专题05 因式分解（考点串讲+七大类型）（解析版）2022-2023学年七年级数学下学期期中期末考点大串讲（苏科版）

专题05因式分解

，思维导

提公因式法一如果多项式的各项含有公因式，刃陷就可以把这个公因式堤到括号^卜,把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式.

.平方差法a2—b2=(a4-6)(a—6)

7考点中讲)

一、因式分解

定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多

项式分解因式.

注意：

(1)因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，

因式分解的结果只能是整式的积的形式.

(2)要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.

(3)因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式

乘法是一种运算.

L公因式

定义：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.

注意：

(1)公因式必须是每一项中都含有的因式.

(2)公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.

(3)公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.

②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.

2.提公因式法

定义：把多项式冽a+〃必+皿分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因

式加，另一个因式是(a+b+c),即冽4+”协+的=掰,(4+。+^),而(a+b+c)正好是

的+僧方+盛除以机所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法•

注意:

(1)提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即加++=掰S+6+C.

(2)用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.

(3)当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“一”号，使括号内的第一项的系数变

为正数，同时多项式的各项都要变号.

(4)用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公

因式后，该项变为：“+1”或“一1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.

3.公式法一一平方差公式

定义：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：a2-b2=(a+h)(a-b)

注意：

(1)逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.

(2)平方差公式的特点：左边是两个数(整式)的平方，且符号相反，右边是两个数(整

式)的和与这两个数(整式)的差的积.

(3)套用公式时要注意字母。和》的广泛意义，a、匕可以是字母，也可以是单项式或多

项式.

4.公式法-完全平方公式

定义：两个数的平方和加上(减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(差)的平方.即

a2+2ab+h2=(。+人『，a2-lab+b1=(〃一〃『.形如。？+2。/?+〃,a2-2ah+h2的

式子叫做完全平方式.

注意：

(1)逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；

(2)完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加(或减)这两数之积

的2倍.右边是两数的和(或差)的平方.

(3)完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.

(4)套用公式时要注意字母。和〃的广泛意义，。、人可以是字母，也可以是单项式或多

项式.

5.因式分解步骤

(1)如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；

(2)如果各项没有公因式那就尝试用公式法；

(3)如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解(以后会学到).

6.因式分解注意事项

(1)因式分解的对象是多项式；

(2)最终把多项式化成乘积形式；

(3)结果要彻底，即分解到不能再分解为止

二、方法拓展

1.因式分解求参

已知a?+2b2+2c2-2ab-2bc-6c+9-Q,求“匕'的值.

方法：变形为a?-2ab+t>2+b?-2bc+c2+c2-6c+9=0

因式分解：(a—b>+(b—c>+(c-3)2=0

利用非负性求解即可

2.十字相乘法

例：X2+6X-7X2-6X-7

分析：7

解：原式=('+7)(*一1)'X

方法：Jr、一］

1.分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的2—-x+7x=6x

2.分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；

3.交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；

4.观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果

3.分组分解法

例：am+hm+an+bn

_(am+bin)+{an+bn)

_m{a+b)+n(a+b)

_(a+b)+(m+n)

方法：1.将原式的项适当分组；2.对每一组进行处理(提或代)3.将经过处理后的每一组当

作一项，再采用(提或代)进行分解。,_______.一,一,

4.因式分解的几何应用

2川+5加计2/可以因式分解为（2n+m）（2m+n）

方法：与前面类型几何类似。用割补的方式把图形分成几份

,用等面积法两种方法表示，构造等式。

5.因式分解的新定义

在基础定义的时候，我们只需学会模仿，无需理解题意；如上题。

如果遇到答题最后--题的话，需要理解题意，举一反三。

【专题过关】

类型一、判断因式分解

【解惑】

（2022秋•黑龙江哈尔滨•八年级校考期中）分解因式：a2b-25b=.

【答案】b（a+5）（a-5）

【分析】先提公因式，再利用公式法因式分解即可.

【详解】解：。6-25。=。（4-25）=6（。+5）（。-5）,

故答案为：6（。+5）（“一5）.

【点睛】本题考查了因式分解一一提公因式法和平方差公式法，解题关键是牢记因式分解的

方法.

【融会贯通】

1.（2022秋•福建福州•八年级校考期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A.x（x-2）=x2-2xB.（x+1）2=x2+2x+i

C.x?—4=（x+2）（x—2）D.x+2=x（ld—）

【答案】C

【详解】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个最简整式的乘积的形式，这种多项式

的变形叫做因式分解）逐项判断即可得.

【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；

B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；

C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意：

D、等式右边中的上不是整式，不是因式分解，故此选项不符合题意.

X

故选：C.

【点睛】本题考查了因式分解的意义；严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答

本题的关键.

2.（2022春・江苏常州•七年级校考期中）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A.a2-4=(a+2)(a-2)B.ab+ac+d=a(b+c)+d

C.(-x-1)3=x2+2x+\D.3xy2=3x-y-y

【答案】A

【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案.

