江苏省常熟市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024-2025学年江苏省常熟市高二上学期期中考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x-y-3=0A.π3 B.2π3 C.π2.等比数列{an}中，a1=2，a2A.8 B.16 C.32 D.643.直线l:x-2y-A.相离 B.相切 C.相交 D.无法判断4.已知数列{an}满足a1=12A.-1 B.2 C.3 D.5.若直线x+(1+m)y-2=0和直线mxA.-2 B.-2或1 C.1 6.等差数列{an}的前n项和为Sn，当S11为定值时，2aA.11 B.13 C.15 D.不能确定7.若点P在直线x+y+3=0上，M是圆x2+y2=1上的动点，NA.13 B.11 C.9 D.88.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，aA.300 B.29 C.210 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.数列{an}的前n项和为SnA.若an=-2n+11，则数列{an}的前5项和S5最大

B.若等比数列{an}是递减数列，则公比q满足0<q<1

C.已知等差数列{an10.下列结论中正确的是(

)A.已知直线l过点P(2,3)，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y-5=0

B.已知圆O:x2+y2=4和圆C:(x-2)2+(y-3)2=1，则圆O和圆C有4条公切线

C.若直线l:x-y+m=0上存在点P，过点P作圆O:x2+11.如图1，在长度为1的线段AB上取两个点C，D，使得AC=DB=14AB，以CD为边在线段AB的上方作一个正方形，然后擦掉CD，就得到图2;对图2中的最上方的线段EF作同样的操作，得到图3;依此类推，我们就得到以下的一系列图，设为图1，图2，图3，⋯，图n，⋯，各图中线段的长度和为an，数列{an}A.S5=898 B.数列{an}是等比数列

C.存在正实数m三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若直线l1:x+my-2=0和直线l13.已知直线m:2x+y-1=0与直线n平行，且两条直线之间的距离为514.大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，求满足如下条件的最小整数N:N>100四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知点A的坐标为(-4,4)，直线l的方程为3(1)求点A关于直线l的对称点A'的坐标(2)求直线l关于点A的对称直线l'的方程.16.(本小题15分)已知数列{an}和数列{bn}，Sn为数列{a(1)求数列{an}和数列(2)若数列{cn}满足cn=117.(本小题15分)已知圆C过两点P(3,2)，Q(5,4)，圆心在直线x(1)求圆C的方程;(2)若过点A(4,1)的直线l1与圆C交于点M，N两点，且|MN|=2(3)若圆D的半径为3，圆心在直线x-y+2=0上，且与圆C外切，求圆D18.(本小题17分)设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，都有S2n=kSn(k为非零常数)，则称数列{an}为“和等比数列”，其中k为和公比.已知{(1)求数列{bn(2)若不等式Tn-3n+42219.(本小题17分)已知圆O:x(1)过点M作圆O的切线，求切线的方程;(2)已知A(2,4)，设P为满足方程PA2+PO2=34的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得PB(3)过点M作直线l交圆O于两个不同的点C，D(线段CD不经过圆心O)，分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程.答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查直线的倾斜角的定义，属于基础题．根据斜率直接求出倾斜角即可.

【解答】解：设直线x-y-3=0的倾斜角α，0≤α<π，

因为直线x-y-3=0的斜率为1，2.【答案】B

【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式及基本量的计算，属于基础题.

利用等比数列的通项公式即可求解.

【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，

则a1q⋅a1q2=32，

因为a1=2，3.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查直线与圆的位置关系的判断，属于基础题.

根据圆方程得出圆心坐标，求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较，即可得出结论.

【解答】

解：圆C:(x-1)2+(y-2)2=9的圆心为C(1,2)，半径为3，4.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了递推公式和数列的周期性，考查学生的分析和运算能力，属于基础题.

由题意可得该数列是周期为3的数列，即可得结果.【解答】

解：∵a1=12，an+1=1-1an，

∴a2=1-2=-1，5.【答案】C

【解析】【分析】本题考查两直线平行的条件，属于基础题.

