2025版新教材高考数学一轮复习第1章预备知识第1节集合学案含解析新人教B版

预备学问课程标准命题解读1．通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系，能够用符号语言刻画集合．2．理解集合之间包含与相等的含义．3．理解两个集合的并集、交集与补集的含义，能求两个集合的并集、交集及补集．4．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系、判定定理与充分条件的关系、数学定义与充要条件的关系．5．理解全称量词与存在量词的意义．6．理解等式和不等式的概念与性质，能用均值不等式解决简洁的求最大值或最小值的问题．7．能够借助一元二次函数求解一元二次不等式.考查形式：一般为一个选择题或两个选择题．考查内容：集合的概念及集合的运算、充分必要条件的判定、一元二次不等式的解法．备考策略：(1)娴熟驾驭集合的基本运算，以及相关不等式的解法．(2)重视基础学问的复习，熟识在不同学问背景下对充分必要条件的判定．(3)留意对利用均值不等式求最值方法的总结和归纳．核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算.第1节集合一、教材概念·结论·性质重现1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、维恩图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2．集合间的基本关系关系自然语言符号语言维恩图子集集合A中的随意一个元素都是集合B的元素A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于AAB(或BA)集合相等组成集合A与组成集合B的元素完全相同或集合A，B互为子集A＝B与子集有关的性质(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个．(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.3．集合的基本运算运算自然语言符号语言维恩图交集给定两个集合A，B，由既属于集合A又属于集合B的全部元素(即A和B的公共元素)组成的集合A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}并集给定两个集合A，B，由这两个集合的全部元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}补集假如集合A是全集U的一个子集，则由全集U中不属于集合A的全部元素组成的集合∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝∅∪A＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅∩A＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．二、基本技能·思想·活动体验1．推断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0或1.(×)(3)对于随意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(×)(4)含有n个元素的集合有2n个真子集．(√)(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×)(6)若a属于集合A，则可用符号表示为a⊆A.(×)2．(2024·潍坊市高三上期中)已知U＝{2,4,6,8,10}，A＝{4,6,8}，B＝{6,10}，则下列结论正确的是()A．B⊆A B．A∪B＝{6}C．A∩B＝{4,8,10} D．∁UA＝{2,10}D解析：由于A，B没有包含关系，故A错；A∪B＝{4,6,8,10}，A∩B＝{6}，故B，C错；∁UA＝{2,10}，故D正确．3．若集合A＝{x∈N|x≤eq\r(10)}，a＝2eq\r(2)，则下面结论中正确的是()A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉AD解析：因为2eq\r(2)不是自然数，所以a∉A.4．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0<x≤4}，则A∪B＝()A．[－1,4] B．(0,3]C．(－1,0]∪(1,4] D．[－1,0]∪[1,4]A解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤4}．5．若{x|ax＋1＝0}⊆{x|x2－1＝0}，则实数a的值为________．0或－1或1解析：{x|x2－1＝0}＝{－1,1}．当a＝0时，{x|ax＋1＝0}＝∅，满意{x|ax＋1＝0}⊆{x|x2－1＝0}．当a≠0时，{x|ax＋1＝0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a))).由题意知，－eq\f(1,a)＝1或－1，此时a＝－1或1.综上所述，a的值为0或－1或1.考点1集合的概念——基础性1．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝()A．eq\f(9,2) B．eq\f(9,8)C．0 D．0或eq\f(9,8)D解析：当a＝0时，明显成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝eq\f(9,8).故选D.2．(2024·长沙市长郡中学高三)集合eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈N*\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(12,x)∈Z))))中含有的元素个数为()A．4 B．6C．8 D．12B解析：因为集合eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈N*\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(12,x)∈Z))))中的元素表示的是被12整除的正整数，所以集合中的元素为1,2,3,4,6,12.故选B.3．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，则b－a＝()A．1 B．－1C．2 D．－2C解析：因为{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，a≠0，所以a＋b＝0，则eq\f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.故选C.4．已知P＝{x|2<x<k，x∈N}．若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为________．(5,6]解析：因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范围为(5,6]．与集合中的元素有关问题的求解思路(1)确定集合的元素特征，即集合是数集还是点集．(2)看清元素的限制条件．(3)依据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，但要检验参数是否满意集合元素的互异性．考点2集合的基本关系——综合性(1)设全集U＝R，则集合M＝{0,1,2}和N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0}的关系可表示为()(2)已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}．若B⊆A，则m的取值范围为________．(1)A解析：因为N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0}＝{1,2}，M＝{0,1,2}，所以N是M的真子集．故选A.(2)(－∞，1]解析：当m≤0时，B＝∅，明显B⊆A.