2021年1月新疆维吾尔自治区普通高中学业水平考试数学试卷（含答案解析）

2021年1月新疆维吾尔自治区普通高中学业水平考试试题卷数学注意事项：1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分100分，考试时间120分钟．2．答题前，考生先在答题卡上将自己的座位号、姓名、准考证号填写清楚，待监考员粘贴条形码后，认真核对条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号与自己的准考证上的信息是否一致．3．考生必须在答题卡上作答，在草稿纸、试题卷上答题无效．第Ⅰ卷（选择题，共48分）一、选择题（本大题共16小题，每小题3分，共48分）在下列各小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合并集计算即可；【详解】由题意可得，故选：D.2.已知向量，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件，利用向量坐标运算，即可求出结果.【详解】因为，，则，故选：B.3.若直线l的方程是，则这条直线的斜率（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根据直线的一般方程求得直线的斜率.【详解】直线的斜率为.故选：C4.函数的零点是（）A.1 B. C.0 D.【答案】D【解析】【分析】令即可求解.【详解】令,解得,故函数的零点为.故选：D.5.从24名数学教师，16名物理教师，8名化学教师中，用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，则抽取数学教师的人数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】直接利用分层抽样的定义和方法即可求解.【详解】从24名数学教师，16名物理教师，8名化学教师中，用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，则应抽取的数学教师人数是人.故选：C.6.已知，且为锐角，则（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】依题意结合平方和关系即可计算求解.【详解】因为，且为锐角，所以.故选：A.7.已知两点，，则的值是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】利用两点间的距离公式求解可得.【详解】由两点间的距离公式得.故选：B8.在长方体中，长，宽，高，则它体积是（）A.60 B.50 C.40 D.30【答案】A【解析】【分析】根据长方体的几何结构特征，结合柱体的体积公式，即可求解.【详解】在长方体中，因为，由柱体的体积公式，可得长方体的体积为.故选：A.9.函数（，且）的图象过的定点是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的图象过定点，从而可求解.【详解】由指数函数的图象过定点，所以函数的图象过定点，故C正确.故选：C.10.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据两角和的正弦公式求得正确答案.【详解】.故选：A11.下图为某组数据的茎叶图，则这组数据的平均数是（）A.18 B.19 C.20 D.21【答案】B【解析】【分析】根据茎叶图可知这组数据，进而求平均数.【详解】由茎叶图可知这组数据为12，15，20，23，25，所以组数据的平均数.故选：B.12.不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因式分解，然后由一元二次不等式解法可得.【详解】不等式，解得.故选：A13.在等差数列an中，满足，，则（）A11 B.14 C.15 D.17【答案】B【解析】【分析】根据等差数列通项公式的性质求解．【详解】是等差数列，则，故选：B．14.在中，已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理代值计算即得.【详解】由正弦定理，可得，故选：D.15.执行如图所示程序框图，如果输入t的值为2，则输出的（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，依次列出程序执行的步骤即可.【详解】由题意，t=2>1,所以，，解得，，故选：C.16.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性、奇偶性等知识来确定正确答案.【详解】A选项，是非奇非偶函数，不符合题意.B选项，在上不是增函数，不符合题意.C选项，在上单调递减，不符合题意.D选项，设的定义域是，，所以是奇函数，，当时，单调递增，根据奇函数的性质可知在上单调递增，符合题意.故选：D第Ⅱ卷（非选择题，共52分）注意：在答题卡上，作答有小题号的题时，需依次写明小题号．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）17.__________．【答案】4【解析】【详解】18.在区间上随机选取一个数，则的概率为__________．【答案】【解析】【详解】由几何概型的计算公式可得，.19.已知向量，，且，则__________．【答案】3【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示直接计算求解即可得解.【详解】因为，所以，解得.故答案为：3.20.如果，那么的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】直接利用基本不等式求和的最小值.【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号.故答案为：.三、解答题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．21.已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求的单调递减区间．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据余弦函数周期公式求解；（2）根据余弦函数的单调递减区间求解.【小问1详解】的最小正周期为.【小问2详解】令，解得：，，所以的单调递减区间为，.22.已知等比数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）求．【答案】（1）（2）121【解析】【分析】（1）设等比数列an的公比为，利用等比数列通项的基本量运算列出方程组，解之即得；（2）利用（1）的结论，根据等比数列前n项和公式计算即得.【小问1详解】设等比数列an的公比为，由题意得，，解得，，则数列an的通项公式为：；【小问2详解】由（1）已得，则23.如图，在正方体中．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角．【答案】（1）证明见解析；（2）直线与平面所成的角为.【解析】【分析】（1）先证明，，再证明，根据线面平行判定定理证明结论；（2）连接交与点，证明为直线与平面所成的角，解三角形求其大小.【小问1详解】连接，由正方体性质可得，，，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；【小问2详解】连接交与点，因为四边形为正方形，所以，由已知平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，即平面，所以为直线与平面所成的角，设，则，，在中，，，，所以，又，所以.所以直线与平面所成的角为.24.同时掷两个骰子一次，计算向上的点数，求：（1）点数之和是7的概率；（2）点数中恰有一个奇数和一个偶数概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）记所求事件为事件A，列表可得，，结合古典概型运算求解；（2）记所求事件为事件B，列表可得，结合古典概型运算求解.【小问1详解】列表可得：1234561╳╳╳╳╳√2╳╳╳╳√╳3╳╳╳√╳╳4╳╳√╳╳╳5╳√╳╳╳╳6√╳╳╳╳╳设样本空间为，则，记“点数之和是7”为事件A，可知，所以.【小问2详解】列表可得：1234561╳√╳√╳√2√╳√╳√╳3╳√╳√╳√4√╳√╳√╳5╳√╳√╳√6√╳√╳√╳记“点数中恰有一个奇数和一个偶数”为事件B，可知，所以.25.已知函数．（1）判断点是否在的图象上，并说明理由；（2）当时，的最大值为m，最小值为n，求的值．【答案】（1）点不在的图象上（2）【解析】【分析】（1）代入，验证函数值是否为3，即可判断；（2）首先判断函数的单调性，再求函数的最值.【小问1详解】，所有点不在的图象上；【小问2详解】设，，因为，所以，，即，则，所以函数在区间单调递减，，，所以.26.已知圆的圆心在直线上，与x轴相切于点．（1）求圆的方程；（2）过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．【答案】（1）