2024-2025人教高中物理同步讲义练习选择性必修二1.3带电粒子在匀强磁场中的运动 （含答案） （人教2019选择性必修二）

2024-2025人教高中物理同步讲义练习选择性必修二1.3带电粒子在匀强磁场中的运动基础导学要点一、带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动1．洛伦兹力的作用效果洛伦兹力只改变带电粒子速度的方向，不改变带电粒子速度的大小，或者说洛伦兹力不对带电粒子做功，不改变粒子的能量。2．带电粒子的运动规律沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动。洛伦兹力总与速度方向垂直，正好起到了向心力的作用。eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(公式：qvB＝m\f(v2,r),半径：r＝\f(mv,qB),周期：T＝\f(2πm,qB)))3．圆心、半径、运动时间的分析思路(1)圆心的确定：带电粒子垂直进入磁场后，一定做圆周运动，其速度方向一定沿圆周的切线方向，因此圆心的位置必是两速度方向垂线的交点，如图(a)所示，或某一速度方向的垂线与圆周上两点连线中垂线的交点，如图(b)所示．(2)运动半径大小的确定：一般先作入射点、出射点对应的半径，并作出相应的辅助三角形，然后利用三角函数求解出半径的大小．(3)运动时间的确定：首先利用周期公式T＝eq\f(2πm,qB)，求出运动周期T，然后求出粒子运动的圆弧所对应的圆心角α，其运动时间t＝eq\f(α,2π)T.(4)圆心角的确定：①带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向间的夹角φ叫偏向角．偏向角等于圆心角即φ＝α，如图所示．②某段圆弧所对应的圆心角是这段圆弧弦切角的二倍，即α＝2θ.[特别提醒]带电粒子(不计重力)以一定的速度v进入磁感应强度为B的匀强磁场时的运动轨迹：(1)当v∥B时，带电粒子将做匀速直线运动．(2)当v⊥B时，带电粒子将做匀速圆周运动．(3)当带电粒子斜射入磁场时，带电粒子将沿螺旋线运动．4、带电粒子在三类有界磁场中的运动轨迹特点(1)直线边界：进出磁场具有对称性。(2)平行边界：存在临界条件。(3)圆形边界：沿径向射入必沿径向射出。要点突破突破一：带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动1．轨迹圆心的两种确定方法（1）已知粒子运动轨迹上两点的速度方向时，作这两速度方向的垂线，交点即为圆心，如图所示。（2）已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向时，画出粒子轨迹上的两点连线(即过这两点的圆的弦)，作它的中垂线，并画出已知点的速度方向的垂线，则弦的中垂线与速度方向的垂线的交点即为圆心，如图所示。2．三种求半径的方法（1）根据半径公式r＝eq\f(mv,qB)求解。（2）根据勾股定理求解，如图所示，若已知出射点相对于入射点侧移了x，则满足r2＝d2＋(r－x)2。（3）根据三角函数求解，如图所示，若已知出射速度方向与入射方向的夹角为θ，磁场的宽度为d，则有关系式r＝eq\f(d,sinθ)。3．四种角度关系（1）如图所示，速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)。（2）圆心角α等于AB弦与速度方向的夹角(弦切角θ)的2倍(φ＝α＝2θ＝ωt)。（3）相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ＋θ′＝180°。（4）进出同一直线边界时速度方向与该直线边界的夹角相等。4．两种求时间的方法（1）利用圆心角求解，若求出这部分圆弧对应的圆心角，则t＝eq\f(θ,2π)T。（2）利用弧长s和速度v求解，t＝eq\f(s,v)。5.分析带电粒子在磁场中做圆周运动问题的要点（1）确定粒子的运动轨迹、半径、圆心角等是解决此类问题的关键。（2）掌握粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨迹半径公式和周期公式是分析此类问题的依据。例一如右图所示，一束电子的电荷量为e，以速度v垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的有界匀强磁场中，穿过磁场时的速度方向与原来电子入射方向的夹角是30°，则电子的质量是多少？电子穿过磁场的时间又是多少？突破二：现代科技中的应用装置原理图规律速度选择器若qv0B＝Eq，即v0＝eq\f(E,B)，粒子做匀速直线运动磁流体发电机等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极间电压为U时稳定，qeq\f(U,d)＝qv0B，U＝Bdv0电磁流量计eq\f(U,D)q＝qvB，所以v＝eq\f(U,DB)，所以Q＝vS＝eq\f(πDU,4B)霍尔元件当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差典例精析题型一带电粒子在磁场中运动的半径和周期例一已知氢核与氦核的质量之比m1∶m2＝1∶4，电荷量之比q1∶q2＝1∶2，当氢核与氦核以v1∶v2＝4∶1的速度垂直于磁场方向射入磁场后，分别做匀速圆周运动，则氢核与氦核运动半径之比r1∶r2＝________，周期之比T1∶T2＝________.若它们以相同的动能射入磁场，其圆周运动半径之比r1′∶r2′＝________，周期之比T1′∶T2′＝________.变式迁移1：质子(11H)和α粒子(24He)从静止开始经相同的电势差加速后垂直进入同一匀强磁场做匀速圆周运动，则这两个粒子的动能之比Ek1∶Ek2＝________，轨道半径之比r1∶r2＝________，周期之比T1∶T2＝________.题型二带电粒子在磁场中的匀速圆周运动例二如右图所示，在第一象限有一匀强电场，场强大小为E，方向与y轴平行；在x轴下方有一匀强磁场，磁场方向与纸面垂直．一质量为m、电荷量为－q(q＞0)的粒子以平行于x轴的速度从y轴上的P点处射入电场，在x轴上的Q点处进入磁场，并从坐标原点O离开磁场．粒子在磁场中的运动轨迹与y轴交于M点．已知OP＝l，OQ＝2eq\r(3)l.不计重力．求：(1)M点与坐标原点O间的距离；(2)粒子从P点运动到M点所用的时间．变式迁移2：如右图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场边界上，有两个质量、电荷量均相等的正、负离子(不计重心)，从O点以相同的速度射入磁场中，射入方向均与边界成θ角，则正、负离子在磁场中运动的过程，下列判断错误的是()A．运动的轨道半径相同B．重新回到磁场边界时速度大小和方向都相同C．运动的时间相同D．重新回到磁场边界的位置与O点距离相等题型三带电粒子在有界磁场中运动的临界问题例三如右图所示，在真空区域内，有宽度为L的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场方向垂直纸面向里，MN、PQ是磁场的边界，一质量为m，带电荷量为－q的粒子，先后两次沿着与MN夹角为θ(0°<θ<90°)的方向垂直于磁感线射入匀强磁场中．第一次粒子以速度v1射入磁场，粒子刚好没能从PQ边界射出磁场；第二次粒子以速度v2射入磁场，粒子刚好垂直PQ射出磁场．不计粒子重力，v1，v2均为未知量，求eq\f(v1,v2)值．变式迁移3：长为L的水平极板间，有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为L，极板不带电．现有质量为m，电荷量为q的带正电粒子(重力不计)，从左边极板间中点处垂直磁场以速度v水平入射，如下图所示．欲使粒子不打在极板上，可采用的方法是()A．使粒子速度v＜eq\f(BqL,4m)B．使粒子速度v＞eq\f(5BqL,4m)C．使粒子速度v＞eq\f(BqL,4m)D．使粒子速度eq\f(BqL,4m)＜v＜eq\f(5BqL,4m)强化训练一、选择题1．两相邻匀强磁场区域的磁感应强度大小不同、方向平行．一速度方向与磁感应强度方向垂直的带电粒子（不计重力），从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后，粒子的A．轨道半径减小，角速度增大B．轨道半径减小，角速度减小C．轨道半径增大，角速度增大D．轨道半径增大，角速度减小2．两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示．