2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价四十七第六章概率5正态分布含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE四十七正态分布(15分钟30分)1．已知随机变量ξ听从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ≤2)＝0.66，则P(ξ≤0)＝()A．0.84B．0.68C．0.34D．0.16【解析】选C.由正态分布曲线得P(1<ξ≤2)＝0.66－0.5＝0.16，所以P(0<ξ≤1)＝0.16，所以P(ξ≤0)＝0.5－0.16＝0.34.2．已知随机变量X听从正态分布N(3，σ2)，且P(X≤4)＝0.84，则P(2<X≤4)＝()A．0.84B．0.68C．0.32D．0.16【解析】选B.由题可知，P(X>4)＝1－P(X≤4)＝1－0.84＝0.16，由于X～N(3，σ2)，所以，P(X<2)＝P(X>4)＝0.16，因此P(2<X≤4)＝1－P(X<2)－P(X>4)＝1－0.16－0.16＝0.68.3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)听从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为()(附：若随机变量ξ听从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%.)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%【解析】选B.由题意得P(－3＜ξ≤3)＝68.26%，P(－6＜ξ≤6)＝95.44%，所以P(3＜ξ＜6)＝eq\f(1,2)(95.44%－68.26%)＝13.59%.4．已知随机变量X～N(1，σ2)，P(－1<X≤1)＝0.4，则P(X≥3)＝________．【解析】因为随机变量X听从正态分布N(1，σ2)，所以曲线关于x＝1对称，因为P(－1<X≤1)＝0.4，所以P(X≥3)＝P(X≤－1)＝0.5－P(－1<X≤1)＝0.1.答案：0.15．依据国家标准规定，500g袋装奶粉每袋质量必需听从正态分布X～N(500，σ2)，经检测某种品牌的奶粉P(490≤X≤510)＝0.95，一超市一个月内共卖出这种品牌的奶粉400袋，求卖出的奶粉质量在510g以上的大约为多少袋．【解析】因为X～N(500，σ2)且P(490≤X≤510)＝0.95，所以P(X>510)＝eq\f(1－0.95,2)＝0.025，所以510g以上的大约为：400×0.025＝10(袋).(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1．设随机变量ξ～N(2，2)，则D(eq\f(1,2)ξ＋2)＝()A．1B．eq\f(1,2)C．3D．4【解析】选B.因为ξ～N(2，2)，所以Dξ＝2，由方差的性质可得Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ξ＋2))＝eq\f(1,4)Dξ＝eq\f(1,4)×2＝eq\f(1,2).2．(2024·沈阳高二检测)已知随机变量X～N(0，σ2)，若P(0<X≤1)＝0.4，则P(|X|>1)的值为()A．0.1B．0.2C．0.3D．0.6【解析】选B.由随机变量X～N(0，σ2)，可得正态分布曲线的对称轴为x＝0，又P(0<X≤1)＝0.4，所以P(|X|>1)＝1－2P(0<X≤1)＝1－2×0.4＝0.2.3．已知随机变量ξ听从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ<4)＝0.9，则P(－2<ξ<1)＝()A．0.2B．0.3C．0.4D．0.6【解析】选C.由题意可知μ＝1，正态分布曲线关于x＝1对称，P(ξ>4)＝1－P(ξ<4)＝0.1，依据对称性可知，P(ξ<－2)＝P(ξ>4)＝0.1，P(－2<ξ<1)＝0.5－P(ξ<－2)＝0.5－0.1＝0.4.4．已知随机变量X～N(1，σ2)，且P(X≤0)＝P(X≥a)，则(1＋ax)3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))eq\s\up12(5)的绽开式中x4的系数为()A．680B．640C．180D．40【解析】选A.因为随机变量X～N(1，σ2)，P(X≤0)＝P(X≥a)，所以a＝2，代入可得(1＋2x)3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))eq\s\up12(5)，故(1＋2x)3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))eq\s\up12(5)绽开式中包含x4的项为：Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))(x2)3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))eq\s\up12(2)·Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))(x2)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))eq\s\up12(3)·Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))(2x)3＝40x4＋640x4＝680x4，系数为680.