【详解】解：A、是把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合

题意；

B、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意；

C、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；

D、左边不是多项式，不符合因式分解定义，故本选项不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查了因式分解.解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项

式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别.

3.(2021春•宁夏银川•八年级校考期中)下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的

是().

A.r+5x—l=x(x+5)-1B.X?-4+3x=(x+2"x-2)+3x

C.(x+2)(x-2)=x2-4D.am+an=a[m+n)

【答案】D

【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这种变形叫做多项式的因式分解.据此

可以判断得解.

【详解】A.等号的右边不是几个整式的积的形式，故选项A不符合题意；

B.等号的右边不是几个整式的积的形式，故选项B不符合题意；

C.等号的右边是一个多项式，故选项C不符合题意；

D.从左到右边的变形，是因式分解，故选项D符合题意.

故选：D.

【点睛】此题考查了因式分解的概念，熟练掌握因式分解的定义是解答此题的关键.

4.(2021春•重庆南岸•八年级校联考期中)下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的

为()

A.-xy2+2xy-3y=-y(xy-2x+3)B.2X2-xy-x=2x(x-y-l)

C.(y-2)2=y2-4y+4D.x2-x-3=x(x-l)-3

【答案】A

【分析】根据因式分解的意义求解即可.

【详解】解：A、-孙2+29-3y=_y(冲_2X+3),把一个多项式转化成几个整式积的形式，

故A符合题意；

B、2x2-xy-x^x(2x-y-1),原式分解有误，故B不符合题意；

C、(y-2)2=y2-4y+4,是整式乘法，故C不符合题意；

D、x-3=x(x-l)-3,右边含有多项式的和，故D不符合题意；

故选:A.

【点睛】本题考查了因式分解的判断，准确理解因式分解的定义是解题的关键.

5.(2022秋•广东深圳•九年级校考期中)因式分解：4M2-16=.

【答案】4(/n+2)(m-2)

【分析】先提公因式4,然后根据平方差公式进行因式分解即可求解.

【详解】解：4机2-16=4(机2-4)=4(加+2)(帆-2),

故答案为：4(利+2)(,”—2).

【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键.

6.(2022秋•山东滨州•八年级统考期中)分解因式：-3/>+18》29一27冲3=.

【答案】-3个(x-3y)2

【分析】先提公因式-3孙，然后根据完全平方公式因式分解即可求解.

【详解】解：-3第，+18/丫2-27町3

--3xy-6xy+9丁)

=-3A>'(X-3>')2,

故答案为：-3孙(x-3y))

【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键.

7.(2023春•安徽宿州•九年级统考期中)分解因式：2a2-18=.

【答案】2(«+3)(«-3)

【分析】先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解.

【详解】解：2a2-18=2(a2-9)=2(«+3)(«-3).

故答案为:2(a+3)("3)

【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法一一提公因式

法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解

题的关键.

8.(2023春广东深圳•八年级校考期中)因式分解：2or2-4g+202=.

【答案】2a(x-y)2

【分析】先提公因式，再运用完全平方公式分解因式.

【详解】解：原式=2a(f_2孙+y2)

=2a(x-y)',

故答案为：2a(x-y)2.

【点睛】本题考查因式分解.熟记乘法公式，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键.

类型二、因式分解的计算

【解惑】

(2022春•江苏常州•七年级校考期中)把下列各式分解因式：

(l)3a2b-6ab2+9ab;

(2)a2{a-b)-4(〃-b)；

⑶⑹+1)2-4/.

【答案】⑴3而(a-4+3)

(2)(。-8)(〃+2)(〃-2)

(3)(a+l)2(a-l)2

【分析】(1)利用提公因式法分解因式；

(2)先提取公因式(。-3,再利用平方差公式分解因式；

(3)先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解.

【详解】(1)3a2h-6ah2+9ah

=3aZ?(。-2Z?+3)；

(2)ci2

二(々-8)(〃_4)

=(a-Z?)(a+2)(a-2)；

(3)(672+l)2-4a2

=(a?+1+24)(/+1-2a)

=(«+l)2(a-l)2.

【点睛】此题考查了因式分解，正确掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式和完全

平方公式是解题的关键.

【融会贯通】

1.(2022春・山东青岛•八年级山东省青岛第七中学校考期中)因式分解：

⑴a2(x-y)+9从(y-x)

⑵卜2+力2-4*2丫2

【答案】⑴(X-y)(a+36)(“-3b)

⑵(x+»(x-»

【分析】(1)先提公因式(x-y),然后根据平方差公式进行计算即可求解；

(2)先根据完全平方公式展开，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解.

【详解】(1)解：a2(x-y)+9b2(y-x)

=(彳_,)(。2-明)

=(x-y)(6/4-3/?)(67-3Z?)；

(2)解：(/+),2)2一4冗2y2

=Y+2x2y2+y4-4x2y2

=1-河

=(x+y)2(x_y)2.

