2024-2025学年高中数学第二章概率2.4二项分布学案含解析北师大版选修2-3

PAGE4二项分布授课提示：对应学生用书第38页[自主梳理]一、n次独立重复试验在________条件下________的n次试验称为n次独立重复试验．二、二项分布进行n次试验，假如满意以下条件：(1)每次试验只有两个________的结果，可以分别称为“胜利”和“失败”；(2)每次试验“胜利”的概率均为p，“失败”的概率均为________；(3)各次试验是________的．用X表示这n次试验中胜利的次数，则P(X＝k)＝______________________.若一个随机变量X的分布列如上所述，称X听从参数为n，p的二项分布，简记为________．[双基自测]1．对独立重复试验有以下说法：①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两个相互对立的结果；③每次试验中事务A发生的概率相等；④各次试验中，各个事务是互斥的．其中正确的是()A．①② B．②③C．①②③ D．①②④2．已知η～B(6，eq\f(1,3))，则P(η＝4)等于()A.eq\f(3,16) B.eq\f(20,243)C.eq\f(13,243) D.eq\f(80,243)3．已知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))，则P(X＝2)＝________.[自主梳理]一、相同重复做二、相互对立1－p相互独立Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)X～B(n，p)[双基自测]1．C各次试验中，各个事务是相互独立的，所以④不正确．2．BP(η＝4)＝Ceq\o\al(4,6)·(eq\f(1,3))4·(eq\f(2,3))2＝eq\f(20,243).3.eq\f(80,243)P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))6－2＝Ceq\o\al(2,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＝eq\f(80,243).授课提示：对应学生用书第39页探究一独立重复试验的判定[例1]推断下列试验是不是独立重复试验：(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面对上；(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．[解析](1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是独立重复试验．(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是独立重复试验．(3)每次抽取，试验的结果有三种不同颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是独立重复试验．独立重复试验的判定方法推断试验是否为独立重复试验，关键是看是否是在相同条件下及各次试验是否相互独立且事务发生的概率是否相同．1．小明同小华一起玩掷骰子嬉戏，嬉戏规则如下：小明先掷，小华后掷，如此间隔投掷，问：(1)小明共投掷n次，是否可看作n次独立重复试验？小华共投掷m次，是否可看作m次独立重复试验？(2)在嬉戏的全过程中共投掷了m＋n次，则这m＋n次是否可看作m＋n次独立重复试验？解析：(1)由独立重复试验的条件，小明、小华各自投掷骰子时可看作在相同条件下，且每次间互不影响，故小明、小华分别投掷的n次和m次可看作n次独立重复试验和m次独立重复试验．(2)就全过程考查，不是在相同条件下进行的试验，故不能看作m＋n次独立重复试验．探究二求独立重复试验的概率[例2]甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则射击停止，问：乙恰好射击5次后被中止射击的概率是多少？[解析]设“甲、乙两人各射击一次击中目标分别记为A、B”，则P(A)＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(3,4).(1)甲射击4次，全击中目标的概率为Ceq\o\al(4,4)(eq\f(2,3))4＝eq\f(16,81).所以甲射击4次至少1次未中目标的概率为P＝1－eq\f(16,81)＝eq\f(65,81).(2)甲、乙各射击4次，甲恰好击中2次，概率为Ceq\o\al(2,4)(eq\f(2,3))2×(eq\f(1,3))2＝eq\f(8,27).乙恰好击中3次，概率为Ceq\o\al(3,4)(eq\f(3,4))3×eq\f(1,4)＝eq\f(27,64).所以概率为eq\f(8,27)×eq\f(27,64)＝eq\f(1,8).(3)乙射击5次后，中止射击，第3次击中，4、5次不中，而1、2至少1次击中目标，所以中止的概率为(eq\f(3,4))3×(eq\f(1,4))2＋(eq\f(3,4))2×(eq\f(1,4))3＋(eq\f(3,4))2×(eq\f(1,4))3＝eq\f(45,1024).在求某事务的概率时，要擅长从详细问题中抽象出独立重复试验的模型，并明确n是多少，事务A是什么，其发生的概率是多少等问题．2．某车间的5台机床中的任何一台在1小时内须要工人照管的概率都是eq\f(1,4)，求1小时内这5台机床中至少有2台须要工人照管的概率是多少(结果保留两位有效数字)?解析：设事务A：“1台机床在1小时内须要工人照管”，则有P(A)＝eq\f(1,4).设X＝k表示在1小时内有k台机床须要工人照管，k＝0,1,2,3,4,5.所以5台机床在1小时内须要照管相当于5次独立重复试验，而事务A至少发生2次的概率为1－P(X＝1)－P(X＝0)＝1－[Ceq\o\al(1,5)(eq\f(1,4))·(eq\f(3,4))4＋Ceq\o\al(0,5)(eq\f(1,4))0·(eq\f(3,4))5]≈0.37，即所求的概率为0.37.探究三二项分布的综合应用[例3]一名学生骑自行车去上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事务是相互独立的，并且概率都是eq\f(1,3).(1)设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的概率分布；(2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的概率分布；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．