工程力学力的平移定理04

平面任意力系：各力的作用线位于同一平面内，但既不汇交

于一点又不相互平行的力系叫平面任意力系。研究方法：平面任意力系(未知)平面汇交力系(已知)平面力偶系(已知)§4–1力的平移定理：作用在刚体上的力可以平行移动到刚体上的任一点而不

改变其对刚体的作用效应，但必须同时附加一个力偶，

其力偶矩等于原来的力对新的作用点的力矩。ABdABdABM==∴平移等效可知：平移时力的大小、方向不变，M

随平移点的位置而变。∴平移§4–2平面任意力系向一点简化一、平面任意力系向一点简化力的平移定理平面任意力系平面汇交力系：平面力偶系：A1A2AnO平面汇交力系合力：平面力偶系合力偶矩：MO的作用线过O点，称为平面任意力系的主矢。称MO

为平面任意力系对简化中心

O点的主矩。MOOM1M2M3O=平面任意力系平面汇交力系：平面力偶系：平面汇交力系合力：平面力偶系合力偶矩：MO结论：平面任意力系向一点简化，可得到一个力和一个力偶，

这个力等于该力系的主矢，力的作用线通过简化中心

O点，这个力偶的力偶矩等于该力系对简化中心

O点

的主矩。可知：O点位置不同时，主矢不变，主矩

MO不同。力的平移定理A1A2AnOMOOM1M2M3O=力的平移定理MO取坐标系Oxy，则O主矢的解析式：xy对O点主矩的解析式：=A1A2AnOM1M2M3OA固定端(插入端)的约束力：如：雨棚车刀AAMAMA认为固定端受一平面任意力系作用；将平面任意力系向A点简化，得一力：一力偶：MA限制物体移动。限制物体转动。固定端约束力：二、平面任意力系简化的最后结果简化结果：1.平面任意力系简化为一个力偶若此时原力系简化为一力偶，其力偶矩为，且为一常量。即

MO与O点位置无关(力偶对平面内任一点的矩都相同)。2.平面任意力系简化为一个合力若合力的作用线过O点。原力系简化为一合力，且若原力系简化为一力，一力偶，可进一步简化为一力。MOOAdOAdOMO作用线通过A点，3.平面任意力系平衡的情形若则平面任意力系平衡。MO=FR·d§4–3平面任意力系的平衡条件一、平面任意力系平衡方程的基本形式简化结果：主矢

，主矩

MO若时，力系向其他点简化也均为零，

力系一定平衡——充分性；反之，若要力系平衡，、MO必须为零——必要性。∴平面任意力系的平衡条件：、MO均为零。即：而：∴得平衡方程力系各力在x轴上投影的代数和为零；力系各力在y轴上投影的代数和为零；力系各力对任一点之矩的代数和为零。二、平面任意力系平衡方程的二力矩形式与三力矩形式其中A、B为任意两点，但

A、B连线不得垂直于

x轴(或y轴)。1.二力矩形式2.三力矩形式其中

A、B、C为任意三点，但

A、B、C三点不得共线。当平面任意力系平衡方程用于平面汇交力系时：对力系汇交点总有：∴只需当平面任意力系平衡方程用于平面力偶系时：总有：∴只需三、平面平行力系的平衡条件平面平行力系：力系中各力作用线位于同一平面且相互平行。设力系各力平于

y轴：即总有：∴只需可求解二各未知量。则各力在

x轴上的投影均为零，也可用二力矩形式：其中

A、B连线不得与各力平行。例1支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连接，并各以铰链A、

D连接于铅直墙上，如图所示。已知杆AC=CB，杆DC与

水平线成45º角；载荷F=10kN，作用于B处。设梁和杆的

重量忽略不计，求铰链A的约束力和杆DC所受的力。ABDCFABC1.取AB杆为研究对象；3.选坐标系，列平衡方程解：2.作受力图；SFx=0FAx

+FCcos45º

=0SFy=0FAy

+FCsin45º–F

=0SMA(F)=0FCcos45º·l–F·2l

=04.求解FC=28.28kNFAx

=–20kNFAy

=–10kNFFCFAyFAxll45º例2伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB重P=2200N，吊车

D、E连同吊起重物各重F1=F2=4000N。已知：l=4.3m，

a=1.5m，b=0.9m，c=0.15m，a=25º。

试求A处的约束力，以及拉索

BH

的拉力。DEaacbBHACF1F2lP解：1.取伸臂AB为研究对象2.受力分析如图yxBAFBPF2F1ECDFAyFAxayxBAFBPF2F1ECDFAyFAxa3.选如图坐标系，列平衡方程SFx=0FAx–