【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法以及乘法公式是解题的关键.

2.(2022春・山东青岛•八年级山东省青岛市第五十七中学校考期中)因式分解：

(l)-a2c2-c4+2ac3

(2)4(。-2/7)2-16从

【答案】⑴-c2(a-c)2

【分析】(1)先提公因式，再利用完全平方公式分解；

(2)先提公因式，再利用平方差公式分解.

【详解】(1)解：一/。2一°4+2改3

=-c2(«2+c2-2acj

=-c2(a-c)2；

(2)4(a-2bf-16b2

=4[(“_26)2_4〃]

=4(a-2b+2b)(a-2b-2b)

=4a(a—4b)

【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的

关键.

3.(2021秋•四川巴中•八年级校考期中)分解因式：

⑴d-4x

(2)(x-l)(x-3)+l

【答案】(l)x(x+2)(x-2)

⑵(x-2『

【分析】(1)先提取公因式x,然后利用平方差公式分解因式即可；

(2)先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后利用完全平方公式分解因式即可.

【详解】(1)解：?-4x

=x(x2-4)

=x(x+2)(x-2)；

(2)解：(x—l)(x-3)+l

=x2-x-3x+3+l

=x2-4x+4

=(x-2)2.

【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键.

4.(2022春,湖南永州•七年级统考期中)因式分解

(1)X2-9

⑵—8帆〃+2n2

【答案】⑴(x+3)(x—3)

(2)2(2加一〃y

【分析】(1)原式直接运用平方差公式进行答案网；

(2)原式首先提取公因数2后，再运用完全平方公式进行因式分解即可.

【详解】(1)X2-9

=x2-32

=(x+3)(x-3)；

(2)8/w2—8mn+2n2

=2(4帆2—4mn+/)

=2(2m—n)2.

【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解答本题的关键.

5.(2022秋•福建福州•八年级校考期中)因式分解：

Wa2b-ab

(2)2/_4。+2

【答案】⑴/(aT)

(2)2(a-l)-

【分析】(1)提取公因式必，即可得；

(2)提取公因数2,运用完全平方公式即可得.

【详解】(1)原式="(。一1);

(2)原式=2(〃-勿+1)

=2(a-I)二

【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解，平方差公式，完全平方公式是关键.

6.(2022春•湖南永州•七年级校考期中)因式分解：

(1)cuiT-2am+a;

(2)02(%-9+从。-力.

【答案】⑴a(〃7-l)2

(2)(x-y)(a+b)(a-b)

【分析】(1)先提公因式“，再利用完全平方公式进行因式分解即可；

(2)先提公因式(x-y),再利用平方差公式进行因式分解即可.

【详解】(1)解：原式=a(，"2-2"+1)

=a(/„-l)2；

(2)原式=(x-y)(/_〃)

=(x-y)(4+b)(a-b).

【点睛】本题主要考查了因式分解的知识，解题关键是综合运用提公因式法和公式法进行因

式分解.

7.(2022春•江苏常州•七年级常州市清潭中学校考期中)分解因式：

⑴16苏-12a%;

⑵3d-27；

(3)a3-8a2+16。;

(4)(x2+4y2)2-16x2y2.

【答案】⑴4叫46-3。)

⑵3(x+3)(x-3)

(3)«(a-4)2

⑷(x+2»(x-2y)2

【分析】(1))直接提取公因式4时进行分解即可；

(2)首先提取公因式3,再利用平方差公式进行二次分解即可；

(3)首先提取公因式“，再利用完全平方公式进行二次分解即可：

(4)首先利用平方差公式进行分解，再利用完全平方公式进行二次分解即可.

【详解】⑴解：16#一⑵2b

=4a6(4b-3a)；

(2)3x2-27

=3(X2-9)

=3(x+3)(x-3)•

(3)a3-8iz2+16^z

=a(^a2-8a+16)

=a(a-4)2；

(4)(x2+4y2)2-16x2y2

=(x2+4y2+4xy^x2+4y2-4xy^

=(x+2y)，x-2»

【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，与提公因式法分解因式，一个多项式有公因式首

先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.

8.(2022秋•贵州遵义•八年级校考期中)因式分解：

-6x)3+9xy

⑵-3)+4

【答案】⑴个(y-3)2

(2)(x+l)2

【分析】(1)先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解；

(1)先利用整式的乘法计算(x-l)(x+3),再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解.

【详解】(1)解：xy3-6xy2+9xy

=孙(9-6y+9)

=xy(y-3)2

(2)解：(x-l)(x+3)+4

=x2+2x—3+4

=x2+2x+l

=(X+I)2

【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法一一提公因式

法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解

题的关键.

类型三、因式分解的应用

【解惑】

(2022秋•福建泉州•八年级福建省南安市侨光中学校考期中)阅读下列文字：我们知道，图

形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说："数缺形时少直观，形缺

数时难入微例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数

学等式.

