(本小题9分)

某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．

(1)求该公司销售A产品每次的增长率；

(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？20.(本小题9分)

已知关于x的一元二次方程x2+(m−4)x=4m．

(1)证明：无论m取何值，此方程必有实数根；

(2)若Rt△ABC的两直角边AC，BC的长恰好是该方程的两个实数根，且斜边AB的长为5，求m的值．21.(本小题9分)

已知菱形ABCD中，∠BAD=120°，E，F为射线BC和CD上一点，∠EAF=60°．

(1)如图，若点E，F分别在边BC，CD上，求证：CE=DF；

(2)在图中，若AB=4，求四边形AECF的面积．22.(本小题12分)

如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动.如果P，Q同时分别从A，B点出发，设出发时间为ts(t>0)．

(1)当t为何值时，△PBQ的面积是8cm2？

(2)当t为何值时，点P和点Q间的距离是6cm？

(3)如图2，若点P，点Q同时从B点出发，点P沿折线BA−AC移动，点Q沿折线BC−CA移动，其余条件均不变，求当P，Q在D点相遇时，点D与点B23.(本小题12分)

已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转(DE<AB)，∠EDF=90°，DE=DF，连接AE，CF．

(1)如图1，求证：△ADE≌△CDF；

(2)直线AE与CF相交于点G．

①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；

②如图3，连接BG，若AB=5，DE=3，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．

参考答案1.D

2.B

3.C

4.D

5.B

6.D

7.A

8.A

9.C

10.A

11.5

12.1

13.−4

14.215.516.解：原方程变形为(x−8)(x+2)=0

x−8=0或x+2=0

∴x1=8，17.解：设这个正方形的边长为x cm，则原长方形的长为(x+5)cm，宽为(x+2)cm，

依题意，得：(x+5)(x+2)=54，

整理，得：x2+7x−44=0，

解得：x1=4，x2=−11(不合题意，舍去)18.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB/​/CD，

∵BE/​/DF，BE=DF，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴四边形BFDE是矩形．

19.解：(1)设该公司销售A产品每次的增长率为x，

依题意，得：20(1+x)2=45，

解得：x1=0.5=50%，x2=−2.5(不合题意，舍去)．

答：该公司销售A产品每次的增长率为50%．

(2)设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出(30+y0.5×20)套，

依题意，得：(2−y)(30+y0.5×20)=70，

整理，得：4y2−5y+1=0，

解得：y120.(1)证明：由条件可得：x2+(m−4)x−4m=0，

∵Δ=(m−4)2−4×(−4m)

=m2−8m+16+16m

=(m+4)2≥0，

∴无论m取何值，此方程必有实数根；

(2)解：解方程x2+(m−4)x−4m=0得(x−4)(x+m)=0，

解得x1=−m，x2=4，

∵Rt△ABC的两直角边AC，BC的长恰好是该方程的两个实数根，且斜边AB的长为5，

∴AC2+BC2=21.(1)证明：如图1，连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，

∴AD=CD，∠BCD=∠BAD=120°，∠DAC=12∠BAD=60°，∠ACE=12∠BCD=60°，

∴△ADC是等边三角形，

∴AC=AD，∠D=∠CAD=60°，

∴∠ACE=∠D，

∵∠EAF=60°，

∴∠EAF−∠CAF=∠CAD−∠CAF，

即∠CAE=∠DAF，

∴△CAE≌△DAF(ASA)，

∴CE=DF；

(2)解：如图2，过A作AM⊥CD于点M，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=CD=AB=4，

∵△ADC是等边三角形，

∵AM⊥CD，

∴DM=12CD=2，

∴AM=AD2−DM2=22.解：(1)∵PA=t.BQ=2t，AB=6，

∴PB=6−t，

由题意12(6−t)⋅2t=8，

解得t=2或4，

∴当t为2s或4s时，△PBQ的面积是8cm2．

(2)由题意：(6−t)2+(2t)2=62，

解得t1=0(舍)，t2=125，

∴当t为125s时，点P和点Q间的距离是6cm．

(3)∵∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，

∴AC=AB2+BC2=10cm，

23.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠ADC=90°，

∵DE=DF，∠EDF=90°，

∴∠ADC=∠EDF，

∴∠ADE=∠CDF，

∴△ADE≌△CDF(SAS)；

(2)①证明：如图，设AG与CD相交于点P．

∠ADP=90°，

∠DAP+∠DPA=90°，

∵△ADE≌△CDF，

∴∠DAE=∠DCF．

∵∠DPA=∠GPC，

∴∠DAE+∠DPA=∠GPC+∠GCP=90°．

∠PGN=90°，

∵BM⊥AG，BN⊥GN，

∴四边形BMGN是矩形，

∴∠MBN=90°

∵四边形ABCD是