由两直线平行得关于m的方程，求出m，然后排除重合的情况即可求解.【解答】解：因为直线x+(1+m)y-2=0和直线mx+2y+4=0平行，

所以1×2=m(1+m)，

解得m=1或m=-2，

当m=16.【答案】B

【解析】【分析】本题考查等差数列的性质以及求和公式，属于基础题.

根据等差数列的性质以及求和公式可得a1+5【解答】

解：因为S11=11a1+a112，当S11为定值时，即7.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了圆中的最值问题、点、直线间的对称问题，属于中档题.

求出两个圆的圆心，这两个圆心在直线y=-x-3的同侧，求出O关于直线y=-x-3对称的对称点Q的坐标，则PM+PN≥PO-1+PC-4≥CQ-5=8，即可求解此题.

【解答】解：圆x2+y2=1的圆心O0,0，半径为1，

圆(x-9)2+(y-2)2=16的圆心C9,2，半径为4，

O0,0和

C9,2在直线y=-x-3的同侧，

设O点关于直线y=-x-3对称的点的坐标为Qm,n，

则点(8.【答案】A

【解析】【分析】本题考查数列的递推关系及数列求和，属于中档题.

由递推关系得{an}的奇数项是首项为

a1=1，公差为3的等差数列，

{an}的偶数项是首项为

a2=2，公差为3的等差数列，再利用分组转化求和即可求解.

【解答】解：设n为奇数，则n+1是偶数，n+2是奇数，

则

an+1=an+1，

①

an+2=an+1+2，

②

①+②得：

an+2=an+3.

9.【答案】ACD

【解析】【分析】本题考查等差数列、等差数列的前n项和与等比数列的性质，属中档题.

利用等差数列和等比数列的性质逐项判断即可.【解答】

解：对于选项A，由an=-2n+11可得a5>0，a6<0，故数列{an}前5项的和最大，故A正确;

对于选项B，当a1<0,q>1时，等比数列{an}也是递减数列，故B错误；

对于选项C，S2021=2021(a1+a2021)2=2021a1011，∴10.【答案】BCD

【解析】【分析】本题考查截距式方程，圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，与圆相关的轨迹问题，两圆的公切线，点到圆上点的最值问题，属于中档题.

对于A，当直线过原点时，直线也满足条件，故可判断A;

对于B，判断两圆的位置关系即可；

对于C，可判断点P的轨迹是圆心为O，半径为OP的圆，又点P在直线l上，故直线l与该圆有公共点，易求出m的取值范围;

对于D，弦AB中点D的轨迹是以NC为直径的圆，求出|MD|的最值，即可求出【解答】

解：对于A，当直线过原点时，直线方程为y=32x，满足条件，∴A错误；

对于B，圆O:x2+y2=4的圆心为O(0,0)，半径r1=2，

圆C:(x-2)2+(y-3)2=1的圆心为C(2,3)，半径r2=1，

则圆心距|OC|=22+32=13，又r1+r2=3，

由13>3，可知|OC|>r1+r2，

∴两圆相离，∴圆O与圆C共有4条公切线，∴B正确;

对于C，连接OA，OB，OP，如图，

则易知四边形OAPB为正方形，

∴|OP|=2r=22，∴点P的轨迹是圆心为O，半径为22的圆，

又点P在直线l上，故直线l与该圆有公共点，

∴圆心11.【答案】AD

【解析】【分析】本题主要考查数列的通项公式以及数列的单调性，数列的求和公式，同时考查了归纳推理的应用，属于中档题．

an+1-an=22n，利用累加法求出数列{【解答】

解：由题意知，a1以此类推可得an故a=1+2故数列an不是等比数列，故BS5=3×5-2(1-因为an=3-1则数列Sn单调递增，所以，数列S因此，不存在正数m，使得Sn<man=3-12n-212.【答案】1

【解析】【分析】本题考查了两直线垂直的判定及其应用，属于基础题.