不计粒子的重力，下列说法正确的是（）A．a粒子带正电，b粒子带负电B．a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大C．b粒子动能较大D．b粒子在磁场中运动时间较长3．如图，MN为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于图平面的匀强磁场（未画出）．一带电粒子从紧贴铝板上表面的P点垂直于铝板向上射出，从Q点穿过铝板后到达PQ的中点O，已知粒子穿越铝板时，其动能损失一半，速度方向和电荷量不变，不计重力．铝板上方和下方的磁感应强度大小之比为A．2B．C．1D．4..如右图所示，带负电的粒子以速度v从粒子源P处射出，若图中匀强磁场范围足够大(方向垂直纸面)，则带电粒子的可能轨迹是()A．a B．bC．c D．d5.如右图所示，ab是一弯管，其中心线是半径为R的一段圆弧，将它置于一给定的匀强磁场中，磁场方向垂直于圆弧所在平面，并且指向纸外．有一束粒子对准a端射入弯管，粒子有不同的质量、不同的速度，但都是一价正离子()A．只有速度v大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管B．只有质量m大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管C．只有质量m与速度v的乘积大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管D．只有动能Ek大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管6．【多选】如下图所示，正方形容器处于匀强磁场中，一束电子从孔a垂直于磁场沿ab方向射入容器中，一部分从c孔射出，一部分从d孔射出，容器处于真空中，则下列结论中正确的是()A．从两孔射出的电子速率之比vc∶vd＝2∶1B．从两孔射出的电子在容器中运动的时间之比tc∶td＝1∶2C．从两孔射出的电子在容器中运动的加速度大小之比ac∶ad＝eq\r(2)∶1D．从两孔射出的电子在容器中运动的角速度之比ωc∶ωd＝2∶17．如图所示，某带电粒子（重力不计）由M点以垂直于磁场以及磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与原来射入方向的夹角为θ=30°。磁场的磁感应强度大小为B．由此推断该带电粒子（）A．带正电 B．在磁场中的运动轨迹为抛物线C．电荷量与质量的比值为 D．穿越磁场的时间为8．如图，直角坐标xOy平面内，有一半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里，边界与x、y轴分别相切于a、b两点。一质量为m，电荷量为q的带电粒子从b点沿平行于x轴正方向进入磁场区域，离开磁场后做直线运动，经过x轴时速度方向与x轴正方向的夹角为60°，下列判断正确的是()A．粒子带正电 B．粒子在磁场中运动的轨道半径为RC．粒子运动的速率为 D．粒子在磁场中运动的时间为9．【多选】如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个质量和电荷量均相同的正负离子(不计重力)，从点O以相同的速率先后射入磁场中，入射方向与边界成θ角，则正负离子在磁场中()A．运动时间相同B．运动轨道的半径相同C．重新回到边界时速度的大小和方向相同D．重新回到边界的位置与O点距离相等10．圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，三个比荷相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率沿着AO方向对准圆心O射入磁场，其运动轨迹如图所示。若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是（）A．磁场方向一定垂直于纸面向外B．粒子a、b、c一定都带正电C．粒子c所受的向心力一定最大D．粒子c在磁场中运动的时间一定最长11．如图为洛伦兹力演示仪的结构图，励磁线圈产生的匀强磁场方向垂直纸面向外，电子束由电子枪产生，其速度方向与磁场方向垂直。电子速度大小可通过电子枪的加速电压来控制，磁感应强度可通过励磁线圈的电流来调节。下列说法正确的是（）A．仅减小电子枪的加速电压，电子束径迹的半径变小B．仅增大电子枪的加速电压，电子做圆周运动的周期变大C．仅减小励磁线圈的电流，电子束径迹的半径变小D．仅增大励磁线圈的电流，电子做圆周运动的周期变大12.如右图所示，一个静止的质量为m、带电荷量为q的粒子(不计重力)，经电压U加速后垂直进入磁感应强度为B的匀强磁感中，粒子打至P点，设OP＝x，能够正确反应x与U之间的函数关系的是()13.如右图所示，a和b带电荷量相同，以相同动能从A点射入磁场，在匀强磁场中做圆周运动的半径ra＝2rb，则可知(重力不计)()A．两粒子都带正电，质量比ma/mb＝4B．两粒子都带负电，质量比ma/mb＝4C．两粒子都带正电，质量比ma/mb＝1/4D．两粒子都带负电，质量比ma/mb＝1/414．【多选】如右图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，则()A．从P射出的粒子速度大B．从Q射出的粒子速度大C．从P射出的粒子，在磁场中运动的时间长D．两粒子在磁场中运动的时间一样长一、解答题15．如图所示，一电荷量为q的带电粒子，以速度v垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的有界匀强磁场中，射出磁场时的速度方向与原来粒子的入射方向的夹角θ=60°，求：（1）带电粒子在磁场中运动的轨道半径r；（2）带电粒子的电性和质量m；（3）带电粒子穿过磁场的时间t．16．如图所示，在平面直角坐标系xOy的第四象限有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0T，在y轴上P点有一粒子源，沿纸面向磁场发射速率不同的粒子，均沿与y轴负方向间夹角=的方向，已知粒子质量均为m=5.0×10－8kg，电荷量q=1.0×10－8C，LOP=30cm，取π=3。（不计粒子间相互作用及粒子重力）(1)若某粒子垂直x轴飞出磁场，求该粒子在磁场中的运动时间；(2)若某粒子不能进入x轴上方，求该粒子速度大小满足的条件。17.如图所示，在坐标系xOy平面第I象限内有垂直于纸面向外的匀强磁场，一比荷为108C/kg的带电粒子从y轴上的P点以速度v=4104m/s沿着与y轴正方向成45角的方向射入匀强磁场，并恰好垂直于x轴射出磁场，已知。求：（1）匀强磁场的磁感应强度；（2）粒子射出磁场位置的坐标；（3）粒子在磁场中运动的时间。18．如右图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A2A4与A1A3的夹角为60°.一质量为m、带电荷量为＋q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A1处沿与A1A3成30°角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A2A4的方向经过圆心O进入Ⅱ区，最后再从A4处射出磁场．已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小(忽略粒子重力)．1.3带电粒子在匀强磁场中的运动基础导学要点一、带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动1．洛伦兹力的作用效果洛伦兹力只改变带电粒子速度的方向，不改变带电粒子速度的大小，或者说洛伦兹力不对带电粒子做功，不改变粒子的能量。2．带电粒子的运动规律沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动。洛伦兹力总与速度方向垂直，正好起到了向心力的作用。eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(公式：qvB＝m\f(v2,r),半径：r＝\f(mv,qB),周期：T＝\f(2πm,qB)))3．圆心、半径、运动时间的分析思路(1)圆心的确定：带电粒子垂直进入磁场后，一定做圆周运动，其速度方向一定沿圆周的切线方向，因此圆心的位置必是两速度方向垂线的交点，如图(a)所示，或某一速度方向的垂线与圆周上两点连线中垂线的交点，如图(b)所示．(2)运动半径大小的确定：一般先作入射点、出射点对应的半径，并作出相应的辅助三角形，然后利用三角函数求解出半径的大小．