2024-2025学年新教材高中数学第六章概率1.3全概率公式学案北师大版选择性必修第一册

PAGE1.3全概率公式必备学问·自主学习导思1.全概率公式是什么？2．贝叶斯公式与全概率公式有什么联系？1.全概率公式设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)>0(i＝1，2，…，n)，则对随意一个事务A有P(A)＝称上式为全概率公式．在全概率公式的推导过程中，用到了哪些概率公式？提示：互斥事务概率的加法公式与条件概率的乘法公式．*2.贝叶斯公式设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(A)>0，若P(Bi)>0(i＝1，2，…，n)，则P(Bi|A)＝称上式为贝叶斯公式．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)全概率公式中样本空间Ω中的事务Ai需满意的条件为＝Ω.()(2)贝叶斯公式是在视察到事务B已发生的条件下，找寻导致B发生的每个缘由的概率．()提示：(1)×.需满意的条件为AiAj＝∅(i≠j)，＝Ω且P(Ai)>0.(2)√.2．已知A，B为样本空间为Ω中的事务，BA与Beq\x\to(A)是互斥的，B＝BA＋Beq\x\to(A)，且P(AB)＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(A)B)＝eq\f(1,3)，则P(B)＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,6)D．eq\f(5,6)【解析】选D.由互斥事务概率的加法公式得，P(B)＝P(AB)＋P(eq\x\to(A)B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).3．设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱，3箱，2箱，三厂产品的废品率依次为0.1，0.2，0.3从这10箱产品中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，则取得正品的概率为________．【解析】设A为事务“取得的产品为正品”，B1，B2，B3分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”，由题设知P(B1)＝eq\f(5,10)，P(B2)＝eq\f(3,10)，P(B3)＝eq\f(2,10)，P(eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(A))B1)＝0.9，P(eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(A))B2)＝0.8，P(eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(A))B3)＝0.7，所以P(A)＝＝eq\f(5,10)×eq\f(9,10)＋eq\f(3,10)×eq\f(8,10)＋eq\f(2,10)×eq\f(7,10)＝0.83.答案：0.83关键实力·合作学习类型一利用全概率公式求概率(数学运算)【典例】1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，求从2号箱取出红球的概率．【思路导引】弄清题意，用全概率公式求解．【解析】设A：最终从2号箱取出的是红球，B：从1号箱取出的是红球，则：P(B)＝eq\f(4,2＋4)＝eq\f(2,3)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(B)))＝1－P(B)＝eq\f(1,3)；Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(B))))＝eq\f(3＋1,8＋1)＝eq\f(4,9)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\x\to(B)))))＝eq\f(3,8＋1)＝eq\f(1,3)；所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(AB))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A\x\to(B)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(B))))P(B)＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\x\to(B)))))Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(B)))＝eq\f(4,9)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,9)＝eq\f(11,27).全概率公式求概率的关注点(1)实质：为了求困难事务的概率，往往可以把它分解成若干个互斥的简洁事务之和，然后利用条件概率和乘法公式，求出这些简洁事务的概率，最终利用概率可加性，得到最终结果．(2)应用：把事务B看作某一过程的结果，把A1，A2，…，An…看作该过程的若干个缘由，依据历史资料，每一缘由发生的概率(即P())已知，而且每一缘由对结果的影响程度(即P(B|))已知，则可用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B)).【补偿训练】有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？【解析】设事务A为“任取一件为次品”，事务Bi：任取一件为i厂的产品，i＝1，2，3.B1∪B2∪B3＝Ω，BiBj＝∅，i，j＝1，2，3，i≠j；P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(A))B1)＝0.02，P(eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(A))B2)＝0.01，P(eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(A))B3)＝0.01，由全概率公式得，P(A)＝P(eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(A))B1)P(B1)＋P(eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(A))B2)P(B2)＋P(eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(A))B3)P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.(选学)类型二利用贝叶斯公式求概率(数学运算)【典例】三部自动的机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占40%，机器乙生产的占25%，机器丙生产的占35%，已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有10%、5%和1%不合格，现从总产品中随机地抽取一个零件，发觉是不合格品，求：(1)它是由机器甲生产出来的概率；(2)它是由哪一部机器生产出来的可能性大．【思路导引】利用贝叶斯公式分别求出不合格产品是由哪一部机器产出的概率，比较大小即可．【解析】设B1，B2，B3分别表示事务：任取的零件为甲、乙、丙机器生产的，A：抽取的零件是不合格品，由条件知，P(B1)＝0.40，P(B2)＝0.25，P(B3)＝0.35，P(A|B1)＝0.10，P(A|B2)＝0.05，P(A|B3)＝0.01，(1)所求概率为P(B1|A)，P(B1|A)＝≈0.714.(2)类似(1)的计算可得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B2\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(A))))≈0.223，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B3\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(A))))≈0.063，比较可知是机器甲生产出来的可能性大．贝叶斯公式的应用把事务B看作某一过程的结果，把A1，A2，…，An…看作该过程的若干个缘由，依据历史资料，每一缘由发生的概率即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(An))已知，而且每一缘由对结果的影响程度(即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(An)))))已知，假如已知事务B已经发生，要求此时是由第i个缘由引起的概率，则用贝叶斯公式(即求Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Ai\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(B))))).用血清诊断肝癌，临床实践表明，患肝癌的病人中有95%试验呈阳性，也有2%的非肝癌患者化验呈阳性．若将此法用于人群肝癌普查，设人群中肝癌患病率0.2%，现某人在普查中化验结果呈阳性，求此人确患肝癌的概率．【解析】设A：被化验者确患肝癌症，B：被化验者结果呈阳性，则P(B|A)＝0.95，P(B|eq\x\to(A))＝0.02，P(A)＝0.002，P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝0.998，P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝＝eq\f(0.95×0.002,0.95×0.002＋0.02×0.998)≈0.087.课堂检测·素养达标1．(2024·潍坊高二检测)甲袋中有5只白球，7只红球；乙袋中有4只白球，2只红球．从两个袋中任取一球，则取到的球是白球的概率为()A．eq\f(5,12)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(13,24)【解析】选D.设事务A表示“取到的是甲袋”，B表示“取到的是乙袋”，C表示“最终取到的是白球”，则A与B是对立事务．依据题意：P(C|A)＝eq\f(5,12)，P(C|B)＝eq\f(2,3)，P(A)＝eq\f(1,2).所以P(C)＝P(C|A)P(A)＋P(C|B)P(B)＝eq\f(5,12)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(13,24).2．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，其次车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为()A．0.6B．0.85C．0.868D．0.88【解析】选C.设B：从仓库中随机提出的一台是合格品，Ai：提出的一台是第i车间生产的，i＝1，2，则有B＝A1B∪A2B，由题意，P(A1)＝eq\f(2,5)，P(A2)＝eq\f(3,5)，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.3．设某马路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为________．【解析】设B：中途停车修理，A1：经过的是货车，A2：经过的是客车，则B＝A1B∪A2B，由贝叶斯公式有P(A1eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(B)))＝eq\f(P（A1）P（B\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(A1）)),P（A1）P（B\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(A1）＋P（A2）P（B\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(A2）)))))＝eq\f(\f(2,3)×0.02,\f(2,3)×0.02＋\f(1,3)×0.01)＝0.8.答案：0.84．已