⑴如图1所示，用两块axb型长方形和一块axa型、一块人xb型正方形硬纸片拼成一个新

的正方形.用两种不同的方法计算图1中正方形的面积，可以写出一个熟悉的数学公式：

：如图2所示，用若干块axb型长方形和“xa型6x8型正方形硬纸片拼成一个

新的长方形，可以写出2/+3出7+尸因式分解的结果等于：：

⑵如图3,将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为(a+6+c)的正方形.就可以得到一

个等式，这个等式是；

请利用这个等式解答下列问题：

①若三个实数a,b,c满足a+b+c=2,ab+bc+ac=-12,求/+从+/的值

②若三个实数x,y,z满足2"x4>x8：=1024,x2+4y2+9z2=34,求2q+3应+6yz的值.

【答案】⑴(a+b)2=〃+2"+从，2a2+3ab+b2=[a+b)(2a+b)

(2)(a+b+c)~=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,①28②33

【分析】(1)从整体看，图形为矩形，面积=长、宽，从部分看，图形为若干小矩形，面积等

于各部分的和，将图形的面积用两种方式表示即可解答；

(2)先根据图形，得到一个等式，再根据这个等式，①将a+A+c=2,昉+Ac+叱=-12代

入即可解答；②根据积的乘方的逆运算，将2'x4、'x82=1024整理为2计2>+%=2%得出

x+2y+3z=10,再结合前面的等式即可进行解答.

【详解】(1)解：由图可知:图一面积=(〃+"=6+2或+从,

由图可知：图二面积=2a2+3ab+b2=(a+b/2a+b),

故答案为：=a2+2ab+b2,2a~+3ab+b-=(a+b)(2a+b).

(2)由图可知：®Hffi^R=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

①(a+b+c)'=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,a+b+c=2,ab+bc+ac=-12,

13a2+b2+c2=(a+b+c)’-(2ab+2ac+2bc)=22-2x(-12)=28,

(2),2rx4'x82=1024,

.-.2Ax22yx23l=1024,

.<2X+2y+3z_2’°,

x+2y+3z=10,

(x+2y+3z)2=x2+4y2+9z2+2(2xy+3xz+6yz),

X2+4>'2+9Z2=34,

102=34+2(2xy+3xz+6yz),

/.2xy+3xz+6yz=33.

【点睛】本题主要考查了根据几何面积进行因式分解，解题的关键是熟练掌握整式的乘法和

因式分解的方法，将图形的面积用两种不同的方法表示出来.

【融会贯通】

1.（2021秋•山东烟台•八年级统考期中）如图，长与宽分别为。、6的长方形，它的周长为

14,面积为10,贝1/人+2/加+〃/的值为（）

b

A.2560B.490C.70D.49

【答案】B

【分析】利用面积公式得到aQlO，由周长公式得到a+Q7,所以将原式因式分解得出

ab（a+b）2.将其代入求值即可.

【详解】解：团长与宽分别为。、6的长方形，它的周长为14,面积为10,

回aglO,a+Q7,

&a3b+2a2b2+ab3

=ab（a2+2ah+h2）

=ab（a+b）2

=10x72

=490.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了因式分解和代数式求值，准确计算、整体代入求值是解题的关键.

2.（2021春•江苏泰州•七年级校考期中）如图，将一个边长为（a+与的正方形A8CO分割成

四部分（边长分别为“，方的正方形、边长为。和6长方形），请认真观察图形，解答下列问

题：

⑴请用两种方法表示该正方形的面积（用含。、匕的代数式表示）①，（2）

由此可以得到一个等量关系是•

(2)若图中。、〃满足/+从=20,劭=2.5,求(a+b)的值.

闭若(5+3m)2+(2-3m)2=40,求(5+3加)(2-3〃?)的值.

⑷请利用上面的图形分割方法进行因式分解：a2+3ab+2b2=(直接写出分解结果即

可).

212

【答案】⑴(a+b)2，a2+2ab+tr>(a+b~)=a+2ah+b

(2)5

(3)4.5

⑷(a+»)(a+b)

【分析】(1)该正方形的面积等于边长的平方，或两个长方形及两个小正方形的面积之和;

(2)根据(a+6)-=〃+2m+〃，先求出(a+b)-,即可求出(a+8)的值;

(3)根据［(5+3»?)+(2-3，")丁=(5+3"7y+(2-3/n)2+2(5+3m)(2-3/«)即可求解；

(4)利用图形分割的方法画出图形，即可求解.

【详解】(1)解：该正方形的面积可以表示为(。+32,也可以表示为/+2必+。2,

故答案为：(a+b『，a2+2ab+b2»(a+fe)-=a2+2ab+b2:

(2)解：a24-/?2=20,ab=2.5,

•••(a+b)2=a2+2ab+b2=20+2x2.5=25，

，a+b=5或a+b=-5(舍去)，

即(a+b)的值为5

(3)解：［(5+3w)+(2-3/n)］2=(5+3w)2+(2-3/n)2+2(5+3w)(2-3/n),

即72=(5+3"2『+(2-3〃?)2+2(5+3〃?)(2-3m),

(5+3/n)2+(2-3/n)2=40,

72=40+2(5+3机)(2—3m),

(5+3m)(2-3W)=1X(72-40)=4.5；

(4)解：如图所示,

故答案为:(a+»)(a+b).