(3)运动时间的确定：首先利用周期公式T＝eq\f(2πm,qB)，求出运动周期T，然后求出粒子运动的圆弧所对应的圆心角α，其运动时间t＝eq\f(α,2π)T.(4)圆心角的确定：①带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向间的夹角φ叫偏向角．偏向角等于圆心角即φ＝α，如图所示．②某段圆弧所对应的圆心角是这段圆弧弦切角的二倍，即α＝2θ.[特别提醒]带电粒子(不计重力)以一定的速度v进入磁感应强度为B的匀强磁场时的运动轨迹：(1)当v∥B时，带电粒子将做匀速直线运动．(2)当v⊥B时，带电粒子将做匀速圆周运动．(3)当带电粒子斜射入磁场时，带电粒子将沿螺旋线运动．4、带电粒子在三类有界磁场中的运动轨迹特点(1)直线边界：进出磁场具有对称性。(2)平行边界：存在临界条件。(3)圆形边界：沿径向射入必沿径向射出。要点突破突破一：带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动1．轨迹圆心的两种确定方法（1）已知粒子运动轨迹上两点的速度方向时，作这两速度方向的垂线，交点即为圆心，如图所示。（2）已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向时，画出粒子轨迹上的两点连线(即过这两点的圆的弦)，作它的中垂线，并画出已知点的速度方向的垂线，则弦的中垂线与速度方向的垂线的交点即为圆心，如图所示。2．三种求半径的方法（1）根据半径公式r＝eq\f(mv,qB)求解。（2）根据勾股定理求解，如图所示，若已知出射点相对于入射点侧移了x，则满足r2＝d2＋(r－x)2。（3）根据三角函数求解，如图所示，若已知出射速度方向与入射方向的夹角为θ，磁场的宽度为d，则有关系式r＝eq\f(d,sinθ)。3．四种角度关系（1）如图所示，速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)。（2）圆心角α等于AB弦与速度方向的夹角(弦切角θ)的2倍(φ＝α＝2θ＝ωt)。（3）相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ＋θ′＝180°。（4）进出同一直线边界时速度方向与该直线边界的夹角相等。4．两种求时间的方法（1）利用圆心角求解，若求出这部分圆弧对应的圆心角，则t＝eq\f(θ,2π)T。（2）利用弧长s和速度v求解，t＝eq\f(s,v)。5.分析带电粒子在磁场中做圆周运动问题的要点（1）确定粒子的运动轨迹、半径、圆心角等是解决此类问题的关键。（2）掌握粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨迹半径公式和周期公式是分析此类问题的依据。例一如右图所示，一束电子的电荷量为e，以速度v垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的有界匀强磁场中，穿过磁场时的速度方向与原来电子入射方向的夹角是30°，则电子的质量是多少？电子穿过磁场的时间又是多少？解析：电子在磁场中运动时，只受洛伦兹力作用，故其轨道是圆弧的一部分．又因为洛伦兹力与速度v垂直，故圆心应在电子穿入和穿出时洛伦兹力延长线的交点上．从图中可以看出，AB弧所对的圆心角θ＝30°＝eq\f(π,6)，OB即为半径r，由几何关系可得r＝eq\f(d,sinθ)＝2d.由半径公式r＝eq\f(mv,Bq)得m＝eq\f(qBr,v)＝eq\f(2deB,v).带电粒子通过AB弧所用的时间，即穿过磁场的时间为t＝eq\f(θ,2π)T＝eq\f(1,12)×T＝eq\f(1,12)×eq\f(2πm,Be)＝eq\f(πm,6Be)＝eq\f(πd,3v).答案：m＝eq\f(2deB,v)t＝eq\f(πd,3v)突破二：现代科技中的应用装置原理图规律速度选择器若qv0B＝Eq，即v0＝eq\f(E,B)，粒子做匀速直线运动磁流体发电机等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极间电压为U时稳定，qeq\f(U,d)＝qv0B，U＝Bdv0电磁流量计eq\f(U,D)q＝qvB，所以v＝eq\f(U,DB)，所以Q＝vS＝eq\f(πDU,4B)霍尔元件当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差典例精析题型一带电粒子在磁场中运动的半径和周期例一已知氢核与氦核的质量之比m1∶m2＝1∶4，电荷量之比q1∶q2＝1∶2，当氢核与氦核以v1∶v2＝4∶1的速度垂直于磁场方向射入磁场后，分别做匀速圆周运动，则氢核与氦核运动半径之比r1∶r2＝________，周期之比T1∶T2＝________.若它们以相同的动能射入磁场，其圆周运动半径之比r1′∶r2′＝________，周期之比T1′∶T2′＝________.解析：带电粒了射入磁场后，根据粒子做圆周运动的半径公式得eq\f(r1,r2)＝eq\f(\f(m1v1,q1B),\f(m2v2,q2B))＝eq\f(m1v1q2,m2v2q1)＝eq\f(2,1)，同理由周期公式得eq\f(T1,T2)＝eq\f(\f(2πm1,q1B),\f(2πm2,q2B))＝eq\f(m1q2,m2q1)＝eq\f(1×2,4×1)＝eq\f(1,2).以相同动能射入磁场时，因mv＝eq\r(2Ekm)，所以eq\f(r1′,r2′)＝eq\f(\f(\r(2Ekm1),Bq1),\f(\r(2Ekm2),Bq2))＝eq\f(\r(m1)·q2,\r(m2)·q1)＝eq\f(\r(1)×2,\r(4)×1)＝1.由于周期只与B、m、q无关，与v、r无关，所以eq\f(T1′,T2′)＝eq\f(T1,T2)＝eq\f(1,2).答案：2∶11∶21∶11∶2【反思总结】认识基本粒子的质量和所带电荷量，掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式和周期公式是解决此类题的关键．变式迁移1：质子(11H)和α粒子(24He)从静止开始经相同的电势差加速后垂直进入同一匀强磁场做匀速圆周运动，则这两个粒子的动能之比Ek1∶Ek2＝________，轨道半径之比r1∶r2＝________，周期之比T1∶T2＝________.解析：粒子在电场中加速时，只有静电力做功，由动能定理得qU＝eq\f(1,2)mv2，故eq\f(Ek1,Ek2)＝eq\f(q1U,q2U)＝eq\f(q1,q2)＝eq\f(1,2)，同时也能求得v＝eq\r(\f(2qU,m))，因为粒子在磁场中运动的轨迹半径r＝eq\f(mv,qB)＝eq\f(m,qB)eq\r(\f(2qU,m))＝eq\f(1,B)eq\r(\f(2mU,q))，所以有eq\f(r1,r2)＝eq\f(\r(\f(m1,q1)),\r(\f(m2,q2)))＝eq\f(1,\r(2))，粒子做圆周运动的周期T＝eq\f(2πm,qB)，故eq\f(T1,T2)＝eq\f(m1/q1,m2/q2)＝eq\f(1,2).答案：1∶21∶eq\r(2)1∶2题型二带电粒子在磁场中的匀速圆周运动例二如右图所示，在第一象限有一匀强电场，场强大小为E，方向与y轴平行；在x轴下方有一匀强磁场，磁场方向与纸面垂直．一质量为m、电荷量为－q(q＞0)的粒子以平行于x轴的速度从y轴上的P点处射入电场，在x轴上的Q点处进入磁场，并从坐标原点O离开磁场．粒子在磁场中的运动轨迹与y轴交于M点．已知OP＝l，OQ＝2eq\r(3)l.不计重力．求：(1)M点与坐标原点O间的距离；(2)粒子从P点运动到M点所用的时间．解析：(1)带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，在x正方向上做匀速直线运动，在y负方向上做初速度为零的匀加速运动，设加速度大小为a；粒子从P点运动到Q点所用的时间为t1，进入磁场时速度方向与x轴正方向的夹角为θ，则OP＝l＝eq\f(1,2)at12，OQ＝2eq\r(3)l＝v0t1，a＝eq\f(qE,m)，解得v0＝eq\r(\f(6qEl,m))到Q点时，vy＝at1＝eq\r(\f(2qEl,m))，则tanθ＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(\r(3),3)，即θ＝30°.粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道如右图所示，因OQ＝2Rsin30°，则R＝OQ＝2eq\r(3)l由几何关系得OM＝2Rcos30°＝6l(2)粒子在电场中运动的时间t1＝eq\f(OQ,v0)＝eq\r(\f(2mL,qE))，在磁场中运动的速度v＝eq\f(v0,cosθ)＝2eq\r(\f(2qH,m)).