陕西省宝鸡市2023-2024学年高一（上）期中数学试卷含答案

2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知集合的交集及补集定义运算即得．【详解】因则,故.故选：D．2.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】利用特殊值判断A，利用不等式的性质判断B、C、D；【详解】解：对于A：当时，故A错误；对于B：因为，所以，所以，所以，即，故B错误；对于C：由，则，，所以，故C错误；对于D：由，所以，所以，故D正确；故选：D3.在人类中，双眼皮由显性基因控制，单眼皮由隐性基因控制．当一个人的基因型为或时，这个人就是双眼皮，当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮．随机从父母的基因中各选出一个或者基因遗传给孩子组合成新的基因．根据以上信息，则“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分不必要条件的概念判断即可.【详解】若父母均为单眼皮，则父母的基因一定为和，孩子就一定是单眼皮．若孩子为单眼皮，则父母的基因可能是和，即父母均为双眼皮，故“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的充分不必要条件．故选：A4.取最小值时取值为（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】直接利用基本不等式求解即可．【详解】由题意可知，，，当且仅当，即时，等号成立，即取最小值时的取值为．故选：．5.已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据分段函数单调性列方程组即可求解.【详解】由题知：函数在R上单调递增，所以，解得，故选：C.6.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】通过函数值的正负可判断函数的图象.【详解】因为，故当时，，而当，，结合各选项中的图象可得C是正确的，故选：C.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般通过函数的奇偶性、单调性和函数值的符号等来判断，本题属于基础题.7.已知函数，其图象上两点的横坐标，满足，且，则有（）A. B.C. D.，的大小不确定【答案】C【解析】【分析】根据函数，作差比较.【详解】已知函数，所以，，，因为，，所以.故选：C【点睛】本题主要考查作差法比较函数值的大小，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．8.下列函数与表示同一函数的是（）A.， B.，C. D.【答案】CD【解析】【分析】根据定义域和对应关系都相同即为相等函数逐项判断．【详解】对于A：的定义域是，的定义域是，故，不是同一函数，故A错误；对于的定义域是，的定义域是，，故，不是同一函数，故错误；对于的定义域是，的定义域是，且，故，是同一函数，故正确；对于的定义域是，的定义域是，且，故，是同一函数，故正确．故选：CD．9.下列命题中正确的是（）A.函数在上是增函数B.当时，的最大值是C.函数在，上是减函数D.当，，都是正数时，有成立【答案】ABD【解析】【分析】结合二次函数单调性检验选项；结合基本不等式检验选项；结合反比例函数的性质及函数图象的平移检验选项；结合基本不等式检验选项．【详解】根据二次函数的性质可知，可知在上是增函数，A正确；当时，，当且仅当，即时取等号，B正确；函数在和上是减函数，C错误；当，，都是正数，，，，当且仅当时，上述三个不等式等号都成立，故，D正确．故选：ABD．10.若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有.则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数，能被称为“理想函数”的有（）A. B.C. D.函数满足【答案】BC【解析】【分析】由题得函数是奇函数，函数是减函数，函数才是“理想函数”.A.,在定义域上不是单调减函数，所以不是“理想函数”；BC.是奇函数，是定义域上的减函数，所以是“理想函数”；D.，是偶函数，不是奇函数，所以不是“理想函数”.【详解】解：对于定义域上的任意，恒有，所以函数是奇函数；对于定义域上的任意，当时，恒有，所以函数是减函数.A.,是奇函数，但是在定义域上不是单调减函数，所以不是“理想函数”；B.，是奇函数，是定义域上的减函数，所以是“理想函数”；C.，函数的图象如图所示，所以函数是奇函数，在定义域上单调递减，所以是“理想函数”；D.函数满足，所以，是偶函数，不是奇函数，所以不是“理想函数”；故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．11.学校举办运动会时，高一（2）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.同时参加田径和球类比赛的同学有_________人.【答案】3【解析】【分析】根据15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，可以求得只参加游泳比赛的人数；再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数．