【点睛】本题考查多项式乘多项式和因式分解的应用，熟练运用完全平方公式，并且能够通

过图形分割的方法进行因式分解是解题的关键.

3.(2022秋•北京西城•八年级北京市第十三中学分校校考期中)阅读下列材料：

在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，不仅

可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分

解，我们把这种因式分解的方法称为"换元法"

下面是小涵同学用换元法对多项式(J-4x+l)(x2-4x+7)-7进行因式分解的过程

解：设①，将①带入原式后，

原式=(y+D(y+7)-7(第一步)

=y2+8y(第二步)

=y(y+8)(第三步)

=(X2-4X)(X2-4X+8)(第四步)

请根据上述材料回答下列问题：

⑴小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的方法；

(2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果；

⑶请你用"换元法”对多项式(丁+幻，+》+2)+(尤2+》+1)，+工一1)+1进行因式分解

【答案】(1)提取公因式

(2)x(x-4)(x2-4x+8)

(3)2x(x+l)(x2+x+l)

【分析】(1)根据因式分解的方法判断即可；

(2)因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，将因式一一4万分解成

x(x-4)即可；

(3)用换元法设Y+x=r,代入多项式，然后仿照题干的换元法解答即可.

【详解】(1)解：由题意得：从V+8y到y(y+8)运用了因式分解中的提取公因式法

故答案为：提取公因式

(2)解：由题意得：

(炉—4X)(%2-4X+8)

=x(x-4)(x2-4x+8)

(3)解：设=将X?+x=，代入(X?+尤)(%2+x+2)+(f+工+1)(12+大一-1)+1中得：

r(r+2)+(r+l)(r-1)+1

原式=»+2，+*-i+i

=2t2+2t

=2«r+l)

=2(X2+X)(X2+X+1)

=2X(X+1)(A：2+X+])

【点睛】本题考查了因式分解的方法和运用，解题关键是灵活运用换元法对较为复杂的多项

式进行因式分解，达到去繁化简的效果.

4.(2022秋•河南鹤壁•八年级校考期中)一个代数式，若字母取值为整数，它的结果一定是

偶数，则称这个式子为"双喜式”.例如：

①2",

回〃为整数，

回2〃是偶数，

回2〃是"双喜式"；

②X?+X,

将其变形得好+了=犬(犬+1),

E1X为整数，

I3X与(X+1)是两个连续整数，必有一个偶数，

I3X(X+1)是偶数，

回Y+X是偶数，

I3f+x是"双喜式".

⑴下列各式中，不是“双喜式"的是()

A.6m；B.4y+2；C.(2"；D.x2

(2)求证：d-x是，，双喜式，，.

【答案】⑴D

⑵证明见解析

【分析】（1）根据"双喜式”的定义，逐项验证即可得到答案；

（2）根据“双喜式"的定义，按照阅读材料中的方法求证即可得到答案.

【详解】（1）解：根据“双喜式”的定义，

A、6m,

团为整数，

回6，”是偶数，

团6机是"双喜式"，不符合题意；

B、4y+2,

将其变形得4y+2=2（2y+l）,

团y为整数，则2y+l为整数，

回2（2»+1）是偶数，

团4y+2是“双喜式"，不符合题意；

C、（2"，

（2以=8巴

回b为整数，则户为整数,

回8/是偶数，

回（2牙是"双喜式"，不符合题意；

D、若取x=l,则Y=i,为奇数，/不是"双喜式，，，符合题意，

故选：D；

（2）证明：^-^=^（%+1）（%-1）,

1ax为整数，

0（X-1）,X与（X+1）是三个连续整数，必有一个偶数，

回x（x+l）（x—l）是偶数，

回V—X是偶数，即V-X是“双喜式”.

【点睛】本题考查新定义题型，涉及因式分解，读懂题意，按照新定义要求分析求证是解决

问题的关键.

5.（2022秋•山东淄博•八年级统考期中）【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为a

的正方形中剪掉一个边长为6的小正方形Ca>b）,如图1,把余下的阴影部分再剪拼成一个

长方形（如图2）,根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于“，匕的等式

①.

【知识迁移】在边长为a的正方体上挖去一个边长为h（a泌）的小正方体后，余下的部分

（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）

a"//

b

图4

图3中的几何体的体积为②.

图4中几何体的体积为③.

根据它们的体积关系得到关于a,b的等式为④.（结果写成整式的积的形式）

请按照要求在横线处填上合适的式子.

【知识运用】

（1）因式分解：8x3-1;

（2）已知a-8=4,ab-3,求的值.

W+r4153S-4-?