因M、O、Q在圆周上，∠MOQ＝90°，所以MQ是直径，粒子从Q运动到M所用的时间t2＝eq\f(1,2)·eq\f(2πR,v)＝eq\f(\r(3),2)πeq\r(\f(2ml,qE))故从P点运动到M点的时间t总＝t＋t′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),2)π))eq\r(\f(2ml,qE))答案：(1)6l(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),2)π))eq\r(\f(2ml,qE))【反思总结】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题方法——三步法：(1)画轨迹：即确定圆心，几何方法求半径并画出轨迹．(2)找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系．(3)用规律：即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式．变式迁移2：如右图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场边界上，有两个质量、电荷量均相等的正、负离子(不计重心)，从O点以相同的速度射入磁场中，射入方向均与边界成θ角，则正、负离子在磁场中运动的过程，下列判断错误的是()A．运动的轨道半径相同B．重新回到磁场边界时速度大小和方向都相同C．运动的时间相同D．重新回到磁场边界的位置与O点距离相等解析：本题为带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，由圆周运动知识可得带电粒子运动的轨道半径R＝eq\f(mv,qB)，周期T＝eq\f(2πm,qB)，可得其轨道半径和周期都一样，因此A不符合题意．由于粒子带电性质不同导致从O点进入磁场后偏转方向不同，带正电的粒子向左侧偏转，带负电的粒子向右侧偏转，其轨迹分别如图中1和2所示；由对称性可知粒子重新回到磁场边界时速度大小和方向必定相同，而且出磁场边界的位置距离O点的距离也相同，故B、D不符合题意；由图可知该正、负粒子做圆周运动偏转角度不同，因此其运动时间不同，本题正确答案为C.答案：C题型三带电粒子在有界磁场中运动的临界问题例三如右图所示，在真空区域内，有宽度为L的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场方向垂直纸面向里，MN、PQ是磁场的边界，一质量为m，带电荷量为－q的粒子，先后两次沿着与MN夹角为θ(0°<θ<90°)的方向垂直于磁感线射入匀强磁场中．第一次粒子以速度v1射入磁场，粒子刚好没能从PQ边界射出磁场；第二次粒子以速度v2射入磁场，粒子刚好垂直PQ射出磁场．不计粒子重力，v1，v2均为未知量，求eq\f(v1,v2)值．【思路点拨】eq\x(\a\al(偏转,方向))→eq\x(\a\al(半径、圆,心位置))→eq\x(\a\al(临界、,轨迹))→eq\x(\a\al(临界,半径))→eq\x(\a\al(临界,速度))解析：第一次粒子刚好没能从PQ边界射出磁场区域，其对应运动轨迹如图甲所示，根据几何知识有L＝R1＋R1cosθ，则R1＝eq\f(L,1＋cosθ)，v1＝eq\f(qBR1,m)＝eq\f(qBL,m1＋cosθ)第二次粒子刚好垂直PQ边界飞出，其对应运动轨迹如图乙所示，根据几何知识有R2＝eq\f(L,cosθ)，v2＝eq\f(qBR2,m)＝eq\f(qBL,mcosθ)，所以eq\f(v1,v2)＝eq\f(cosθ,1＋cosθ).，答案：eq\f(cosθ,1＋cosθ)【反思总结】解决带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，一般按以下步骤进行：(1)根据磁场方向和带电粒子速度方向找出半径方向；(2)根据磁场边界和题设条件画出粒子的运动轨迹；(3)根据运动轨迹确定圆心位置，建立几何关系；(4)根据运动规律列方程求解．变式迁移3：长为L的水平极板间，有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为L，极板不带电．现有质量为m，电荷量为q的带正电粒子(重力不计)，从左边极板间中点处垂直磁场以速度v水平入射，如下图所示．欲使粒子不打在极板上，可采用的方法是()A．使粒子速度v＜eq\f(BqL,4m)B．使粒子速度v＞eq\f(5BqL,4m)C．使粒子速度v＞eq\f(BqL,4m)D．使粒子速度eq\f(BqL,4m)＜v＜eq\f(5BqL,4m)解析：当粒子紧擦上极板右边缘飞出时(如右图)，半径为R，则L2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R－\f(L,2)))2＝R2，R＝eq\f(5,4)L.由R＝eq\f(mv,qB)得v＝eq\f(qBR,m)＝eq\f(5qBL,4m)，即当粒子的速度v＞eq\f(5qBL,4m)时，粒子就打不到极板上，故B正确．当粒子紧擦着上极板左边缘飞出时(如图所示)R＝eq\f(L,4)，由R＝eq\f(mv,qB)得v＝eq\f(qBR,m)＝eq\f(qBL,4m)，即当粒子的速度v＜eq\f(qBL,4m)时，粒子也不能打到极板上，故欲使粒子不打到极板上，则v＜eq\f(qBL,4m)或v＞eq\f(5qBL,4m).答案：AB强化训练一、选择题1．两相邻匀强磁场区域的磁感应强度大小不同、方向平行．一速度方向与磁感应强度方向垂直的带电粒子（不计重力），从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后，粒子的A．轨道半径减小，角速度增大B．轨道半径减小，角速度减小C．轨道半径增大，角速度增大D．轨道半径增大，角速度减小【答案】D【详解】由于磁场方向与速度方向垂直，粒子只受到洛伦兹力作用，即，轨道半径，洛伦兹力不做功，从较强到较弱磁场区域后，速度大小不变，但磁感应强度变小，轨道半径变大，根据角速度可判断角速度变小，选项D正确．2．两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示．不计粒子的重力，下列说法正确的是（）A．a粒子带正电，b粒子带负电B．a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大C．b粒子动能较大D．b粒子在磁场中运动时间较长【答案】C【详解】A．粒子向右运动，根据左手定则，b向上偏转，应当带正电；a向下偏转，应当带负电，故A错误．BC．洛伦兹力提供向心力，即：，得：，故半径较大的b粒子速度大，动能也大．由公式f=qvB，故速度大的b受洛伦兹力较大．故B错误，C正确．D．磁场中偏转角大的运动的时间也长；a粒子的偏转角大，因此运动的时间就长．故D错误．3．如图，MN为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于图平面的匀强磁场（未画出）．一带电粒子从紧贴铝板上表面的P点垂直于铝板向上射出，从Q点穿过铝板后到达PQ的中点O，已知粒子穿越铝板时，其动能损失一半，速度方向和电荷量不变，不计重力．铝板上方和下方的磁感应强度大小之比为A．2B．C．1D．【答案】D【详解】由动能公式，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动洛仑兹力提供向心力得，联立可得，上下磁场磁感应强度之比为，D正确．4..如右图所示，带负电的粒子以速度v从粒子源P处射出，若图中匀强磁场范围足够大(方向垂直纸面)，则带电粒子的可能轨迹是()A．a B．bC．c D．d解析：粒子的出射方向必定与它的运动轨迹相切，故轨迹a、c均不可能，正确答案为B、D.答案：BD5.如右图所示，ab是一弯管，其中心线是半径为R的一段圆弧，将它置于一给定的匀强磁场中，磁场方向垂直于圆弧所在平面，并且指向纸外．有一束粒子对准a端射入弯管，粒子有不同的质量、不同的速度，但都是一价正离子()A．只有速度v大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管B．只有质量m大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管C．