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5．(2024·青岛高二检测)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别听从正态分布N(μ，302)和N(280，402)，则下列选项正确的是()附：若随机变量X听从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6826.A．若红玫瑰日销售量范围在(μ－30，280)的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D．白玫瑰日销售量范围在(280，320)的概率约为0.3413【解析】选ABD.对于选项A：μ＋30＝280，μ＝250，正确；对于选项BC：利用σ越小越集中，30小于40，B正确，C不正确；对于选项D：P(280<X≤320)＝P(μ<X≤μ＋σ)≈0.6826×eq\f(1,2)＝0.3413，正确．6．已知某校高三年级有1000人参与一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为(60，300]，若使标准分X听从正态分布N(180，900)，则下列说法正确的有()参考数据：①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974A．这次考试标准分超过180分的约有450人B．这次考试标准分在(90，270]内的人数约为997C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为eq\f(3,8)D．P(240<X≤270)＝0.0428【解析】选BC.选项A；因为正态分布曲线关于x＝180对称，所以这次考试标准分超过180分的约有eq\f(1,2)×1000＝500人，故说法不正确；选项B：由正态分布N(180，900)，可知：μ＝180，σ＝30所以P(90<X≤270)＝P(180－3×30<X≤180＋3×30)＝0.9974，因此这次考试标准分在(90，270]内的人数约为1000×0.9974≈997人，故说法正确；选项C：因为正态分布曲线关于x＝180对称，所以某个人标准分超过180分的概率为eq\f(1,2)，因此甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(3,8)，故说法正确；选项D：由题中所给的公式可知：P(90<X≤270)＝P(180－3×30<X≤180＋3×30)≈0.9974，P(120<X≤240)＝P(180－2×30<X≤180＋2×30)≈0.9544，所以由正态分布的性质可知：P(240<X≤270)＝eq\f(1,2)[P(90<X≤270)－P(120<X≤240)]＝eq\f(1,2)(0.9974－0.9544)＝0.0215，所以说法不正确．三、填空题(每小题5分，共10分)7．设随机变量X～N(4，32)，且P(X<0)＝P(X>a－1)，则实数a的值为_______．【解析】依据题意有0＋a－1＝4×2⇒a＝9.答案：98．(2024·广州高二检测)探讨珠海市农科奇观的某种作物，其单株生长果实个数x听从正态分布N(90，σ2)，且P(x<70)＝0.1，从中随机抽取10株，果实个数在(90，110]的株数记作随机变量X，假设X听从二项分布，则X的方差为________．【解析】因为x～N(90，σ2)，所以P(90<x≤110)＝eq\f(1,2)－P(x>110)，而P(x>110)＝P(x<70)＝0.1.所以P(90<x≤110)＝0.4，而X～B(10，0.4)，所以DX＝10×0.4×0.6＝2.4.答案：2.4四、解答题(每小题10分，共20分)9．(2024·南昌高二检测)上饶市在某次高三适应性考试中对数学成果数据统计显示，全市10000名学生的成果近似听从正态分布N(120，52)，现某校随机抽取了50名学生的数学成果分析，结果这50名学生的成果全部介于85分到145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95)，其次组[95，105)，…，第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图：(1)试由样本频率分布直方图估计该校全体学生的数学成果的平均分数；(2)若从这50名学生中成果在125分(含125分)以上的同学中随意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X≥2的概率．附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9974.【解析】(1)由频率分布直方图可知[125，135)的频率为1－(0.010×10＋0.024×10＋0.030×10＋0.016×10＋0.008×10)＝0.12所以估计该校全体学生的数学平均成果为：90×0.1＋100×0.24＋110×0.3＋120×0.16＋130×0.12＋140×0.08＝112.(2)由于eq\f(13,10000)＝0.0013，依据正态分布：P(120－3×5<X≤120＋3×5)≈0.9974，故P(X≥135)＝eq\f(1－0.9974,2)＝0.0013，即0.0013×10000＝13.所以前13名的成果全部在135分以上．