FBcosa

=0SFy=0FAy–F1–P–F2+FBsina=0SMA(F)=04.联立求解FB

=12456NFAx=11290NFAy=4936N例3外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F1=2kN，F2=1.5kN，

M=1.2kN·m，l1=1.5m，l2=2.5m。

试求支座A及支座B的约束力。

F1ABl2l1llF2M60º1.取梁为研究对象解：2.受力分析如图3.选坐标系，列平衡方程ABxyFAxFAyF1FBF2M60ºSFx=0FAx–

F2cos60º

=0SFy=0FAy+FB–F1–F2sin60º=0SMA(F)=0FBl2–M

–F1l1–F2sin60º(l1+l2)

=04.求解FB

=3.56kN

FAx=0.75kN

FAy=–0.261kNAB例4如图所示为一悬臂梁，A为固定端，设梁上受分布集度为

q的均布载荷作用，在自由端B受一集中力F和一力偶M

作用，梁的跨度为l。试求固定端的约束力。ABlqFM45º2.受力分析如图1.取梁为研究对象解：3.选坐标系，列平衡方程qABxyMFFAyMAlFAx45ºSFx=0FAx–

F

cos45º

=0SFy=0FAy–ql–Fsin45º=0SMA(F)=0MA–ql·l/2–F

cos45º·l+M

=04.求解FAx=0.707F

FAy=ql+0.707F

BAD1mq2mM解：1.取梁AB为研究对象2.受力分析如图BA其中F=q×AB=300N，作用在AB的中点C处。3.选坐标系，列平衡方程。yxSFx=0FAx

=0SFy=0FAy–F+FD=0SMA(F)=0DFFAyFAxFDCM例5梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载荷集度

(即梁的每单位长度上所受的力)q=

100N/m，力偶矩

M=

500N·m。长度AB=3m，DB=1m。

试求活动铰支座

D和固定铰支座A的约束力。例5梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载荷集度

(即梁的每单位长度上所受的力)q=

100N/m，力偶矩

M=

500N·m。长度AB=3m，DB=1m。

试求活动铰支座

D和固定铰支座A的约束力。3.选坐标系，列平衡方程。SFx=0FAx

=0SFy=0FAy–F+FD=0SMA(F)=04.联立求解FD=475NFAx=0FAy=–175NBAD1mq2mMBAyxDFFAyFAxFDCMyx例6某飞机的单支机翼重

G=7.8kN。飞机水平匀速直线飞行时，

作用在机翼上的升力

F=27kN，力的作用线位置如图示，

其中尺寸单位是mm。试求机翼与机身连接处的约束力。25802083770ABCFG解：1.取机翼为研究对象2.受力分析如图BAGFAyFAxMACF3.选坐标系，列平衡方程。SFx=0FAx

=0SFy=0FAy–G+F

=0SMA(F)=04.联立求解FAx=0N

FAy=-19.2kNMA=-38.6kN·m(顺时针）例7塔式起重机如图所示。机架重G1=700kN，作用线通过塔架的中心。

最大起重量G2=200kN，最大悬臂长为12m，轨道AB的间距为4m。

平衡荷重G3到机身中心线距离为6m。试问：

(1)保证起重机在满载和空载时都不翻倒，求平衡荷重G3应为多少?(2)若平衡荷重G3=180kN，求满载时轨道A，B给起重机轮子的约束力？AB2m

2m6m12mG1G2G3FBFAAB6m12mG1G2G32m

2mFBFA解：1.取起重机为研究对象2.受力分析如图SMB(F)=03.列平衡方程SMA(F)=0G3×(6+2)+G1×2–G2×(12-2)–FA×4

=0G3×(6–2)–G1×2–G2×(12+2)+FB×4=0AB6m12mG1G2G32m

2mFBFA4.起重机不翻倒时平衡荷重G3(1)满载时(G2=200kN)不绕B点翻倒应有FA≥0，即临界情况下为FA=0，可得G3min8G3min+2G1–10G2=0∴G3min=75kN(2)空载时(G2=0)不绕A点翻倒应有FB≥0，即临界情况下为FB=0，可得G3max2G1–4G3max=0∴G3max=350kN∴有75kN＜G3＜350kNAB6m12mG1G2G32m

2mFBFA5.取G3=180kN，求满载(G2=200kN)

时轨道A，B对起重机的约束力FA、

FB。=210kN=870kN§4–5静定与静不定问题的概念1A2F汇交力系未知力数：平衡方程：F1ABF2平行力系未知力数：平衡方程：F1、F2FA、FB任意力系未知力数：平衡方程：FAx、Fay、MAAMA静定问题：未知力数