【详解】解：有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，这三项累加时，比全班人数多算了三部分，即同时参加游泳比赛和田径比赛的、同时参加游泳比赛和球类比赛的和同时参加田径比赛和球类比赛的重复算了两次所以，就是同时参加田径比赛和球类比赛的人数，所以同时参加田径比赛和球类比赛的有3人．故答案为：3．【点睛】本题主要考查集合之间的元素关系，注意每两种比赛的公共部分，属于中档题．12.已知函数，若不等式的解集是，则实数的值为__．【答案】【解析】【分析】根据题意，可得一元二次不等式的解集是，由此列式算出实数的值．【详解】，即，解集，所以，且是方程两个实数根，于是由韦达定理可得，解得不符合题意，舍去）．故答案为：．13.已知函数，是偶函数，则___________.【答案】【解析】【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称，可求得的值，再根据偶函数的定义可求得的值，进一步计算即可.【详解】根据题意，函数，是偶函数，则有，解可得，此时，又因其为偶函数，所以，解得，故.故答案为：.14.对，，记，则函数的最小值为__________．【答案】##1.5【解析】【分析】将转化为函数与在同一个处取得的两个函数值的较大的值，数形结合即可得解.【详解】函数是函数与函数同一个取得的两个函数值的较大的值，作函数与函数的图象如下，由图象可知，令，得或，故当时，的最小值为．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共57分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，，求，．【答案】，．【解析】【分析】先求出集合，，然后结合集合的并集运算，交集及补集运算即可求解．【详解】因为或，或，所以，．16.已知：实数满足，其中；：实数满足（1）若，且，均正确，求实数的取值范围：（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式，取交集即得；（2）由题设可推得集合间的包含关系，从而得到关于的不等式组，求解即得．【小问1详解】时，由解得：，由解得：，因均正确，故，即实数的取值范围是．【小问2详解】由是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件，因为，为，故为的真子集，，解得：，故实数的取值范围是．17.（1）当取什么值时，不等式对一切实数都成立？（2）若实数，，满足，则称比远离．对任意两个不相等的实数，，证明比远离．【答案】（1），；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）当时，显然成立；当时，由题意知，，再求出取值范围即可；（2）根据题意，对代数式作差，即可证明结论成立.【详解】（1）当时，显然成立，；当时，不等式对一切实数都成立，，解得．综上，的取值范围为，．（2）证明：，，，，比远离．18.已知二次函数满足（1）求函数的解析式及单调区间；（2）当时，求函数的最大值和最小值【答案】（1）f（x）＝x2－2x＋2；f（x）单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)；（2）最大值5，最小值1．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）结合的单调性可得出答案.【详解】（1）设函数f（x）＝ax2＋bx＋c(a≠0)由f（0）＝2，得c＝2，又f(x＋1)－f（x）＝2x－1，得2ax＋a＋b＝2x－1故解得：a＝1，b＝－2．所以f（x）＝x2－2x＋2．f（x）＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1函数f（x）图象的对称轴为x＝1，且开口向上，所以f（x）单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)．（2）f（x）＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，对称轴为x＝1∈[－1，2]，故，又f(－1)＝5，f（2）＝2，所以【点睛】本题考查了利用待定系数法求解析式和二次函数最值问题，考查了学生对基本知识的掌握情况，较简单.19.如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为．（1）求函数解析式；（2）若时，成立，则当正实数满足时，求的最小值．【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）结合图象，分类讨论求函数的解析式；（2）由（1）及知从而得的最小值1，再化简，从而求最小值．【小问1详解】如图，当时，，当时，，当时，，综上所述．【小问2详解】由（1）及知，，又，故，即，，当且仅当即时，等号成立，故的最小值为3．20.已知函数对于任意非零实数满足且当时，.（1）求与的值；（2）判断并证明的奇偶性和单调性；（3）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）偶函数，在−∞,0为减函数，在0,+∞上为增函数；（3）或或【解析】【分析】（1）利用赋值法，令，可求得的值，令，可求得的值；（2）判断定义域为，令，结合（1）中，化简可得，可得是偶函数；设，则，由题意可得，利用定义法即可证明在0,+∞单调性，根据是偶函数，可得在−∞,0的单调性；（3）根据（1）和（2）结论，将题干化简为或，化简整理，即可得答案.【详解】（1