2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步1.4第1课时空间图形的基本关系与公理1～3学案含解析北师大版必修2

PAGE4空间图形的基本关系与公理第1课时空间图形的基本关系与公理1～3考纲定位重难突破1.通过长方体这一常见的空间图形，体会直线、平面及点的位置关系．2.理解异面直线的概念，以及空间图形基本关系．3.驾驭空间图形的三个公理.重点：对空间图形基本关系的考查．难点：文字语言、符号语言及图形语言的相互转化.授课提示：对应学生用书第9页[自主梳理]一、空间中的基本关系(1)(2)(3)空间点与直线的位置关系(两种)P∈lP∉l空间点与平面的位置关系(两种)P∈αP∉α二、空间图形的公理1～3文字语言图形表示符号语言公理1过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)若A、B、C三点不共线，则存在唯一一个平面α使A∈α，B∈α，C∈α公理2假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在这个平面内(即直线在平面内)若A∈α，B∈α，则ABα公理3假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线若A∈α，A∈β，且α与β不重合，则α∩β＝l，且A∈l[双基自测]1．下列四个命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③若四点不共面，则每三点肯定不共线；④三条平行直线确定三个平面．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：对于①，三个不共线的点可以确定一个平面，所以①不正确；对于②，一条直线和直线外一点可以确定一个平面，所以②不正确；对于③，若每三点共线，则四点肯定共面，所以③正确；对于④，若三条平行线共面，则只能确定一个平面，所以④不正确．故选A.答案：A2．直线l1∥l2，在直线l1上取2个点，直线l2上取4个点，由这6个点能确定平面的个数为()A．5B．4C．9D．1解析：由直线l1∥l2知，直线l1，l2确定一个平面，则直线l1，l2上全部的点都在这个平面内．答案：D3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与对角线AC1A．4条B．5条C．6条 D．7条解析：从AC1的每一个端点动身有3条棱，每一条都与AC1共面，线段AC1有两个端点，所以有6条棱与AC1共面．答案：C4．三角形、四边形、梯形中肯定是平面图形的有________个．解析：由基本性质1,2及推论知，三角形、梯形必为平面图形，四边形的四个顶点不肯定共面，故不肯定是平面图形．答案：25．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面A1C与平面解析：因为N∈平面A1C，且N∈平面BDPQ；同理M∈平面A1C，且M∈平面BDPQ，所以平面A1C与平面BDPQ的交线是MN.答案：MN授课提示：对应学生用书第10页探究一空间图形的基本关系[典例1]视察长方体ABCD­A′B′C′D′，回答所给的问题．(1)直线B′C′与BC；直线AB和BC；直线AB和B′C′，分别是什么关系？(2)直线AB和平面ABCD；直线A′A和平面ABCD；直线A′B′和平面ABCD，分别是什么关系？(3)平面AA′D′D和平面BB′C′C；平面ABCD和平面BB′C′C，分别是什么关系？[解析](1)直线B′C′和BC在同一个平面内，但没有公共点，所以B′C′∥BC；直线AB和BC只有一个公共点，所以直线AB和BC相交；直线AB和B′C′不同在任何一个平面内，所以直线AB和B′C′既不平行也不相交．(2)直线AB和平面ABCD有多数个公共点，所以AB平面ABCD；直线A′A和平面ABCD只有一个公共点，所以A′A与平面ABCD相交；直线A′B′和平面ABCD没有公共点，所以A′B′∥平面ABCD.(3)平面AA′D′D和平面BB′C′C没有公共点，所以平面AA′D′D∥平面BB′C′C；平面ABCD和平面BB′C′C不重合，但有公共点，所以平面ABCD和平面BB′C′C相交．1．空间的两条直线有如下三种关系：(1)eq\a\vs4\al(共面,直线)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直线：同一平面内，有且只有一个,公共点；,平行直线：同一平面内，没有公共点；))(2)异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．2．直线与平面的位置关系有且只有三种：直线在平面内；直线与平面相交；直线与平面平行．直线与平面相交或平行的状况统称为直线在平面外，记作3．两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：(1)两个平面平行——没有公共点；(2)两个平面相交——有一条公共直线．1．下列说法正确的是()A．线段AB在平面α内，直线AB不在α内B．平面α和β有时只有一个公共点C．三点确定一个平面D．过一条直线可以作多数个平面解析：线段AB在平面α内，直线AB肯定在α内，故A错；平面α和β若有一个公共点，则平面α和β要么重合，要么相交，故公共点有多数个，B错；若三点共线，则此三点可确定多数个平面，C错，故选D.