（3）有人进行了这样的化简芋4=型，3<=土，…面对这样荒谬的约分，一笑

33+233+253+335+3

之后，再认真检测，发现其结果竟然是正确的！仔细观察式子，我们猜想：

a3+b3_a+b

a3+（a—Z?）3a+（a-匕），

试说明此猜想的正确性.(参考公式：x3+/=(x+y)(x2-^+y2))

【答案】①。--=(a+8)(。—b)；(2)ct3—;③)c「(a-b)+ab(a-b)+(a-b)；(4)

33222

a-b^(a-b)(a+ab+b);(1)(2x-l)(4x+2x+1)；(2)100；(3)正确，说明见解析

【分析】①根据图1和图2图形的面积相等列出等式即可；

②用体积公式表示图3的体积；

③用体积公式表示图4的体积；

④根据两个图形只是形状发生变化，体积没有改变列出等式即可；

(1)利用知识迁移中的结论，对8/-1进行因式分解；

(2)利用结论对。3一"进行变形，化为含有和必的式子，然后代入即可；

o'+h3

(3)利用知识迁移中的结论，对。3+._=3进行变形化简即可求证结论;

22

【详解】①根据图1和图2阴影部分面积相等可得：a-b=(a+b)(a-b)f

故答案为：~b~=(a+b)(a—b)；

②根据图3可知：体积为：a3-b\

故答案为：a3-by;

③根据图4可知：体积为：〃2(々_力+曲〃—份+〃(〃_〃)，

故答案为：a~(ci-b)+cib(a—b)+b~(ci—b)；

④根据两个图形只是形状发生变化，体积没有改变可得：

a3-Z?3=a2^a-b^ab(a-b)+b2(«-/7)=(a-/7)(a2+aZ?+Z72),

a+b

故答案为:

a+(^a-b)

【知识运用】(1)—1=(2x)3—1=(2x—l)(4f+2x+1)

(2)团a-b=4,ab=3,

06f2+/?2=(〃一b)2+2ah=16+6=22

团/一〃=3-6)(/+"+62)=4x(22+3)=100

/+〃(a+b)(a2-ab+b2)

(3)团____________=__________________\____________L________

/+(a-，(a+a-b)(^a2-a2+ab+cr-2次?+/)

a+b_a+b

a+a-ba+(a-b)

a'+a+b

团7不广许这一猜想正确.

【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，掌握数形结合的方法是解题的关键.

6.(2022秋•福建泉州•八年级统考期中)对于形如炉+2奴+储可用“配方法”将它分解成

(x+“)2的形式，如在二次三项式V+2(zr-3a2中先加上一项使它与/+2xa的和成为一

个完全平方式，再减去不,它不会改变整个式子的值，其变化过程如下：

x2+2ax—3a2=(x2+2ax+a1)—a1—3a2=(x+a)2-4a2={x+a)2—(2a)1=(x+3〃)(x-a)像这

种"因式分解"的方法称为"配方法"•请完成下列问题：

⑴利用"配方法”分解因式：x2+4xy-5y2；

(2)已知a,h,c是一ABC的三边长，且满足a2+o2+c2+5()=6a+8b+lOc,求J1BC的周长；

⑶在实数范围内，请比较多项式2f+2x-3与f+3x-4的大小，并说明理由.

【答案】⑴(x+5y)(x—y)

⑵12

⑶2》2+2》-3>/+3》-4；见解析

【分析】(1)在原式中先加一项4)2,再减去4yt用完全平方公式对式子进行因式分解，

最后利用平方差公式再进行一次因式分解即可；

(2)根据题目中的式子，利用配方法进行因式分解，再利用非负数的性质求出a,b,c的

值，算出一/3C的周长即可；

(3)将两式作差，和0比较大小即可得到结论.

【详解】(1)解：原式+4盯+49-4y2-5)、

=(x+2y)--9y2

=(x+2y+3A(x+2y_3y)

=(x+5y)(x-y)

(2)解：a2+h2+c2+50=6a+8b+l0c,

.•.〃-6a+9+尸-泌+16+/-10。+25+50-9-16-25=0,

则(a-3)2+(6_4『+(―5)2=o,

,a,b,c是JlBC的三边长，

a=3fb=4,c=5f

CABC=3+4+5=12；

(3)解：2%2+2x-3-(x?+3x—4)

—2x~+2x—3——3x+4

=x2-x+l

211l

44

7.(2022秋•海南海口•八年级海南华侨中学校考期中)阅读下列文字：我们知道，图形是一

种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说："数缺形时少直观，形缺数时难

入微".例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式.

⑴如图，利用阴影面积的不同表示方法写出一个我们熟悉的数学公式：;

⑵解决问题：如果a-b=5,ab=\2,求黯+"的值；

⑶类比第(2)问的解决方法探究：如果一个长方形的长和宽分别为(x-2)和(x-6),且

(X-2)2+(X-6)2=30,求这个长方形的面积.

【答案】⑴(。-6)2=/-2“6+从；

(2)49；

(3)7.

