江苏省启东市 2023-2024学年度高一第一学期期中考试（数学）含答案

2023-2024学年度高一第一学期期中考试（数学）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若非空且互不相等的集合M，N，P满足：，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，得到集合的包含关系，根据集合之间的包含关系进行判断即可；【详解】由题意可知，是的子集，是的子集，所以是的子集，所以.故选：C.2.设，则“”的充要条件是（）A.a，b不都为1 B.a，b都不为0C.a，b中至多有一个是1 D.a，b都不为1【答案】D【解析】【分析】由，求得且，即可求解.【详解】由，可得，所以且，所以“”的充要条件是“都不为”.故选：D.3.设a，b，m均为正数，且，那么（）A. B. C. D.与的大小随m变化而变化【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质，作差比较，即可求解.【详解】由，因为，且为正数，可得，所以，即，所以.故选：C.4.某灭活疫苗的有效保存时间单位：小时与储藏的温度单位：满足的函数关系为为常数，其中，是一个和类似的无理数，叫自然对数的底数)，超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在时的有效保存时间是1080h，在时的有效保存时间是120h，则该疫苗在时的有效保存时间为（）A.15h B.30h C.40h D.60h【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，结合指数函数的公式，即可求解．【详解】，

当时，，

当时，，解得，

当时，

故选：C5.若为偶函数，为奇函数，且，则的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性可得，即可求解解析式，通过排除可得答案．【详解】解：由得：，即，由解得：，由，排除BC．由指数函数的性质（指数爆炸性）排除D．故选：A6.设，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】将化为，利用指数函数的单调性得，，即可得.【详解】由指数函数的单调性可得，，，所以.故选：D7.已知，，且，则的最小值为（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】C【解析】【分析】，展开后利用基本不等式即可求解．【详解】因为，，且，∴，当且仅当，即，即时，等号成立．故选：C8.已知函数，且，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先确定函数的单调性，再构造函数，研究函数的奇偶性，再依次判断题中的不等式是否成立即可．【详解】由函数单调性性质得：，在R上单调递增，所以在R上单调递增，令函数，则，所以，则函数为奇函数，且在R上单调递增，故.故选：A．二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由指数函数性质可判断A；例举法可判断B；同时除以可判断C；去绝对值并结合对数函数可判断D.【详解】因为，对A，为减函数，所以，A项正确；对B，，则，故B项错误；对C，，因为，所以同时除以有，故C项正确；对D，因为，所以，又，所以，对数函数为增函数，所以，D项正确.故选：ACD10.给出定义：若，则称为离实数最近的整数，记作.在此基础上给出下列关于函数的四个结论，其中正确的是（）A.函数值域为B.函数是偶函数C.函数在上单调递增D.函数图象关于直线对称【答案】ABD【解析】【分析】根据的定义，画出函数的图象，根据图象判定即可.【详解】根据定义知函数的定义域为,又，则即所以故函数值域为，正确；函数的图象如下图所示，有图可知函数是偶函数，正确；函数在上有增有减，错误；由图可知的图象关于对称，正确.故选：11.已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，若，则下列关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由题意由是定义在R上的奇函数得函数的周期为4，即可得出结果.【详解】因为

为奇函数且满足

，故，故可知

的周期为4，所以

，

，因为当

时，

，所以

，即,故选：ABD12.已知定义在上的函数满足当时，，当x>2时，满足为常数)，则下列叙述中正确的为（）A.当时，B.当时，的值域为C.当时，在上恒成立D.当时，函数的图象与直线在上的交点个数为【答案】ABD【解析】【分析】代入即可求解A，根据分段函数的性质，作出函数图象，结合平移即可求解B，根据函数图象，结合临界情况，举反例可判断C，利用数形结合可判断D.【详解】当时，，A正确；的图象为：由图象可知，时，的值域为当时，，的图象是由的图象向右平移2个单位得到，所以的值域为0,2，B正确；当时，，画出和的图象如下：类指数函数的图象刚好经过的图象中每个"山顶"，若在上恒成立，即类指数函数的图象恒在图象的上方，这个不一定恒成立，在每个"山项"的左边，的图象既可以在"山坡"上方，也可以穿过"山坡"在下方，临界情况是相切，如取，当时，，C错；当时，的图象如下：直线刚好经过第n个"山峰”的“山顶"，它与前面个"山峰"都有两个交点，与后面的“山峰"没有交点，共个交点，D正确;故选：ABD【点睛】函数求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数为偶函数在上单调递减，则的解析式可以为_________写一个即可)【答案】

(答案不唯一)【解析】【分析】根据常见幂函数的性质即可求解.【详解】因为幂函数

在

0,+∞

上单调递减，所以

，又因为

为偶函数，所以

适合题意．故答案为:

(答案不唯一).14.函数的单调递增区间是__________．【答案】【解析】【分析】利用复合函数单调性的判断方法直接判断即可.【详解】由得函数定义域：，解得，令，则在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递减，所以根据复合函数单调性的判断方法得在上单调递增，故答案为：.15.已知且满足，则最小值为_____【答案】【解析】【详解】由a＞0，b＞0，且满足3a+b=a2+ab，∴b=，解得1＜a＜3．则2a+b=2a+=a﹣1++3≥+3=2+3，当且仅当a=1+，b=1时取等号．故答案为3+2．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.16.已知函数，，则______；满足不等式的实数b的取值范围为______.【答案】①.3②.【解析】【分析】取代入得可得，分析函数单调性结合不等式即可求解．【详解】由的定义域为R，且知，，所以，故，又函数在R上单调递减，由，得，则，解得，故b的取值范围为，故答案为：3；．四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知一元二次不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B（其中）．（1）求集合B；（2）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的______中，若问题中的实数m存在，求m的取值范围：若不存在，说明理由．问题：是否存在实数m，使得______？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由，得，从而根据m的范围，分类讨论，解一元二次不等式即可；（2）由（1），若选择①，则，从而列式求得m的取值范围；若选择②，，根据m的范围，分类讨论，利用交集运算得结论；若选择③，，则，由此可求出m的取值范围．【小问1详解】解：由，即．①时，；②时，或；③时，；④时，不等式无解；⑤时，．综上所述：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．【小问2详解】由（1），若选择①，则，由（1）可知：只有当，，则有，所以；另外，当时，也成立，所以选择①，则实数m的取值范围是；若选择②，，由（1）可知：当，，时，都能符合条件；当，，则有，所以所以选择②，则实数m的取值范围是或；若选择③，，则，由（1）可知：只有当时，成立；另外，当时，也成立所以选择③，则实数m的取值范围是．18.已知命题“使不等式成立”是假命题（1）求实数m的取值集合；（2）若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先根据题意得出命题的否定“，不等式”成立是真命题，然后由或求解即可；（2）根据题意得出集合是集合的真子集，然后列出不等式求解即可.【小问1详解】因为命题“，不等式”成立是假命题，所以命题的否定“，不等式”成立是真命题，所以或，解得或，故集合；【小问2详解】因为，即，所以，因为是集合的必要不充分条件，令集合，则集合是集合的真子集，即，解得，所以实数的取值范围是19.求下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可;

（2）进行对数的运算即可.【小问1详解】原式；【小问2详解】原式20.已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有.（1）判断函数在上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）若对所有，恒成立，求实数取值范围.【答案】（1）是增函数，证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在[﹣1，1]上是的增函数；（2）利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式≤m2﹣5mt-5进行转化，结合二次函数性质即可求实数m的取值范围．【详解】（1）函数在[－1，1]上是增函数.设∵是定义在[－1，1]上的奇函数，∴.又，∴，由题设有，即，所以函数在[－1，1]上是增函数.（2）由（1）知，∴对任意恒成立，只需对]恒成立，即对恒成立，设，则，解得或，∴的取值范围是．【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，将不等式转化为函数问题是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．21.已知函数，函数（1）试判断函数的单调性，并证明你的结论；（2）若不等式对恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）在上单调递增，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用函数的单调性的定义以及对数函数的性质进行证明；

（2）遇到恒成立的问题，经常转化为求最值的问题，从而得出关于a的不等式组，求解即可.【小问1详解】在其定义域上单调递增.证明如下：设任意，则有：

，

，

，，，

，，

在上单调递增，，即

.

函数在上单调递增.【小问2详解】由（1）知：当时，，

由不等式对恒成立，

得，

为单调递增函数，

，

，

解得

.

实数a的取值范围22.已知函数在区间上有最大值4和最小值1．设．（1）求的值;（2）若不等式在上有解,求实数k的取值范围;（3）若有三个不同的实数解,求实数k的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)根据的函数性质,即可判断在上单调性,即有,解出即可;(2)根据(1)中结论,代入题中,先对式子全分离,再用换元求出其最值即可得出结果;(3)将(1)中结论,代入题中式子,令,根据图像变换画出函数图象,根据有三个不同的根及图象性质可知,只需有两个不同的实数解、,且有,,或,成立即可,根据二次函数根的分布问题,分别列出不等式解出即可.【小问1详解】解:由题知,因为,所以为开口向上的抛物线,且有对称轴为,所以在区间上是单调增函数,则,即,解得;【小问2详解】由(1)得,则,因为在上有解,即,使得成立,因为,所以有成立,令,因为,所以,即,使得成立,只需即可,记,因为,得,所以k的取值范围是;【小问3详解】因为有三个不同实数解,即有三个不同的根