当m>0时，A＝{x|－1<x<3}，若B⊆A，在数轴上标出两集合，如图，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m≥－1，,m≤3，,－m<m，))所以0<m≤1.综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．1．若本例(1)中M不变，则满意NM的集合N的个数为()A．2 B．3C．7 D．8C解析：因为M＝{0,1,2}，NM，所以N＝{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，∅，共7个．2．若本例(2)中，把条件“B⊆A”变为“A⊆B”，其他条件不变，则m的取值范围为________．[3，＋∞)解析：若A⊆B，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m≤－1，,m≥3))得m≥3，所以m的取值范围为[3，＋∞)．1．推断两集合关系的方法(1)列举法：先用列举法表示集合，再从元素中寻求关系．(2)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较困难，往往需对表达式变形、化简，再寻求两个集合间的关系．2．依据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类探讨，做到不漏解．(1)若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时留意集合中元素的互异性．(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需检验端点值能否取到．1．(2024·八省联考)已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)＝()A．∅ B．MC．N D．RB解析：因为∁RM⊆N，所以M⊇∁RN，据此可得M∪(∁RN)＝M.2．(2024·哈尔滨市高三调研)已知集合A＝{0,1}，B＝{0,1,2}，则满意A∪C＝B的集合C的个数为()A．4 B．3C．2 D．1A解析：由A∪C＝B可知集合C中肯定有元素2，所以符合要求的集合C有{2}，{2,0}，{2,1}，{2,0,1}，共4种状况．故选A.3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}．若B⊆A，则实数m的取值范围为________．[－2,2)解析：若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意．若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－eq\f(5,2)，此时B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，不符合题意．综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．考点3集合的运算——应用性考向1集合的运算(1)(2024·泰安一模)已知全集U＝R，集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是()A．[－1,1]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)D．(－3，－1)D解析：阴影部分表示M∩∁UN.由U＝R，N＝{x||x|≤1}，可得∁UN＝{x|x<－1或x>1}．又M＝{x|－3<x<1}，所以M∩∁UN＝{x|－3<x<－1}．故选D.(2)若集合A＝{x|2x2－9x＞0}，B＝{y|y≥2}，则A∩B＝________，(∁RA)∪B＝________.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，＋∞))[0，＋∞)解析：因为A＝{xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2－9x＞0}))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＞\f(9,2)或x＜0))))，所以∁RA＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(9,2))))).又B＝{y|y≥2}，所以A∩B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，＋∞))，(∁RA)∪B＝[0，＋∞)．已知全集U＝{1,3,5,7}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则如图所示的阴影区域表示的集合为()A．{3} B．{7}C．{3,7} D．{1,3,5}B解析：由题图可知，阴影区域为∁U(A∪B)．由并集的概念知，A∪B＝{1,3,5}．又U＝{1,3,5,7}，于是∁U(A∪B)＝{7}．故选B.集合基本运算的方法技巧考向2集合运算的应用(1)(2024·岳阳市高三质量检测)已知集合A＝{x|x－1≤0}，B＝{x|x≥a}．若A∪B＝R，则实数a的值不行以为()A．2 B．1C．0 D．－2A解析：因为A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}且A∪B＝R，所以a≤1,所以a的值不行以为2.故选A.(2)(2024·南昌适应性测试)已知集合M＝{x|0<x<5}，N＝{x|m<x<6}．若M∩N＝{x|3<x<n}，则m＋n等于()A．9 B．8C．7 D．6B解析：因为M∩N＝{x|0<x<5}∩{x|m<x<6}＝{x|3<x<n}，所以m＝3，n＝5.因此m＋n＝8.故选B.依据集合的运算结果求参数的值或范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用视察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要留意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．(3)依据求解结果来确定参数的值或取值范围．1．设集合A＝{x∈N|5－x≥0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，则∁AB＝()A．{0,3,4} B．{0,3,4,5}C．{3,4} D．{3,4,5}B解析：因为集合A＝{x∈N|5－x≥0}＝{x∈N|x≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，所以∁AB＝{0,3,4,5}．故选B.2．(2024·潍坊一中月考)已知集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|y＝lg(x－2)}，则A∩(∁RB)＝()A．(2,4) B．(－2,4)C．(－2,2) D．(－2,2]D解析：B＝{x|y＝lg(x－2)}＝{x|x>2}，所以∁RB＝{x|x≤2}．所以A∩(∁RB)＝{x|－2<x≤2}＝(－2,2]．故选D.3．(2024·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为()A．2 B．3C．4 D．6C解析：由题意，A∩B中的元素满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥x，,x＋y＝8，))且x，y∈N*.由x＋y＝8≥2x，得x≤4，所以满意x＋y＝8的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，故A∩B中元素的个数为4.4．(多选题)已知全集U＝R，函数y＝ln(1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x＜0}，则()A．M∩N＝N B．M∩(∁UN)≠∅C．M∪N＝U D．M⊆∁UNAB解析：由题意知M＝{x|x＜1}，N＝{x|0＜x＜1}，所以M∩N＝N.又∁UN＝{x|x≤0或x≥1}，所以M∩(∁UN)＝{x|x≤0}≠∅，M∪N＝{x|x＜1}＝M，M⃘(∁UN)．故选AB.全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}，则集合A＝________