【分析】(1)根据图形的面积的两种不同的计算方法得到完全平方公式;

(2)根据完全平方公式变形即可求解；

(3)根据矩形的周长和面积公式以及完全平方公式即可得到结论.

【详解】(1)解：方法一:通过观察可得，阴影部分的长为6,宽也为a-b,

即阴影部分为一个正方形，贝US阴=(。-加2；

方法二：边长为a的大正方形，减去2个长为a,宽为b的长方形，再加上多减掉一次的边

长为b的小正方形，

即为阴影部分的面积；则

-b)2=a2-2ab+b2；

(2)解：a—b=5,ab=12,

•••/+/=(。一与2+2M=52+2X12=49；

(3)解：设%-6=Z?,

a—b=x—2—x+6=4,

(X-2)2+(X-6)2=30,

a2+h2=(a-h)2+lab=42+2ah=30,

ab=l9

所以长方形的面积为：(x-2)(x-6)=必=7.

【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.

类型四、因式分解求参

【解惑】

(2019秋,吉林长春•八年级统考期中)仔细阅读下面例题，解答问题.

【例题】已知关于x的多项式丁-以+机有一个因式是(x+3),求另一个因式及切的值.

解：设另一个因式为。+〃)，

贝ljx2—4x+m=(x+3)(x+n),HPx2-4x+m=x2+(n+3)x+3n.

fn+3=-4,[w=-21,

•••t解得7

\3n=m.[雇=—7.

回另一个因式为(x-7),加的值为-21.

【问题】仿照以上方法解答下面问题：

(1)已知关于x的多项式d+7x+a有一个因式是(x-2),求另一个因式及“的值.

(2)已知关于x的多项式2x2+3x-4有一个因式是(x+4),求％的值.

【答案】(1)(x+9),-18；(2)20.

【分析】(1)按照例题的解法，设另一个因式为(x+b),则x2+7x+a=(x-2)(x+6),展开

后对应系数相等，可求出a,b的值，进而得到另一个因式；

（2）同理，设另一个因式为（2x+〃）,则2/+3%-左=（x+4）（2x+/z）,展开后对应系数相等,

可求出k的值.

【详解】解：⑴设另一个因式为（x+A）

则f+7x+”=(x—2)(x+h),即f+7X+Q=x?+(/?—2)x-2Z?.

8-2=7,tz=-18,

0解得

a=-2b.b=9.

回另一个因式为（x+9）,a的值为-18.

（2）设另一个因式为（2x+〃），

贝lj2d+3x—&=(x+4)(2x+〃)，HP2x2+3x-k=2x2+(h+8)x+4h.

/?+8=3,h=-5,

0解得

-k=4h.々=20.

回％的值为20.

【点睛】本题考查因式分解，掌握两个多项式相等，则对应系数相等是关键.

【融会贯通】

1.（2022秋•上海松江•七年级校考期中）已知多项式加+法+0•分解因式得（x-3乂》+2）,

则。，b,c的值分别为（）

A.1,-1,6B.111,-6C.19-1,-6D.1,1,6

【答案】C

【分析】根据多项式乘以多项式运算法则将（X-3/X+2）展开，分别对应以2+法+C即可得

出答案.

【详解】解：（x-3）（x+2）=％2-x-6,

团多项式ax?+fer+c分解因式得（工一3）（工+2）,

回。=1,/?=一1,。=一6,

故选：C.

【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，也可根据十字相乘法因式分解得

c=-3x2=—6,力=—3+2=—1,4=1x1=1进行求解.

2.（2022春•四川达州•八年级校联考期中）已知多项式2f+法+c分解因式的结果为

2（x—2）（x+l）,则奶—0的值是（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】把2（x-2）（x+l）根据乘法法则计算后与2x?+法+c比较即可.

【详解】解:2（x-2）（x+l）

=2（X2+X-2X-2）

=2/+2x・4x-4

=2X2-2X-4,

22

团2x+bx+c=2x-2x-4f

M=-2,c=-4,

.\2&-c=2x（-2）-（^l）=0

故选B.

【点睛】本题考查了因式分解，以及多项式与多项式的乘法计算，熟练掌握因式分解与乘法

运算是互为逆运算的关系是解答本题的关键.

3.（2022春,浙江绍兴,七年级校联考期中）多项式77f_13工-30可因式分解成

（7x+a）（t>x+c）,其中。，b,c均为整数，6+ac的值为（）

A.0B.10C.22D.-19

【答案】D

【分析】根据已知可得77/-131-3（）=（7了+0）（笈+c）,然后利用多项式乘多项式的法则进

行计算，从而可得7b=77,"+7c=-13,ac=-30,进而求出。的值，进行计算即可解答.

【详解】解：77x2-13x-30=（7x+«）（te+c）,

.'.Tlx1-13x-30=7bx2+abx+lcx+ac

.,.77x2-13x-3O=7Z>x2+（而+7c）x+ac,

...78=77,ab+7c=-l3,ac=-3（）,

."+ac=ll-30=-19,

故选：D.