只有质量m与速度v的乘积大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管D．只有动能Ek大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管解析：因为粒子能通过弯管要有一定的半径，其半径r＝R.所以r＝R＝eq\f(mv,qB)，由粒子的q、B都相同，则只有当mv一定时，粒子才能通过弯管．答案：C6．【多选】如下图所示，正方形容器处于匀强磁场中，一束电子从孔a垂直于磁场沿ab方向射入容器中，一部分从c孔射出，一部分从d孔射出，容器处于真空中，则下列结论中正确的是()A．从两孔射出的电子速率之比vc∶vd＝2∶1B．从两孔射出的电子在容器中运动的时间之比tc∶td＝1∶2C．从两孔射出的电子在容器中运动的加速度大小之比ac∶ad＝eq\r(2)∶1D．从两孔射出的电子在容器中运动的角速度之比ωc∶ωd＝2∶1解析：因为r＝eq\f(mv,qB)，从a孔射入，经c，d两孔射出的粒子的轨道半径分别为正方形边长和eq\f(1,2)边长，所以eq\f(vc,vd)＝eq\f(rc,rd)＝eq\f(2,1)，A正确；粒子在同一匀强磁场中的运动周期T＝eq\f(2πm,qB)相同，因为tc＝eq\f(T,4)，td＝eq\f(T,2)，所以eq\f(tc,td)＝eq\f(1,2)，B正确；因为向心加速度an＝eq\f(qvB,m)，所以eq\f(ac,ad)＝eq\f(vc,vd)＝eq\f(2,1)，C错误；因为ω＝eq\f(2π,T)，所以ω相同，D错误．答案：AB7．如图所示，某带电粒子（重力不计）由M点以垂直于磁场以及磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与原来射入方向的夹角为θ=30°。磁场的磁感应强度大小为B．由此推断该带电粒子（）A．带正电 B．在磁场中的运动轨迹为抛物线C．电荷量与质量的比值为 D．穿越磁场的时间为【答案】D【详解】A．根据左手定则，粒子带负电，A错误；B．该粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹是圆周的一部分，B错误；C．根据牛顿第二定律又因为解得C错误；D．穿越磁场的时间为,解得D正确。故选D。8．如图，直角坐标xOy平面内，有一半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里，边界与x、y轴分别相切于a、b两点。一质量为m，电荷量为q的带电粒子从b点沿平行于x轴正方向进入磁场区域，离开磁场后做直线运动，经过x轴时速度方向与x轴正方向的夹角为60°，下列判断正确的是()A．粒子带正电 B．粒子在磁场中运动的轨道半径为RC．粒子运动的速率为 D．粒子在磁场中运动的时间为【答案】C【详解】粒子的轨迹如图所示，向下偏转，所以粒子带负电，根据几何知识可得解得故根据可得粒子运动的速率为从图中可知粒子轨迹所对圆心角为60°，故粒子在磁场中运动的时间为故选C。9．【多选】如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个质量和电荷量均相同的正负离子(不计重力)，从点O以相同的速率先后射入磁场中，入射方向与边界成θ角，则正负离子在磁场中()A．运动时间相同B．运动轨道的半径相同C．重新回到边界时速度的大小和方向相同D．重新回到边界的位置与O点距离相等【答案】BCD【详解】A.根据左手定则可以判断，两粒子运动轨迹不同，转过的圆心角不同，但是运动周期相同，所以运动时间不同，A错误．B.根据可知，粒子运动半径相同，B正确．C.因为从同一边界射入，又从相同边界射出，所以出射角等于入射角，且洛仑兹力时刻与速度垂直，不做功，所以出射速度大小与入射速度相同，C正确．D.根据题意可知，重新回到边界的位置与O点距离，相同，D正确．10．圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，三个比荷相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率沿着AO方向对准圆心O射入磁场，其运动轨迹如图所示。若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是（）A．磁场方向一定垂直于纸面向外B．粒子a、b、c一定都带正电C．粒子c所受的向心力一定最大D．粒子c在磁场中运动的时间一定最长【答案】D【详解】ABC．无法确定磁场方向、电荷的正负、向心力，ABC错误；D．根据周期相同，c的圆心角最大，时间最长，D正确。故选D。11．如图为洛伦兹力演示仪的结构图，励磁线圈产生的匀强磁场方向垂直纸面向外，电子束由电子枪产生，其速度方向与磁场方向垂直。电子速度大小可通过电子枪的加速电压来控制，磁感应强度可通过励磁线圈的电流来调节。下列说法正确的是（）A．仅减小电子枪的加速电压，电子束径迹的半径变小B．仅增大电子枪的加速电压，电子做圆周运动的周期变大C．仅减小励磁线圈的电流，电子束径迹的半径变小D．仅增大励磁线圈的电流，电子做圆周运动的周期变大【答案】A【详解】AB．根据电子所受洛伦兹力的方向结合右手定则判断励磁线圈中电流方向是顺时针方向，电子在加速电场中加速，由动能定理有电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，有解得周期为由可得，减小电子枪加速电压，电子束的轨道半径变小，增大电子枪加速电压，周期不变。故A正确，B错误；CD．同理可得减小励磁线圈中的电流，电流产生的磁场减弱，则电子束的轨道半径变大，仅增大励磁线圈的电流，由可知周期变小。故CD错误。故选A。12.如右图所示，一个静止的质量为m、带电荷量为q的粒子(不计重力)，经电压U加速后垂直进入磁感应强度为B的匀强磁感中，粒子打至P点，设OP＝x，能够正确反应x与U之间的函数关系的是()解析：带电粒子在电场中做加速运动，由动能定理有：qU＝eq\f(1,2)mv2，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动有：eq\f(x,2)＝eq\f(mv,qB)，整理得：x2＝eq\f(8m,qB2)U，故B正确．13.如右图所示，a和b带电荷量相同，以相同动能从A点射入磁场，在匀强磁场中做圆周运动的半径ra＝2rb，则可知(重力不计)()A．两粒子都带正电，质量比ma/mb＝4B．两粒子都带负电，质量比ma/mb＝4C．两粒子都带正电，质量比ma/mb＝1/4D．两粒子都带负电，质量比ma/mb＝1/4解析：由于qa＝qb、Eka＝Ekb，动能Ek＝eq\f(1,2)mv2和粒子旋转半径r＝eq\f(mv,qB)，可得m＝eq\f(r2q2B2,2Ek)，可见m与半径r的平方成正比，故ma∶mb＝4∶1，再根据左手定则判知粒子应带负电，故B正确．14．【多选】如右图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，则()A．从P射出的粒子速度大B．从Q射出的粒子速度大C．从P射出的粒子，在磁场中运动的时间长D．两粒子在磁场中运动的时间一样长解析：作出各自的轨迹如右图所示，根据圆周运动特点知，分别从P、Q点射出时，与AC边夹角相同，故可判定从P、Q点射出时，半径R1<R2，所以，从Q点射出的粒子速度大，B正确；根据图示，可知两个圆心角相等，所以，从P、Q点射出时，两粒子在磁场中的运动时间相等．正确选项应是B、D.答案：BD一、解答题15．如图所示，一电荷量为q的带电粒子，以速度v垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的有界匀强磁场中，射出磁场时的速度方向与原来粒子的入射方向的夹角θ=60°，求：（1）带电粒子在磁场中运动的轨道半径r；（2）带电粒子的电性和质量m；（3）带电粒子穿过磁场的时间t．【答案】(1)；(2)正电；；(3)【详解】（1）电子垂直射入匀强磁场中，只受洛伦兹力作用做匀速圆周运动，画出轨迹，如图所示，由几何知识得到，轨迹的半径为：；（2）由左手定则，可知，带电粒子带正电由牛顿第二定律得，解得（3）由几何知识得到，轨迹的圆心角为，故穿越磁场的时间为：；16．如图所示，在平面直角坐标系xOy的第四象限有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0T，在y轴上P点有一粒子源，沿纸面向磁场发射速率不同的粒子，均沿与y轴负方向间夹角=的方向，已知粒子质量均为m=5.0×10－8kg，电荷量q=1.0×10－8C，LOP=30cm，取π=3。（不计粒子间相互作用及粒子重力）(1)若某粒子垂直x轴飞出磁场，求该粒子在磁场中的运动时间；(2)若某粒子不能进入x轴上方，求该粒子速度大小满足的条件。