≤

静力平衡方程数A31A2F汇交力系未知力数：平衡方程：F1ABF2平行力系未知力数：平衡方程：、F3、FCBF1、F2FA、FB任意力系未知力数：平衡方程：FAx、FAy、MAC、FBMA在静定问题上再加上多余约束，则成为静不定问题。此时仅由静力平衡方程不能求解全部未知量。静不定问题(超静定问题)：未知力数

>

静力平衡方程数须建立补充方程求解，在材料力学中研究。注意：实际中多余约束可提高结构的强度、刚度、稳定性，并

不多余。多余约束只是针对结构平衡而言是多余的。A31A2FF1ABF2BCMA如：

物系外力：物系外其他物体对物系的作用力叫物系外力。刚体系：由若干个刚体通过约束所组成的系统。又称为物系。§4–4刚体系的平衡qBADMFCHE物系内力：物系内部各物体之间的相互作用力叫物系内力。如：主动力、约束力。

如：左图中AC杆与CE杆在C铰链处的相互作用力。

物系平衡的特点：①物系静止②物系平衡时，其中每一物体也处于平衡状态，满足各自的

平衡条件。③对每一物体都可列出相应的独立平衡方程，其总和即为物

系具有的独立平衡方程的数目。设物系由

n

个物体组成，每个物体均受平面任意力系作用，

其平衡方程数为

3，则物系的独立平衡方程数为3n

个，可求

解3n个未知量。当物系中某些物体受平面汇交力系或平面平行力系作用时，其平衡方程数应相应减少。若物系未知量数不多于物系的独立平衡方程数时，为静定问题，否则为静不定问题。未知力数：平衡方程数：3×2=6FAx、FAy、MA、FCx、FCy、FB未知力数：∴为静定问题。FAx、FAy、MA、FCx、FCy、

FBx、FBy平衡方程数：3×2=6qAMF1CBF2BqAMF1CF2∴为静不定问题。对静定问题，可列出每一物体的平衡方程，再组成方程组联立求解，但常要进行较繁的数学运算。在解题时，若能选取适当的研究对象，列出必须足够的平衡方程，可使运算过程简便。求解物系平衡问题的一般方法：qAMF1CBF2由整体局部或：由局部整体例7如图所示为曲轴冲床简图，由轮I，连杆AB和冲头B组成。

A，B两处为铰链连接。OA=R，AB=l。如忽略摩擦和物体

的自重，当OA在水平位置，冲压力为

F

时系统处于平衡状

态。求(1)作用在轮I上的力偶矩

M

的大小；(2)轴承O处的

约束反力；(3)连杆AB受的力；(4)冲头给导轨的侧压力。ABOMFIa解：1.取冲头为研究对象受力分析如图列平衡方程ByxFBFNFa求解得：OAABOMFIa2.取轮I为研究对象受力分析如图列平衡方程求解得：yxFOxFOyFAM例8

三铰拱桥及尺寸如图所示，由左右两段用铰链C连接，又用

铰链A，B与基础相连接。已知每段重G=40kN，重心分别

在D，E处，且桥面受一集中载荷F=10kN。

设各铰链都是光滑的，试求平衡时各铰链中的力。ABCDEGF3mG1m6m6m6m解：DCAEBCyxFAxFAyFCxFCyGGFF'CxF'CyFBxFBy1.取AC段为研究对象受力分析如图列平衡方程SFx=0FAx–FCx

=0SFy=0FAy–G–FCy

=0SMC(F)=0FAx×6

–FAy×6+G×5

=02.取BC段为研究对象受力分析如图列平衡方程SFx=0FBx+F'Cx

=0SFy=0FBy+F'Cy

–G–F

=0SMC(F)=0FBx×6

+FBy×6–F×3

–G×5

=0DCAEBCyxFAxFAyFCxFCyGGFF'CxF'CyFBxFBy列平衡方程SFx=0FAx–FCx

=0SFy=0FAy–G–FCy

=0SMC(F)=0FAx×6

–FAy×6+G×5

=0列平衡方程SFx=0FBx+F'Cx

=0SFy=0FBy+F'Cy

–G–F

=0SMC(F)=0FBx×6

+FBy×6–F×3

–G×5

=0联立求解得：FAx=-FBx

=FCx=9.17kNFAy=42.5kNFBy=47.5kNFCy=2.5kN此时求解过程较繁。DAEBCGGFyxFAxFAyFBxFBy若先取整体为研究对象受力分析如图列平衡方程SFx=0FAx+FBx