根据两条直线垂直的充要条件可得m-【解答】解：因为直线l1:x所以m-3+2m=0故答案为：1.13.【答案】2x+y【解析】【分析】本题考查两平行直线方程关系以及两平行线间的距离，属于基础题.

设与直线m平行的直线n的方程为2x+y+m=0，再根据两平行线距离公式求出m的值即可求解.

【解答】设与直线m平行的直线n的方程为2x+y+m=0，

所以-1-m22+12=14.【答案】440

【解析】【分析】本题考查等差、等比数列的综合应用，以及分组求和，属于较难题.

由等差数列的求和公式求得总共的项数，利用分组求和求得所有项数的和，由题意可知：2n+1为2的整数幂，只需将-【解答】

解：由题意可知：20是第一组，20,21是第二组，20,21,22是第三组，，

根据等比数列前n项和公式，求得每组和分别为：21-1，22-1，23-1，⋯，2n-1，⋯，

每组含有的项数为：1，2，3，⋯，n，⋯，

前n组总共的项数为1+2+3+⋯+n=(1+n)n2，

前n组所有项数的和为Sn=21-1+22-1+23-1+⋯+2n-1

=(21+22+23+⋯+2n15.【答案】解：(1)设点A'的坐标为(x',y').

因为点A与A'关于直线l对称，所以AA'⊥l，且AA'的中点在l上，

而直线l的斜率是-3，所以kAA'=13.

又因为kAA'=y'-4x'+4,所以y'-4x'+4=13…①．

再因为直线l的方程为3x+y-2=0，AA'的中点坐标是(x'-42,y'+42)，

所以3⋅x'-42+y'+42-2=0…②．

由①和②，解得x【解析】本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程的求法，对称点的求法，考查计算能力转化思想，是中档题．

(1)设出点A关于直线l的对称点A'的坐标，利用斜率乘积等于-1，中点坐标公式在对称轴上，列出方程组求解即可；

(2)直线l关于点A的对称直线l'，两条直线平行，设出l'的方程，通过直线l上的一点M(0,2)16.【答案】解：(1)已知Sn=2an-2①，

当n=1时，S1=2a1-2，得a1=2，

当n≥2时，Sn-1=2an-1-2②，

①-②得：an=2an-2an-1，即an=2an-1，

又a1=2≠0，an≠0【解析】本题主要考查递推公式、数列的前n项和及Sn与an的关系、裂项相消法求和等，属于中档题.

(1)利用已知条件分别得到anan-1=2(n≥2,n17.【答案】解：(1)依题意，设圆心C(a,a+1)，半径为r，则|PC|=|QC|=r，

即(a-3)2+(a+1-2)2=(a-5)2+(a+1-4)2，解得a=3，

所以C(3,4)，r=|PC|=2，得圆C:(x-3)2+(y-4)2=4.

(2)设圆C到直线l1的距离为d，由|MN|=2r2-d2=23，得d=1，【解析】本题考查了求圆的标准方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，属于中档题;

(1)依题意，设圆心C(a,a+1)，半径为r，|PC|=|QC|=r，列得关于a的方程，解得即可.

(2)弦长|MN|=23可得圆C到直线l1的距离为18.【答案】解：(1)设等差数列{bn}的公差为d，前n项和为An，

则An=nb1+n(n-1)2d=d2n2+(1-d2)n，

所以A2n=2dn2+(2-d)n.

因为{bn}是“和等比数列”，

所以A2n=kAn，即2dn2+(2-d)n=kd2n2+(k-kd2)n，对任意的n∈N*都成立，

所以2d【解析】本题考查了数列的新定义问题、等差数列以及错位相减求和，是较难题.

(1)设等差数列{bn}的公差为d，前n项和为An，由{bn}是“和等比数列”，所以A2n=kAn，化简可得k的值；

(2)由(1)可知19.【答案】解：(1)当切线斜率不存在时，显然x=1与圆O:x2+y2=1相切，

当切线斜率存在时，设切线为y=k(x-1)+3，由圆心到切线的距离为1，

所以|3-k|1+k2=1