【答案】(1)(2)【详解】(1)带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图所示由几何关系可得R1=0.6m，∠PO1Q=由牛顿第二定律得，解得运动时间(2)若带电粒子不从x轴射出，临界轨迹如图所示由几何关系得解得R2=0.2m由牛顿第二定律得解得当v≤8m/s时粒子不能进入x轴上方。17.如图所示，在坐标系xOy平面第I象限内有垂直于纸面向外的匀强磁场，一比荷为108C/kg的带电粒子从y轴上的P点以速度v=4104m/s沿着与y轴正方向成45角的方向射入匀强磁场，并恰好垂直于x轴射出磁场，已知。求：（1）匀强磁场的磁感应强度；（2）粒子射出磁场位置的坐标；（3）粒子在磁场中运动的时间。【答案】（1）；（2）（3.41m，0）；（3）【解析】（1）粒子垂直于x轴射出，则粒子做圆周运动的圆心在x轴上，轨迹图如图所示设OP为a，由几何关系得粒子做圆周运动的半径为粒子在匀强磁场中运动，根据洛伦兹力提供向心力解得磁感应强度（2）由几何关系得代入数据可得粒子射出磁场位置的坐标为（3.41m，0）（3）粒子做圆周运动的周期粒子在磁场中转过的圆心角粒子在磁场中运动的时间代入数据得18．如右图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A2A4与A1A3的夹角为60°.一质量为m、带电荷量为＋q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A1处沿与A1A3成30°角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A2A4的方向经过圆心O进入Ⅱ区，最后再从A4处射出磁场．已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小(忽略粒子重力)．解析：找出带电粒子做圆周运动的圆心，求出其轨迹的半径．设粒子的入射速度为v，已知粒子带正电，故它在磁场中先顺时针做圆周运动，再逆时针做圆周运动，最后从A4点射出，用B1、B2、R1、R2、T1、T2分别表示粒子在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中的磁感应强度、轨道半径和周期，有qvB1＝meq\f(v2,R1)，qvB2＝meq\f(v2,R2)，T1＝eq\f(2πR1,v)＝eq\f(2πm,qB1)，T2＝eq\f(2πR2,v)＝eq\f(2πm,qB2).设圆形区域的半径为r，如右图所示，已知带电粒子过圆心且垂直A2A4进入Ⅱ区磁场．连接A1A2，△A1OA2为等边三角形，A2为带电粒子在Ⅰ区磁场中运动轨迹的圆心，其轨迹的半径R1＝A1A2＝OA2＝r.圆心角∠A1A2O＝60°，带电粒子在Ⅰ区磁场中运动的时间为t1＝eq\f(1,6)T1.带电粒子在Ⅱ区磁场中运动轨迹的圆心在OA4的中点，即R2＝eq\f(1,2)r.在Ⅱ区磁场中运动的时间为t2＝eq\f(1,2)T2，带电粒子从射入到射出磁场所用的总时间t＝t1＋t2.由以上各式可得B1＝eq\f(5πm,6qt)，B2＝eq\f(5πm,3qt).1.4质谱仪与回旋加速器基础导学要点一、质谱仪(1)原理图：如图所示。(2)加速带电粒子进入质谱仪的加速电场，由动能定理得：qU＝eq\f(1,2)mv2。①(3)偏转带电粒子进入质谱仪的偏转磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：qvB＝eq\f(mv2,r)。②(4)由①②两式可以求出粒子的运动半径r、质量m、比荷eq\f(q,m)等。其中由r＝eq\f(1,B)eq\r(\f(2mU,q))可知电荷量相同时，半径将随质量变化。(5)质谱仪的应用可以测定带电粒子的质量和分析同位素。要点二．回旋加速器的结构和原理两个中空的半圆金属盒D1和D2，处于与盒面垂直的匀强磁场中，D1和D2间有一定的电势差，如图所示。1．交变电压的周期：带电粒子做匀速圆周运动的周期T＝eq\f(2πm,qB)与速率、半径均无关，运动相等的时间(半个周期)后进入电场，为了保证带电粒子每次经过狭缝时都被加速，须在狭缝两侧加上跟带电粒子在D形盒中运动周期相同的交变电压，所以交变电压的周期也与粒子的速率、半径无关，由带电粒子的比荷和磁场的磁感应强度决定。2．带电粒子的最终能量：由r＝eq\f(mv,qB)知，当带电粒子的运动半径最大时，其速度也最大，若D形盒半径为R，则带电粒子的最终动能Ekm＝eq\f(q2B2R2,2m)。可见，要提高加速粒子的最终能量，应尽可能地增大磁感应强度B和D形盒的半径R。3．粒子被加速次数的计算：粒子在回旋加速器盒中被加速的次数n＝eq\f(Ekm,Uq)(U是加速电压的大小)，一个周期加速两次。4．粒子在回旋加速器中运动的时间：在电场中运动的时间为t1，在磁场中运动的时间为t2＝eq\f(n,2)T＝eq\f(nπm,qB)(n是粒子被加速次数)，总时间为t＝t1＋t2，因为t1≪t2，一般认为在盒内的时间近似等于t2。要点突破突破一：质谱仪1．电场和磁场都能对带电粒子施加影响，电场既能使带电粒子加速，又能使带电粒子偏转；磁场虽不能使带电粒子速率变化，但能使带电粒子发生偏转。2．质谱仪：利用磁场对带电粒子的偏转，由带电粒子的电荷量及轨道半径确定其质量的仪器，叫作质谱仪。例一：如右图所示，设飘入加速电场的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m，两板间电压为U，粒子出电场后垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场．求比荷？突破二：回旋加速器1．磁场的作用：带电粒子以某一速度垂直磁场方向进入匀强磁场后，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动。其周期在q、m、B不变的情况下与速度和轨道半径无关，带电粒子每次进入D形盒都运动半个周期(eq\f(πm,qB))后平行电场方向进入电场加速。如图所示。2．电场的作用：回旋加速器的两个D形盒之间的狭缝区域存在周期性变化的且垂直于两个D形盒正对截面的匀强电场，带电粒子经过该区域时被加速。根据动能定理：qU＝ΔEk。3．交变电压的作用：为保证粒子每次经过狭缝时都被加速，使之能量不断提高，需在狭缝两侧加上跟带电粒子在D形盒中运动周期相同的交变电压。4．带电粒子的最终能量：由r＝eq\f(mv,qB)知，当带电粒子的运动半径最大时，其速度也最大，若D形盒半径为R，则带电粒子的最终动能Ekm＝eq\f(q2B2R2,2m)。可见，要提高加速粒子的最终能量，应尽可能地增大磁感应强度B和D形盒的半径R。5．粒子被加速次数的计算：粒子在回旋加速器中被加速的次数n＝eq\f(Ekm,qU)(U是加速电压的大小)，一个周期加速两次。6．粒子在回旋加速器中运动的时间：在电场中运动的时间为t1，在磁场中运动的时间为t2＝eq\f(n,2)T＝eq\f(nπm,qB)(n是粒子被加速次数)，总时间为t＝t1＋t2，因为t1≪t2，一般认为在盒内的时间近似等于t2。7.求解回旋加速器问题的两点注意(1)带电粒子通过回旋加速器最终获得的动能Ekm＝eq\f(q2B2R2,2m)，与加速的次数以及加速电压U的大小无关。(2)交变电源的周期与粒子做圆周运动的周期相等。例二：在某回旋加速器中，磁场的磁感应强度为B，粒子源射出的粒子质量为m，电荷量为q，粒子的最大回旋半径为Rm，问：(1)D形盒内有无电场？(2)粒子在盒内做何种运动？(3)所加交变电场的周期是多大？(4)粒子离开加速器时能量是多大？(5)设两D形盒间电场的电势差为U，盒间距离为d，其间电场均匀，求把静止粒子加速到上述能量所需的时间．突破三：带电粒子在叠加场中的运动1.叠加场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两种场共存。2．基本思路（1）弄清叠加场的组成。（2）进行受力分析。（3）确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合。（4）画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。①当带电粒子做匀速直线运动时，根据受力平衡列方程求解。②当带电粒子做匀速圆周运动时，一定是电场力和重力平衡，洛伦兹力提供向心力，应用平衡条件和牛顿运动定律分别列方程求解。③当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。3.