答案：D探究二点线共面问题[典例2]证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．[证明]证法一∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．证法二∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∴A∈l2，l2α，∴A∈α.∴A∈l2，l2β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．证明点、线共面问题的常用方法(1)由其中某些点、线确定一个平面，再证明其余的点、线都在这个平面内．(2)证明某些点、线在α内，其余点、线在β内，再证明这两个平面重合．2.求证：假如一条直线和两条平行直线相交，那么这三条直线共面．已知：a∩c＝A，b∩c＝B，a∥b.求证：直线a，b，c共面．证明：如题图所示，∵a∥b，∴直线a，b确定一个平面α.∵a∩c＝A，aα，∴A∈α.同理可证B∈α.又∵A∈c，B∈c，∴cα.∴直线a，b，c共面．探究三多线共点和多点共线问题[典例3]已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R(如图)．求证：P，Q，R三点共线．[证明]证法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P，Q，R三点共线．证法二∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线．1．证明三线共点问题的方法主要是：先确定两条直线交于一点，再证明该点是这两条直线所在平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线．2．证明多点共线主要采纳如下两种方法：一是首先确定两个平面，然后证明这些点是这两个平面的公共点，再依据公理3，这些点都在这两个平面的交线上；二是选择其中两点确定一条直线，然后再证明其他的点都在这条直线上．3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q证明：∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF.∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD平面ABCD，AB平面ABCD.∴M，N∈平面ABCD，∴MN平面ABCD，∴Q∈平面ABCD.同理，EF平面ADD1A1，∴Q∈平面ADD1A1.又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线．分类探讨思想在确定平面问题中的运用[典例]两两相交的四条直线a，b，c，d能够确定几个平面？[解析](1)当四条直线a，b，c，d相交于一点时，能确定1个平面或6个平面．(2)当四条直线a，b，c，d不共点时，有两种情形：①当四条直线中有三条相交于一点时，a，b，c，d在同一平面内．②当四条直线中任何三条都不共点时，如图所示：因为这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α.设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α.又H，K∈c，所以cα.同理可证dα.所以a，b，c，d四条直线在同一平面α内．综上可知：当四条直线a，b，c，d两两相交共点时，能确定1个或6个平面．当四条直线a，b，c，d两两相交不共点时，能确定一个平面．[感悟提高](1)分类探讨也是一种“化整为零，各个击破”的解题策略，关键在于相识到引起探讨的缘由，确定分类标准，多级分类探讨时，留意分类的层次．(2)分类探讨是一种重要的数学思想，它适用于从整体上难以解决的数学问题，运用分类探讨来解决问题时，必需遵循不重不漏和最简的原则．[随堂训练]对应学生用书第11页1．若点A在平面α内，直线a在平面α内，点A不在直线a上，用符号语言可表示为()A．A∈α，aα，A∉a B．A∈α，a∈α，A∉aC．Aα，aα，A∉a D．A∈α，aα，A⃘a解析：点与线的关系用∈、∉；线与面的关系用、⃘.答案：A2．不重合的三个平面最多可以把空间分成几个部分()A．4 B．5C．7 D．8解析：①当三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分；②当两个平面平行，第三个平面同时与两个平面相交时，把空间分成6部分；③当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交，且交线相互平行时，把空间分成7部分；④当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交，且交线互不平行时，把空间分成8部分．故不重合的三个平面最多可以把空间分成8个部分，故选D.答案：D3．三条两两相互平行的直线最多可确定________个平面．解析：当三条平行线不在同一个平面内时，可确定3个平面．答案：34．不共线三点A，B，P∉平面α，P∉直线AB，AP∩α＝A1，BP∩α＝B1，AB∩α＝O，当点P在空间中变动时，定点O与动直线A1B1的位置关系是________．解析：由题意知平面ABP∩α＝A1B1，AB∩α＝O，∴O∈平面ABP，且O∈α，∴O∈A1B1.答