=0SFy=0FAy+FBy–G–G–F=0SMA(F)=0FBy×12

–F×9–G×1–

G×11=0再取BC段为研究对象受力分析如图列平衡方程SFx=0FBx+F'Cx

=0SFy=0FBy+F'Cy

–G–F

=0SMC(F)=0FBx×6

+FBy×6–F×3

–G×5

=0EBCF'CxF'CyGFFBxFBy∴FBy=47.5kNFAy=42.5kNFBx=-9.17kNFCx=9.17kNFCy=2.5kNFAx=9.17kNl/8qBADMFCHEl/4l/8l/4l/4例9组合梁AC和CE用铰链C相连，A端为固定端，E端为活动铰

链支座。受力如图所示。已知：l=8m，F=5kN，均布载荷

集度q=2.5kN/m，力偶矩的大小M=5kN·m。

试求固定端A，铰链C和支座E处的约束力。解：1.取CE段为研究对象2.受力分析如图3.列平衡方程DCEMl/4l/8F1GFCFESFy=0SMC(F)=04.联立求解FE=2.5kN，FC=2.5kN6.列平衡方程SFy=0SMA(F)=07.联立求解FA=12.5kN，MA=30kN·mACHl/8l/8l/4IFF2FAMA5.取AC段为研究对象，

受力分析如图l/8qBADMFCHEl/4l/8l/4l/4例10刚架结构的尺寸和载荷如图所示。

试求A，B支座及C铰链处的约束力。GqABCbaa/2a/2MABC解：1.取刚架整体为研究对象受力分析如图列平衡方程FAxFAyFBxFByyxSFx=0FAx+FBx+qb=0SFy=0FAy+FBy–G

=0SMB(F)=0求解得：GqMAC2.取刚架左半部为研究对象受力分析如图列平衡方程SFx=0FAx+FCx+qb=0SFy=0FAy+FCy=0SMC(F)=0求解得：yxFAxFAyFCxFCyGqABCbaa/2a/2Mq一、力的平移定理1.一力偶二、平面任意力系向一点简化的最后结果本章小结：平面任意力系习题课是力系简化的理论基础。平移2.一合力3.平衡基本形式A、B连线不得⊥x轴A、B、C不得共线三、平面一般力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程A、B连线不得与各力平行二力矩形式三力矩形式二力矩形式若力系各力平于

y轴：平面汇交力系的平衡方程：平面力偶系的平衡方程：四、静定与静不定问题的概念五、物系平衡问题

静不定问题：未知力数

>独立的静力平衡方程数静定问题：未知力数

≤

独立的静力平衡方程数物系平衡时，其中每一物体也处于平衡状态。求解物系平衡问题的一般方法：由整体局部或：由局部整体六、解题步骤与技巧1.解题步骤

①选研究对象

②画受力图（受力分析）

③选坐标、取矩心、列平衡方程

④求解未知数2.解题技巧与注意事项①选研究对象应能应联系已知力和未知力；②不要漏掉固定端约束处的约束力偶；③选坐标轴最好与未知力⊥或∥，取矩心最好选在未知力

的汇交点上；④充分发挥二力杆的直观性；⑤灵活使用合力矩定理；⑥力偶矩M=常数，它对任一点之矩都相等。G2FAG1G3GFBAB3.0m2.5m1.8m2.0m例11一车载式起重机，车重G1=26kN，起重机伸臂重G2=4.5kN，

起重机的旋转与固定部分共重G3

=31kN。尺寸如图所示。

设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置。

试求车子不致翻倒的最大起吊重量Gmax。八、例题分析GG2FAG1G3FBAB3.0m2.5m1.8m2.0m解：1.取汽车及起重机为研究对象2.受力分析如图3.选坐标系，列平衡方程SFy=0FA

+FB–G–G1–G2–G3

=0SMB(F)=04.联立求解5.由不翻倒的条件：FA≥0得：∴最大起吊重量为Gmax=7.5kN例12

A，B，C，D处均为光滑铰链，物块重为G，通过绳子绕

过滑轮水平地连接于杆AB的E点，各构件自重不计。

试求B处的约束力。

FBxFAyFAxFByFEFCxFCyGFAxFAy解：1.取整体为研究对象受力分析如图列平衡方程SFx=0FAx+FBx–FE

=0求解得：FAx=2.5GFBx=–

1.5G

FBy=–

2G

SMC(F)=0G×5r

–FAx×2r=02.取杆AB为研究对象受力分析如图列