2024八年级数学上册第一章勾股定理专项突破1利用勾股定理解题的常见题型习题课件新版北师大版

第一章勾股定理专项突破1利用勾股定理解题的常见题型题型1利用勾股定理解决网格问题1.

如图，在边长为1的正方形网格中，

A

，

B

，

C

均在格点

上，则

CB2＋

AC2等于(

D

)A.12B.14C.16D.18D234567891题型2利用勾股定理解决折叠问题2.

[2024济宁月考]如图，三角形纸片

ABC

中，∠

BAC

＝

90°，

AB

＝2，

AC

＝3.沿过点

A

的直线将纸片折叠，使

点

B

落在边

BC

上的点

D

处；再折叠纸片，使点

C

与点

D

重合，若第二次的折痕与

AC

的交点为

E

，则

AE

的长是

(

A

)A234567891题型3利用勾股定理解决三角形的有关问题3.

【新视角·新定义型题】[2024·苏州期末]定义：如果一个

三角形存在两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么称这个

三角形为“准互余三角形”.如图，已知△

ABC

为“准互

余三角形”，并且∠

A

＞∠

B

＞∠

C

.

若∠

B

＝45°，求

∠

A

的度数.234567891解：当∠

B

＝45°为α时，2α＋β＝90°＋β＞90°，故不成立；当∠

A

为α时，因为∠

A

＞∠

B

＞∠

C

，所以2∠

A

＞2∠

B

＝90°，故不成立；当∠

C

为α时，因为∠

B

＝45°，所以∠

A

＋∠

C

＝

135°，所以∠

A

＋2∠

C

＞135°，故不成立；所以只能是∠

B

＋2∠

C

＝90°，解得∠

C

＝22.5°，所以∠

A

＝180°－45°－22.5°＝112.5°.234567891题型4利用勾股定理说明线段之间的平方关系4.

如图，∠

C

＝90°，

AM

＝

CM

，

MP

⊥

AB

于点

P

.

试说

明：

BP2＝

BC2＋

AP2.234567891解：连接

BM

.

因为

MP

⊥

AB

，所以△

BMP

和△

AMP

均

为直角三角形，所以

BP2＋

PM2＝

BM2，

AP2＋

PM2＝

AM2.同理可得

BC2＋

CM2＝

BM2，所以

BP2＋

PM2＝

BC2＋

CM2.因为

CM

＝

AM

，所以

CM2＝

AM2＝

AP2＋

PM2.所以

BP2

＋

PM2＝

BC2＋

AP2＋

PM2.所以

BP2＝

BC2＋

AP2.234567891题型5利用勾股定理求实际中的距离5.

如图，某学校(

A

点)到公路(直线

l

)的距离为300

m，到车

站(

D

点)的距离为500

m.现要在公路边上建一个商店(

C

点)，使之到学校(

A

点)及到车站(

D

点)的距离相等，求商

店(

C

点)与车站(

D

点)之间的距离.234567891解：设

CD

＝

x

m，则

AC

＝

x

m.如图，作

AB

⊥

l

于点

B

，则

AB

＝300

m.在Rt△

ABD

中，

AD2＝

AB2＋

BD2，

AB

＝300

m，

AD

＝500

m，所以

BD

＝400

m.所以

BC

＝(400－

x

)m.在Rt△

ABC

中，

AC2＝

AB2＋

BC2，所以

x2＝3002＋(400－

x

)2，解得

x

＝312.5.所以商店(

C

点)与车站(

D

点)之间的距离为312.5

m.234567891题型6利用勾股定理构造图形解决问题6.

[2024北师大附中期中]在如图所示的5×5的方格图中，点

A

和点

B

均在格点上，点

C

也在格点上，满足△

ABC

为以

AB

为斜边的直角三角形.这样的点

C

有(

D

)A.1个B.2个C.3个D.4个D234567891题型7利用勾股定理求动点中线段的长7.

【新考法·分类讨论法】如图，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

AB

＝5

cm，

AC

＝3

cm，动点

P

从点

B

出发沿

射线

BC

以1

cm/s的速度运动，设运动的时间为

t

s.(1)求

BC

边的长；解：(1)

BC

＝4

cm.2345678917.

【新考法·分类讨论法】如图，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

AB

＝5

cm，

AC

＝3

cm，动点

P

从点

B

出发沿

射线

BC

以1

cm/s的速度运动，设运动的时间为

t

s.(2)当△

ABP

为直角三角形时，借助图①求

t

的值；234567891解：(2)由题意知

BP

＝

t

cm，当△

ABP

为直角三角形时，有两种情况：Ⅰ.如图①，当∠

APB

为直角时，点

P

与点

C

重合，

BP

＝

BC

＝4

cm，即

t

＝4.234567891Ⅱ.如图②，当∠

BAP

为直角时，

BP

＝

t

cm，

CP

＝(

t

－4)cm，

AC

＝3

cm.在Rt△

ACP

中，

AP2＝32＋(

t

－4)2；在Rt△

BAP

中，

AB2＋

AP2＝

BP2，

234567891(3)当△

ABP

为等腰三角形时，借助图②求

t

的值.7.

【新考法·分类讨论法】如图，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

AB

＝5

cm，

AC

＝3

cm，动点

P

从点

B

出发沿

射线

BC

以1

cm/s的速度运动，设运动的时间为

t

s.234567891Ⅰ.如图①，当

BP

＝

AB

时，

t

＝5.解：(3)当△

ABP

为等腰三角形时，有三种情况：Ⅱ.如图②，当

AB

＝

AP

时，

BP

＝2

BC

＝8

cm，则

t

＝8.Ⅲ.如图③，当

BP

＝

AP

时，

AP

＝

BP

＝

t

cm，

CP

＝｜

t

－

4｜cm，

AC

＝3

cm.234567891在Rt△

ACP

中，

AP2＝

AC2＋

CP2，

234567891题型8利用勾股定理求最短距离8.

如图，有一圆柱形油罐，要从

A

点环绕油罐建梯子，正好

到

A

点的正上方

B

点.已知油罐的底面周长是12

m，高

AB

是5

m，问：梯子最短需要多长？234567891解：圆柱的侧面展开图如图所示.由题意知AA'＝12

m，A'B'＝5

m，连接AB'.在Rt△AB'A'中，AB'2＝AA'2＋B'A'2＝122＋52＝169＝132，所以AB'＝13

m.所以梯子最短需要13

m长.234567891题型9利用勾股定理分类求最短距离9.

[教材P19复习题T12变式]如图，已知长方体的长为2

cm、宽为1

cm、高为4

cm.一只蚂蚁如果沿长方体的表面从

A

点爬到B'点，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少？234567891解：分三种情况：如图①，连接AB'，在Rt△ABB'中，由勾股定理得AB'2＝

AB2＋BB'2＝(2＋1)2＋42＝25；234567891如图②，连接AB'，在Rt△ACB'中，由勾股定理得AB'2＝

AC2＋