依据频率分布直方图可知这50人中成果在135分以上(包括135分)的有50×0.08＝4人，而在[125，145]的学生有50×(0.12＋0.08)＝10人．所以X的取值为0，1，2，3.P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,30).P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(3,10)＋eq\f(1,30)＝eq\f(1,3).10．某市举办数学学问竞赛活动，共5000名学生参与，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中2道单选题，1道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对一道单选题得2分，答错得0分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成果．(1)通过分析可以认为学生初试成果X听从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝66，σ2＝144，试估计初试成果不低于90分的人数；(2)已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正确回答率为eq\f(2,3)，多选题的正确回答率为eq\f(1,2)，且每道题回答正确与否互不影响．记小强复试成果为Y，求Y的分布列及数学期望．附：P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.【解析】(1)因为σ2＝144，即σ＝12，又μ＝66，所以μ＋2σ＝66＋2×12＝90，所以P(X≥90)＝P(X≥μ＋2σ)＝eq\f(1,2)(1－0.9544)＝0.0228，所以估计初试成果不低于90分的人数有0.0228×5000＝114(人).(2)Y的全部可能取值为0，2，3，4，5，7，所以P(Y＝0)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,18)；P(Y＝2)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(4,18)＝eq\f(2,9)；P(Y＝3)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,18)；P(Y＝4)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(4,18)＝eq\f(2,9)；P(Y＝5)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(4,18)＝eq\f(2,9)；P(Y＝7)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(4,18)＝eq\f(2,9)；所以Y的分布列为：Y023457Peq\f(1,18)eq\f(2,9)eq\f(1,18)eq\f(2,9)eq\f(2,9)eq\f(2,9)所以EY＝0×eq\f(1,18)＋2×eq\f(2,9)＋3×eq\f(1,18)＋4×eq\f(2,9)＋5×eq\f(2,9)＋7×eq\f(2,9)＝eq\f(25,6).【创新迁移】1．设随机变量ξ听从正态分布N(μ，σ2)，函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是eq\f(1,2)，则μ＝()A．1B．4C．2D．不能确定【解析】选B.依据题意，函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ＜0，即ξ＞4，依据正态分布密度曲线的对称性，当函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是eq\f(1,2)时，μ＝4.2．为了了解某市高三学生的身体状况，某健康探讨协会对该市高三学生组织了两次体测，其中第一次体测的成果(满分：100分)的频率分布直方图如图所示，其次次体测的成果X～N(65，2.52).(1)试通过计算比较两次体测成果平均分的凹凸；(2)若该市有高三学生20000人，记体测成果在70分以上的同学的身体素养为优秀，假设这20000人都参与了其次次体测，试估计其次次体测中身体素养为优秀的人数；(3)以频率估计概率，若在参与第一次体测的学生中随机抽取4人，记这4人成果在[60，80)的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．附：P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.【解析】(1)由频率分布直方图可得第一次体测成果的平均分为：0．12×45＋0.2×55＋0.25×65＋0.35×75＋0.06×85＋0.02×95＝65.9；其次次体测的成果X～N(65，2.52)，故其次次体测成果的平均分为65.因为65.9>65，所以第一次体测成果的平均分高于其次次体测成果的平均分．(2)因为X～N(65，2.52)，所以P(X>70)＝eq\f(1－P（60<X≤70）,2)＝eq\f(1－P（μ－2σ<X≤μ＋2σ）,2)＝0．0228，故所求人数大约为20000×0.0228＝456.(3)依题意(0.025＋0.035)×10＝0.6＝eq\f(3,5)，ξ的可能取值为0，1，