复合场中运动问题的求解技巧带电体在复合场中的运动问题仍是一个力学问题，求解思路与力学问题的求解思路基本相同，仍然按照对带电体进行受力分析，运动过程分析，充分挖掘题目中的隐含条件，根据不同的运动情况建立相应的方程。典例精析题型一基于加速电场的质谱仪例一如图所示为质谱仪的结构原理图，若从金属筒内同一位置由静止释放氢的三种同位素氕、氘、氚的原子核不计重力，经相同的电场加速和磁场偏转后分别打在照相底片上的A、B、C三个点，则氕、氘、氚原子核（）A．进入磁场时的速度相同B．氚在磁场中运动的时间最短C．氕在电场中加速的时间最长D．打在照相底片上相邻两点间距离AB、BC之比为题型二基于速度选择器的质谱仪例二质谱仪最初是由汤姆生的学生阿斯顿设计的，他用质谱仪发现了氖20和氖22，证实了同位素的存在。如图所示，容器A中有质量分别为m1、m2，电荷量相同的氖20和氖22两种离子（不考虑离子的重力及离子间的相互作用），它们从容器A下方的小孔S1不断飘入电压为U的加速电场（离子的初速度可视为零），沿竖直线S1S2（S2为小孔）与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打在水平放置的底片上。由于实际加速电压的大小在U±ΔU范围内微小变化，这两种离子在磁场中运动的轨迹可能发生交叠，为使它们的轨迹不发生交叠，应小于（）A． B．C． D．题型三回旋加速器原理和最大动能例三1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，凭借此项成果，他于1939年获得诺贝尔物理学奖，其原理如图所示，置于真空中的形金属盒半径为，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可忽略；磁感应强度为的匀强磁场与盒面垂直，高频交流电频率为，加速电压为。若A处粒子源产生质子的质量为、电荷量为，在加速过程中不考虑相对论效应和重力的影响。则下列说法正确的是（）

A．带电粒子由加速器的边缘进入加速器B．被加速的带电粒子在回旋加速器中做圆周运动的周期随半径的增大而增大C．质子离开回旋加速器时的最大动能与形盒半径成正比D．该加速器加速质量为、电荷量为的粒子时，交流电频率应变为强化训练选择题1．质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图所示，离子源产生一个质量为、电荷量为的正离子，离子产生出来时的速度很小，可以认为是静止的。离子产生出来后经过电压加速，进入磁感应强度为的匀强磁场，沿着半圆周运动最后到达照相底片上，测得它在上的位置到入口处的距离为，若某离子通过上述装置后，测得它在上的位置到入口处的距离大于，则说明（）A．离子的质量一定变大 B．加速电压一定变大C．磁感应强度一定变大 D．离子所带电荷量可能变小2．如图所示，由两种比荷不同的离子组成的离子束，从静止经电场加速后，经过由正交的匀强电场和匀强磁场组成的速度选择器后，进入另一个匀强磁场中并分裂为A．B两束。离子的重力不计，下列说法中正确的有（）A．两束离子的加速电压相同 B．组成A束和B束的离子质量一定相同C．A束离子的比荷大于B束离子的比荷 D．A束离子的动能大于B束离子的动能3．如图所示为质谱仪的示意图，速度选择器（也称滤速器）中场强E的方向竖直向下，磁感应强度B1的方向垂直纸面向里，分离器中磁感应强度B2的方向垂直纸面向外。在S处有甲、乙、丙、丁四个一价正离子垂直于E和B1入射到速度选择器中，若m甲＝m乙<m丙＝m丁，v甲<v乙＝v丙<v丁，在不计重力的情况下，则打在P1、P2、P3、P4四点的离子分别是（）A．甲、乙、丙、丁 B．甲、丁、乙、丙 C．丙、丁、乙、甲 D．甲、乙、丁、丙4．关于下列四幅图的说法正确的是（）A．图甲是回旋加速器的示意图，要想带电粒子获得的最大动能增大，可增大加速电压B．图乙是磁流体发电机的示意图，可以判断出B极板是发电机的负极，A极板是发电机的正极C．图丙是速度选择器的示意图，若带电粒子（不计重力）能自左向右沿直线匀速通过速度选择器，那么也能自右向左沿直线匀速通过速度选择器D．图丁是质谱仪的示意图，粒子打在底片上的位置越靠近狭缝S3说明粒子的比荷越大5．某速度选择器示意图如图所示，水平放置的两块平行金属板，板间存在着竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度为E，磁感应强度为B。一质量为m、电荷量为q的带电粒子（不计重力及空气阻力）从b点以初速度v0沿虚线射入场区，恰好做匀速直线运动，则（）A．粒子一定带正电B．若将粒子从右向左沿虚线以v0射入，粒子仍做匀速直线运动C．带电粒子初速度D．其他条件不变，仅让电场方向反向，带电粒子仍能从b点沿虚线向右运动6．（2021·山东·济南市历城第一中学高二月考）质谱仪的结构原理图如图所示，带有小孔的两个水平极板间有垂直极板方向的匀强电场，圆筒N内可以产生质子和氚核，它们由静止进入极板间，经极板间的电场加速后进入下方的匀强磁场，在磁场中运动半周后打到底片P上。不计质子和氚核的重力及它们间的相互作用。则下列判断正确的是（）A．质子和氚核在极板间运动的时间之比为B．质子和氚核在磁场中运动的时间之比为C．质子和氚核在磁场中运动的速率之比为D．质子和氚核在磁场中运动的轨迹半径之比为7.如图为回旋加速器工作原理示意图。置于真空中的D形盒之间的狭缝很小，带电粒子穿过狭缝的时间可忽略。匀强磁场与盒面垂直，粒子在磁场中运动周期为TB，两D形盒间的狭缝中的交变电压周期为TE。若不考虑相对论效应和粒子重力的影响，则（）A．TB=0.5TE B．TB=2TE C．粒子从电场中获得动能 D．粒子从磁场中获得动能8.回旋加速器的工作原理如图所示。D1和D2是两个中空的半圆金属盒，它们之间接电压为U的交流电源。中心A处的粒子源产生的带电粒子，初速度可视为0，在两盒之间被电场加速。两个半圆盒处于与盒面垂直的匀强磁场B中，粒子在磁场中做匀速圆周运动。忽略两盒缝之间的距离。已知粒子被第一次加速后，经过时间t，再次到达盒缝处，与A的距离为d。则（）A．电场变化的周期为tB．粒子被2次加速后，再次经过盒缝时，与A的距离为dC．粒子的最大动能与金属盒半径R、加速电压U均有关D．粒子在加速器中运动的时间与加速电压U、金属盒半径R均有关9．如图所示，水平放置的两块平行金属板，充电后与电源断开。金属板间存在着方向竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里磁感应强度为的匀强磁场。一质量为、电荷量为的带电粒子（不计重力及空气阻力），以水平速度射入场区，恰好做匀速直线运动。则（）A．粒子一定带正电B．若撤去电场，粒子在板间运动的最长时间可能是C．若仅将板间距离变为原来的2倍，粒子运动轨迹偏向下极板D．若有空气阻力，且阻力大小不变，则粒子作匀减速直线运动10.如图所示，两平行金属板P、Q水平放置，上极板带正电，下极板带负电；板间存在匀强电场和匀强磁场（图中未画出）．一个带电粒子在两板间沿虚线所示路径做匀速直线运动．粒子通过两平行板后从O点垂直进入另一个垂直纸面向外的匀强磁场中，粒子做匀速圆周运动，经过半个周期后打在挡板MN上的A点．不计粒子重力．则下列说法不正确的是（）A.此粒子一定带正电B.P、Q间的磁场一定垂直纸面向里C.若另一个带电粒子也能做匀速直线运动，则它一定与该粒子具有相同的荷质比D.若另一个带电粒子也能沿相同的轨迹运动，则它一定与该粒子具有相同的荷质比11．霍尔式位移传感器的测量原理如图所示，有一个沿z轴方向均匀变化的匀强磁场，磁感应强度B=B0+kz（B0、k均为常数，且k＞0）。将霍尔元件固定在物体上，保持通过霍尔元件的电流I不变（方向如图所示），当物体沿z轴正方向平移时，由于位置不同，霍尔元件在y轴方向的上、下表面的电势差U也不同。则（）A．磁感应强度B越大，霍尔元件的前、后表面的电势差U越大B．k越大，传感器灵敏度（）越高C．如图中的霍尔元件，上表面电势高D．电流越大，霍尔元件的上、下表面的电势差U越小二、解答题12．如图所示，在间距为d的平行极板M、N上加一定的电压，从而在极板间形成一个匀强电场，同时在此区域加一个与匀强电场垂直的匀强磁场B。当带电粒子从进入这一区域后，只有具有某个速度大小的粒子才能从通过，这样的装置叫做速度选择器。带电粒子在进入速度选择器前，先在一加速电场中加速，加在形成此加速电场的两极板P、Q上的电压为。粒子所受的重力忽略不计。（1）试问：从小孔进入速度选择器的粒子，需要具有怎样的速度才能顺利通过小孔；（2）带电粒子的电荷量与质量的比叫做比荷，它反映了带电粒子的一个基本属性，在科学研究中具有重要的意义、试借助本题提供的物理量，计算出该带电粒子比荷的表达式。13.