【点睛】本题考查/因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的

关键.

4.（2022秋•湖南永州•七年级统考期中）若（x+2）是多项式4/+5x+加的一个因式，则相等

于（）

A.-6B.6C.-9D.9

【答案】A

【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，一个因式（x+2）,可得另

一个因式，即可得答案.

【详解】解：回4/+5工+,"=（x+2）（4x+n）=4/+（8+〃）尢+2”

08+77=5,m-2n,

勖?=-3,m=-6

故选A.

【点睛】本题考查因式分解的意义，解题的关键是由十字相乘法因式分解，由因式分解得出

m的值.

5.(2021春•四川成都•八年级校考期中)已知二次三项式f-4x+m有一个因式是(x-3),

则m值为.

【答案】3

【分析】根据二次三项式V-4x+/n有一个因式是(x-3),且

x2-4x+m=x2-3x-x+m=x(x-3)-(x-m),即可得至的值.

【详解】解：国二次三项式丁-4》+%有一个因式是(x-3),

x2-4x+m=x2-3x-x+m=x(x-3)-(x-m),

Sx-m=x-3,

m=3,

故答案为3.

【点睛】本题考查分组分解法因式分解，解题的关键是凑因式(x-3).

6.(2022秋•四川眉山•八年级校考期中)若多项式/-〃氏+〃(加，"是常数)分解因式后，

a'"

有一个因式是x-2,则代数式一的值为

3”

【答案】81

【分析】设另一个因式为x-a,因为整式乘法是因式分解的逆运算，所以将两个因式相乘后

结果得/-(0+2万+2“，根据各项系数相等列式，计算可得2〃L”=4.

【详解】解：设另一个因式为x-a,

贝ljx?-OTV+〃=(x-2)(x-a)=x2—ax-2x+2a=x2-(a+2)x+2a,

[«+2=m(D

得|〃=2a②'

由①得：a=m-2③,

把③代入②得：几=2(m-2),即2时〃=4,

QIIIo2/n

—=—=32m-n=34=81=34=81,

3"3”

故答案为：81.

【点睛】本题是因式分解的意义和同底数毒的除法，因式分解与整式乘法是相反方向的变形,

二者是一个式子的不同表现形式；因此具体作法是：按多项式法则将分解的两个因式相乘,

7.(2021秋•山东烟台•八年级统考期中)仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知：二次三项式x2-4x+〃?有一个因式是(x+3),求另一个因式以及，〃的值.

解：设另一个因式为(x+〃)，得

x2-4x+m=(x+3)(x+n),

贝！Ix2-4A+/H=JC2+(n+3)x+3n

[n+3=-4

解得："=-7,m--21

回另一个因式为(x-7),机的值为-21.

问题：仿照以上方法解答下面问题：

已知二次三项式2x2+3x-&有一个因式是(%-5),求另一个因式以及女的值.

【答案】另一个因式为(2x+13),%的值为65.

【分析】设另一个因式为(女+〃)，根据题意列出等式，利用系数对应相等列出得到关于a

和k的方程求解即可.

【详解】解：设另一个因式为(Zr+a),得2/+3x-%=(x-5)(2x+q)

贝lj2/+3x-k=2x2+(a-10)x-5a

"10=3

0.,>

[-5a=-k

解得：a=13,k=65.

故另一个因式为(2x+13),我的值为65.

【点睛】此题考查了因式分解和整式乘法的关系，解题的关键是根据题意设出另一个因式列

出等式求解.

类型五、十字相乘法

【解惑】

(2021秋•湖南怀化•七年级校考期中)阅读下列材料：

材料1：将一个形如f+px+q的二次三项式分解因式时，如果能满足4=〃加，且〃=加+〃，

则可以把V+px+q分解因式成(x+〃?)(x+”).例如：①f+5x+6=(x+2)(x+3)；②

X2-5x-6=(%-6)(%+1).

材料2：因式分解：4(x+y>+4(x+y)+l.

解：将"x+y"看成一个整体，令x+y=m,则原式=4〃[2+4，"+1=(2m+1)2.

再将"旭”还原，得原式=(2x+2y+lf.

上述解题用到了整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法,请你解答下列问题.

⑴根据材料1,分解因式：x2-7x4-12.

⑵结合材料1和材料2,完成下面小题：

①分解因式：(x-y)2+4(x-y)+3.

②分解因式：(a+b)(a+b-2)-3.

【答案】⑴(X-3)(X-4)

(2)①(x-y+l)(x-y+3)；②(“+£»-3)(a+b+l)

【分析】(1)将X2-7X+12写成X2+(-3-4)X+(-3)X(-4),根据材料1的方法可得

(x-3)(x-4))即可；

(2)①令x-y=A,原式可变为A2+4A+3,再利用十字相乘法分解因式即可；

②令Bib,原式可变为8(8-2)-3,即B