[解析](1)依据已知条件，可将遇到每个交通岗看作一次试验，遇到红灯的概率都是p＝eq\f(1,3)，且每次试验结果都是相互独立的，所以ξ～B(6，eq\f(1,3))．∴P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,6)(eq\f(1,3))k(1－eq\f(1,3))6－k＝Ceq\o\al(k,6)(eq\f(1,3))k(eq\f(2,3))6－k，k＝0,1,2，…，6.∴所求ξ的概率分布为：ξ0123456Peq\f(64,729)eq\f(64,243)eq\f(80,243)eq\f(160,729)eq\f(20,243)eq\f(4,243)eq\f(1,729)(2)由题意知，η＝k(k＝0,1,2，…，5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第(k＋1)个路口遇上红灯，则其概率为P(η＝k)＝(eq\f(2,3))k·eq\f(1,3)，η＝6表示路上没有遇上红灯，其概率为P(η＝6)＝(eq\f(2,3))6.∴所求η的概率分布为：η0123456Peq\f(1,3)eq\f(2,9)eq\f(4,27)eq\f(8,81)eq\f(16,243)eq\f(32,729)eq\f(64,729)(3)由题意可知，“至少遇到一次红灯”的对立事务是“一次红灯都没有遇到”，因此有P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－eq\f(64,729)＝eq\f(665,729).二项分布的综合应用留意点(1)合理转化：对问题情境合理转化，推断是否为二项分布的关键是看试验是否为独立重复试验．(2)正确计算：若听从二项分布，则确定对应的n，p的值，从而利用二项分布公式正确计算．3．某地区每天保证用水量的概率为0.75，试求：(1)最近7天内正常用水的天数的分布列；(2)最近7天内至少有两天正常用水的概率．解析：(1)由题意知，最近7天内用水正常的天数X听从参数n＝7，p＝0.75的二项分布，即X～B(7,0.75)．由二项分布的概率公式知：P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,7)×0.750×0.257≈0.00006，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,7)×0.751×0.256≈0.00128，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,7)×0.752×0.255≈0.01154，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,7)×0.753×0.254≈0.05768，P(X＝4)＝Ceq\o\al(4,7)×0.754×0.253≈0.17303，P(X＝5)＝Ceq\o\al(5,7)×0.755×0.252≈0.31146，P(X＝6)＝Ceq\o\al(6,7)×0.756×0.251≈0.31146，P(X＝7)＝Ceq\o\al(7,7)×0.757×0.250≈0.13348.其分布列为：X01234567P0.000060.001280.011540.057680.173030.311460.311460.13348(2)解法一P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＋P(X＝7)≈0.01154＋0.05768＋0.17303＋0.31146＋0.31146＋0.13348＝0.9987.所以最近7天内至少有两天正常用水的概率为0.99867.解法二P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)≈1－0.00006－0.00128＝0.9987.所以最近7天内至少有两天正常用水的概率为0.9987.独立重复试验在实际中的应用[典例](本题满分12分)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是eq\f(1,3)，遇到红灯时停留的时间都是2min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率．[解](1)设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事务A，因为事务A等于事务“这名学生在第一和其次个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事务A的概率为P(A)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27).………4分(2)设“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min”为事务B，“这名学生在上学路上遇到k次红灯”的事务为Bk(k＝0,1,2)．则由题意，得P(B0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＝eq\f(16,81)，………6分P(B1)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(32,81)，P(B2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(24,81).………………10分由于事务B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，所以事务B的概率为P(B)＝P(B0)＋P(B1)＋P(B2)＝eq\f(8,9).………………12分[规范与警示]1.在处，体现了正确理解在第三个路口时首次遇到红灯的含义，是解决本题的关键点；在处，易忽视没有遇到红灯的情形导致失误，是易失分点；在处正确应用了n次独立重复试验公式，是解决本题的又一关键点．2．防范措施：(1)解概率问题要全面考虑．在确定随机变量X的全部可能取值时，要全面考虑，不行漏解．如本例简单忽视没有遇到红灯的状况，造成漏解．在求分布列时，肯定要将X的取值考虑全面，特殊是X＝0的情形．(2)解决问题要抓住问题本质．对于相互独立事