如图所示，在竖直平面内建立xoy直角坐标，第I象限内有沿+x（水平）方向的匀强电场E，第II、III象限内同时存在着竖直方向的匀强电场E2（E2未画出）和垂直纸面向外的匀强磁场B，其大小B=0.5T，在时，磁场方向不变，但其大小突然变为B'=1.0T。一个质量m=5×10-5kg、电荷量q=2×10-4C的带正电液滴从P点（0.6m，0.8m）以大小v0=3m/s的速度平行x轴射入，恰好沿y方向以大小为v的速度经过原点O，然后进入的区域做圆周运动，t=0时液滴恰好通过O点，重力加速度g取10m/s2。求：（1）电场强度E2大小及方向；（2）液滴达到O点时速度的大小v和P、O之间的电势差UPO：（3）若液滴从P点开始运动到第二次到达x轴之前某时刻起磁场突然消失，发现液滴恰好以与+y方向成30°角的方向穿过y轴后进入x>0的区域，试确定液滴穿过y轴时的位置。14．回旋加速器在核科学、核技术、核医学等高新技术领域得到了广泛应用，回旋加速器的原理如图，D1和D2是两个中空的半径为R的半圆金属盒，它们接在电压一定、周期为T的交流电源上，位于D1圆心处的粒子源A能不断产生带电粒子（初速度可以忽略，重力不不计）。它们在两盒之间被电场加速，粒子束以最大速度输出时的等效电流为I，D1、D2置于与盒面垂直的磁感应强度为B的匀强磁场中，忽略粒子在电场中运动的时间及相互作用，且最大速度远小于光速，求：（1）粒子的荷质比；（2）粒子获得的最大速度：（3）回旋加速器输出时的平均功率P。1.4质谱仪与回旋加速器基础导学要点一、质谱仪(1)原理图：如图所示。(2)加速带电粒子进入质谱仪的加速电场，由动能定理得：qU＝eq\f(1,2)mv2。①(3)偏转带电粒子进入质谱仪的偏转磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：qvB＝eq\f(mv2,r)。②(4)由①②两式可以求出粒子的运动半径r、质量m、比荷eq\f(q,m)等。其中由r＝eq\f(1,B)eq\r(\f(2mU,q))可知电荷量相同时，半径将随质量变化。(5)质谱仪的应用可以测定带电粒子的质量和分析同位素。要点二．回旋加速器的结构和原理两个中空的半圆金属盒D1和D2，处于与盒面垂直的匀强磁场中，D1和D2间有一定的电势差，如图所示。1．交变电压的周期：带电粒子做匀速圆周运动的周期T＝eq\f(2πm,qB)与速率、半径均无关，运动相等的时间(半个周期)后进入电场，为了保证带电粒子每次经过狭缝时都被加速，须在狭缝两侧加上跟带电粒子在D形盒中运动周期相同的交变电压，所以交变电压的周期也与粒子的速率、半径无关，由带电粒子的比荷和磁场的磁感应强度决定。2．带电粒子的最终能量：由r＝eq\f(mv,qB)知，当带电粒子的运动半径最大时，其速度也最大，若D形盒半径为R，则带电粒子的最终动能Ekm＝eq\f(q2B2R2,2m)。可见，要提高加速粒子的最终能量，应尽可能地增大磁感应强度B和D形盒的半径R。3．粒子被加速次数的计算：粒子在回旋加速器盒中被加速的次数n＝eq\f(Ekm,Uq)(U是加速电压的大小)，一个周期加速两次。4．粒子在回旋加速器中运动的时间：在电场中运动的时间为t1，在磁场中运动的时间为t2＝eq\f(n,2)T＝eq\f(nπm,qB)(n是粒子被加速次数)，总时间为t＝t1＋t2，因为t1≪t2，一般认为在盒内的时间近似等于t2。要点突破突破一：质谱仪1．电场和磁场都能对带电粒子施加影响，电场既能使带电粒子加速，又能使带电粒子偏转；磁场虽不能使带电粒子速率变化，但能使带电粒子发生偏转。2．质谱仪：利用磁场对带电粒子的偏转，由带电粒子的电荷量及轨道半径确定其质量的仪器，叫作质谱仪。例一：如右图所示，设飘入加速电场的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m，两板间电压为U，粒子出电场后垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场．求比荷？在加速电场中，由动能定理得qU＝eq\f(1,2)mv2粒子出电场时，速度v＝eq\r(\f(2qU,m))在匀强磁场中轨道半径r＝eq\f(mv,qB)＝eq\f(m,qB)eq\r(\f(2qU,m))＝eq\r(\f(2mU,qB2))所以粒子质量m＝eq\f(qB2r2,2U).若粒子电荷量q也未知，通过质谱仪可以求出该粒子的比荷(电荷量与质量之比)eq\f(q,m)＝eq\f(2U,B2r2).突破二：回旋加速器1．磁场的作用：带电粒子以某一速度垂直磁场方向进入匀强磁场后，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动。其周期在q、m、B不变的情况下与速度和轨道半径无关，带电粒子每次进入D形盒都运动半个周期(eq\f(πm,qB))后平行电场方向进入电场加速。如图所示。2．电场的作用：回旋加速器的两个D形盒之间的狭缝区域存在周期性变化的且垂直于两个D形盒正对截面的匀强电场，带电粒子经过该区域时被加速。根据动能定理：qU＝ΔEk。3．交变电压的作用：为保证粒子每次经过狭缝时都被加速，使之能量不断提高，需在狭缝两侧加上跟带电粒子在D形盒中运动周期相同的交变电压。4．带电粒子的最终能量：由r＝eq\f(mv,qB)知，当带电粒子的运动半径最大时，其速度也最大，若D形盒半径为R，则带电粒子的最终动能Ekm＝eq\f(q2B2R2,2m)。可见，要提高加速粒子的最终能量，应尽可能地增大磁感应强度B和D形盒的半径R。5．粒子被加速次数的计算：粒子在回旋加速器中被加速的次数n＝eq\f(Ekm,qU)(U是加速电压的大小)，一个周期加速两次。6．粒子在回旋加速器中运动的时间：在电场中运动的时间为t1，在磁场中运动的时间为t2＝eq\f(n,2)T＝eq\f(nπm,qB)(n是粒子被加速次数)，总时间为t＝t1＋t2，因为t1≪t2，一般认为在盒内的时间近似等于t2。7.求解回旋加速器问题的两点注意(1)带电粒子通过回旋加速器最终获得的动能Ekm＝eq\f(q2B2R2,2m)，与加速的次数以及加速电压U的大小无关。(2)交变电源的周期与粒子做圆周运动的周期相等。例二：在某回旋加速器中，磁场的磁感应强度为B，粒子源射出的粒子质量为m，电荷量为q，粒子的最大回旋半径为Rm，问：(1)D形盒内有无电场？(2)粒子在盒内做何种运动？(3)所加交变电场的周期是多大？(4)粒子离开加速器时能量是多大？(5)设两D形盒间电场的电势差为U，盒间距离为d，其间电场均匀，求把静止粒子加速到上述能量所需的时间．解析：(1)D形盒由金属导体制成，具有屏蔽外电场的作用，故盒内无电场．(2)带电粒子在盒内做匀速圆周运动，每次加速后轨道半径增大．(3)交变电场的周期应与粒子旋转的周期相同，即T＝eq\f(2πm,qB).(4)粒子离开加速器时达到最大速度vm，由Rm＝eq\f(mvm,qB)可得vm＝eq\f(qBRm,m)，则其动能为Ekm＝eq\f(1,2)mvm2＝eq\f(1,2)meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(qBRm,m)))2＝eq\f(q2B2Rm2,2m).(5)设粒子达到最大动能须经n次加速，则粒子在回旋加速器中运动的时间t应为在D形盒内的回旋时间t1与通过D形盒间的缝隙的加速时间t2之和，即t＝t1＋t2.由nqU＝Ekm得n＝eq\f(Ekm,qU)，则粒子旋转的周期数为eq\f(n,2)＝eq\f(Ekm,2qU)，t1＝eq\f(n,2)T＝eq\f(πBRm2,2U).粒子在两D形盒缝隙中加速时，受到的电场力为eq\f(qU,d)，运动的加速度a＝eq\f(qU,md)，质子n次通过缝隙的总位移为s＝nd，由于质子n次加速的过程可视为初速度为零的匀加速直线运动，故有(注意等效的思想方法)nd＝eq\f(1,2)·eq\f(qU,md)·t22，t2＝eq\f(BRmd,U).，所以t＝t1＋t2＝eq\f(BRm2d＋πRm,2U).答案：(1)无电场(2)匀速圆周运动，每次加速后轨道半径增大(3)T＝eq\f(2πm,qB)(4)eq\f(q2B2Rm2,2m)(5)eq\f(BRm2d＋πRm,2U)突破三：带电粒子在叠加场中的运动1.叠加场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两种场共存。2．基本思路（1）弄清叠加场的组成。（2）进行受力分析。（3）确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合。（4）画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。①当带电粒子做匀速直线运动时，根据受力平衡列方程求解。②当带电粒子做匀速圆周运动时，一定是电场力和重力