2024-2025学年高中数学第二章解三角形1.1正弦定理课时素养评价含解析北师大版必修5

PAGE正弦定理(20分钟35分)1.在△ABC中,B=135°,C=15°,a=3,则边b= ()A.5QUOTE B.4QUOTE C.3QUOTE D.2QUOTE【解析】选C.因为B=135°,C=15°,所以A=180°-B-C=30°,所以由正弦定理QUOTE=QUOTE可得b=QUOTE=3QUOTE.【补偿训练】在△ABC中,已知a=8,∠B=60°,∠C=75°,则b等于 ()A.4QUOTE B.4QUOTE C.4QUOTE D.QUOTE【解析】选C.A=180°-(B+C)=45°.然后利用正弦定理求出b=4QUOTE.2.在△ABC中,a=80,b=100,A=45°,则此三角形解的状况是 ()A.一解 B.两解C.一解或两解 D.无解【解析】选B.由题意知,a=80,b=100,A=45°,所以bsinA=100×QUOTE=50QUOTE<80,如图因为bsinA<a<b,所以此三角形的解的状况有2种.3.若满意QUOTE=QUOTE=QUOTE,则△ABC为 ()A.等边三角形B.有一个内角为30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一个内角为30°的等腰三角形【解析】选C.由正弦定理可知QUOTE=QUOTE=QUOTE,又QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以cosB=sinB,cosC=sinC,有tanB=tanC=1.所以B=C=45°.所以A=180°-45°-45°=90°.所以△ABC为等腰直角三角形.4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=QUOTE,C=QUOTE,a=2,则△ABC的面积为.

【解析】由题意可知,在△ABC中sinA=sin(B+C)=sinQUOTE+QUOTE=sinQUOTEcosQUOTE+cosQUOTEsinQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,所以b=QUOTE×sinB=QUOTE×QUOTE=3QUOTE-QUOTE,所以S=QUOTEabsinC=QUOTE×2×(3QUOTE-QUOTE)×QUOTE=3-QUOTE.答案:3-QUOTE5.在△ABC中,A,B,C所对的边长分别是a,b,c,满意2acosC+ccosA=b,则sinA+sinB的最大值是.

【解析】因为2acosC+ccosA=b,所以2sinAcosC+sinCcosA=sinB=sin(A+C),所以2sinAcosC+sinCcosA=sinAcosC+sinCcosA,所以sinAcosC=0,所以cosC=0,,即C=QUOTE,所以sinA+sinB=sinA+cosA=QUOTEsinQUOTE≤QUOTE当且仅当A=QUOTE时取等号.答案:QUOTE6.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=10,A=45°,C=30°,求a,b和B.【解析】因为QUOTE=QUOTE,所以a=QUOTE=QUOTE=10QUOTE.B=180°-(A+C)=180°-(45°+30°)=105°.又因为QUOTE=QUOTE,所以b=QUOTE=QUOTE=20sin75°=20×QUOTE=5(QUOTE+QUOTE).(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2asinB=QUOTEb,则角A等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为2asinB=QUOTEb,由正弦定理可得:2sinAsinB=QUOTEsinB,又sinB≠0,所以sinA=QUOTE.因为△ABC为锐角三角形,所以A=QUOTE.2.已知△ABC中,A=45°,a=1,若△ABC仅有一解,则b∈ ()A.{QUOTE} B.(QUOTE,+∞)C.{QUOTE}∪(0,1] D.{QUOTE}∪(0,1)【解析】选C.由题中已知△ABC中,A=45°,a=1,则角A所对的高线长可表示为bsin45°=QUOTEb,因为三角形形态唯一,所以三角形为直角三角形或钝角三角形,则a=QUOTEb或a≥b>0,所以b=QUOTEa=QUOTE或0<b≤1.3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.下列关系式中肯定成立的是 ()A.a>bsinA B.a=bsinAC.a<bsinA D.a≥bsinA【解析】选D.由正弦定理QUOTE=QUOTE,得a=QUOTE,在△ABC中,因为0<sinB≤1,所以QUOTE≥1,所以a≥bsinA.4.在△ABC中lg(sinA+sinC)=2lgsinB-lg(sinC-sinA),则△ABC的形态为 ()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形【解析】选B.因为lg(sinA+sinC)=lgQUOTE,所以sin2C-sin2A=sin2B,结合正弦定理得c2=a2+b2,所以△ABC为直角三角形.【误区警示】本题简单因对数运算公式遗忘从而造成计算出错.5.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,已知C=45°,c=QUOTE,a=x,若满意条件的三角形有两个,则x的取值范围是 ()A.QUOTE<x<2 B.QUOTE<x<1C.1<x<2 D.1<x<QUOTE【解析】选A.在△ABC中,由C=45°,c=QUOTE,a=x,则asinC=xsin45°=QUOTEx,要使得三角形有两个,则满意QUOTEx<c<x,即QUOTEx<QUOTE<x,解得QUOTE<x<2,即实数a的取值范围是(QUOTE,2).二、填空题(每小题5分,共15分)6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=QUOTE,B=QUOTE,a=3QUOTE,则b=.

【解析】在△ABC中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以b=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2QUOTE.答案:2QUOTE7.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=csinA,则QUOTE的最大值为.

【解题指南】由正弦定理的边化角公式以及两角和的正弦公式整理得出C=90°,再次利用边化角公式化简QUOTE,结合协助角公式得出QUOTE=QUOTEsinQUOTE,由B+QUOTE的范围确定其最大值即可.【解析】由正弦定理边化角公式得sinBcosC+cosBsinC=sinCsinA,则sin(B+C)=sinCsinA,即sinA=sinAsinC,因为0<A<π,所以sinA≠0,即sinC=1,C=90°,所以QUOTE=QUOTE=sinA+sinB=sin(90°-B)+sinB=sinB+cosB=QUOTEsinQUOTE,因为B∈QUOTE,所以B+QUOTE∈QUOTE.所以当B+QUOTE=QUOTE,即B=QUOTE时,QUOTE取最大值QUOTE.答案:QUOTE8.在△ABC中,若C=2B,则QUOTE的取值范围为.

【解析】因为A+B+C=π,C=2B,所以A=π-3B>0,所以0<B<QUOTE,所以QUOTE<cosB<1.因为QUOTE=QUOTE=QUOTE=2cosB,所以1<2cosB<2,故1<QUOTE<2.答案:(1,2)三、解答题(每小题10分,共20分)9.在△ABC中,(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试推断△ABC的形态.【解析】由(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),得a2[sin(A+B)-sin(A-B)]=b2[sin(A+B)+sin(A-B)],所以a2·cosAsinB=b2sinAcosB.由正弦定理得sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB.因为0<A<π,0<B<π,所以sinA>0,sinB>0,0<2A<2π,0<2B<2π,所以sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=QUOTE.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.10.已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角,推断三角形是否有解,有解的作出解答.(1)a=10,b=20,A=80°.(2)a=2QUOTE,b=6,A=30°.【解析】(1)a=10,b=20,a<b,A=80°<90°,探讨如下:因为bsinA=20sin80°>20sin60°=10QUOTE,所以a<bsinA,所以本题无解.(2)a=2QUOTE,b=6,a<b,A=30°<90°,因为bsinA=6sin30°=3,a>bsinA,所以bsinA