中考数学中的常见基本图形与典型例题

2022学年中考数学中的常见基本图形与典型例题（全国通用）

★★★第一]弱分：线段最值问题常见题型及作图方法★★★

问题作法图形（自己画）原理

•B在直线a上找一

A.3点P,使PA+PB•B

连接AB--------------------a两点之间，线段最短

最小A，

.B在直线a上找一•B

A・点P,使PA+PB一次轴对称A・两点之间，线段最短

--------------------a--------------------a

最小

在直线a、b上分A

别求点M、N,使

/叩APMN的周长最二次轴对称两点之间，线段最短

乙-----------------b।

小

a在直线a、b上分zL

/p别求点M、N,使

二次轴对称两点之间，线段最短

/.Q四边形PMNQ的

/b周长最小

.B在直线a上求两

点、在左）,

MN（MA

先平移，后一次轴\--ya（己画）

一一？且城=2为定长，两点之间，线段最短

对称

MN并使AM+NB最小M

E'

B在直线a上找一

A•B

2点P,使IPA-PBI三角形的任意两边之

--------------------a日.三点共线

最大—------------------------a差小于第三边

P

（已画）

A在直线a上找一

A

,*点P,使IPA-PB先对称,后三点共.三角形的任意两边之

--------------------a

最大线差小于第三边

•B•B

万点P在锐角的内

/部，在边a上求作

,P一点D,在边b上先对称，后垂直，已画，垂线段最短

b求作一点C,使

C*

PC+CD最小

/N点A为射线OM

上定点，点B、C

为动点，且点B

先对称，后垂直垂线段最短

cA在角平分线上，

点C在射线0并上，使BA+BC最小CA

值时点B、C的位置

p定直线上有一定长

A'^--------弁A；

A的动线段AB,线外、八

/[有一定点P,线段AB当定点P在线段\z、

AB的中垂线上即两点之间，线段最短

AB在何处时，PA+PB有

可

最小值

ABA,B1

1

【补充1】、沿河岸垂直架桥所走路程最短问题（不属于将军饮马问题）；

【补充2】、利用点的运动轨迹求最值问题

【补充3］、胡不归问题：求形如PA+'PB的形式（2<1）的最小值，且起点A是定点，终点B是定

mm

点；动点P在定直线上；（常常在自主招生考试中出现）

【补充4】、阿波罗尼斯圆中的最值问题（常常在自主招生考试中出现）

练习1.（2013•鄂州）如图，已知直线2〃卜且a与b之间的距离为4,点A到直线a的距离为2,点B

到直线b的距离为3,AB=2而.试在直线a上找一点M,在直线b上找一点N,满足MN，a且AM+MN+NB

的长度和最短，则此时AM+NB=（）

A.6B.8C.10D.12

垂直河岸架桥问题：通过平移、共线的方法化折线型为

直线型，即构造平行四边形，找共线。

练习2、在平面直角坐标系xOy中，点A是x轴正半轴上任意一点，点B是第一象限角平分线上一点（不

含原点），AB=2,ZA0B=45°,以AB为一边作正AABC,则（提示：把正aABC看作静止，顶点0在动）

（1）z^AOB外接圆的半径是V2

（2）点C到原点0的距离为s,则s的取值范围是

•模仿•、在平面直角坐标系xOy中，点A从点0开始沿x轴的正方向移动，点B在/xOy平分线上移动,

移动中保持AB=2不变，以AB为一边，在AB右侧作正方形ABCD,线段0C的最大值是

X

练习3、（胡不归问题）如图所示，点A为直线/外一定点，点B、C为直线/上两定点，且AB=2,NABO15。，

点P为直线/上的动点，请确定点P的位置，使AP+’BP最小，并求出这

2

个最小值。（注意：A、B为定点，P为动点）

现在你来开始计算：

A

CC

fqn

步骤总结：第一步：将所求线段和改写为PA+—PB的形式(一＜1)

第二步:以BP为角的一边，AB异侧的另一边，构造一个角度a,使得sina=2

第三步：过A作第二步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值(垂线段最短)

第四步：计算

•模仿•、如图，△ABC在直角坐标系中，AB=AC,A(0,2圾)，C(1,0),D为射线A0上一点，一动

点P从A出发，运动路径为A-D—3点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少,

则点D的坐标应为

4

A

B0

•模仿•、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(0,-遮)，

C(2,0),其对称轴与x轴交于点D

(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；

(2)若P为y轴上的一个动点，连接PD,则LPB+PD的最小值为:

DCx

•模仿•、如图，在4ACE中，CA=CE,NCAE=30°,。0经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.

(1)试说明CE是00的切线；

(2)若4ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示。0的直径AB；

(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接0D,当LCD+OD的最小值为6时，求。0的直径AB

的长.

3

提高1、(2009北京)如图，平面直角坐标系xOy中，^ABC三个顶点的坐标分别为A(—6,0),B(6,0),

C(0,4百)，延长AC到点D,使CO=，AC,过D点作DE〃AB交BC的延长线于点E.

2

(1)求D点的坐标;

(2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周

长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；

•(3)设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达

G点，再沿GA到达A点.若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2

倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短.(要求：简

述确定G点位置的方法，但不要求证明)

k

提高2、(2014年成都)如图，已知抛物线y=t(x+2)(x—4)(k为常数，且k>0)与x轴从左到右依

8

次交于A,B两点，与y轴交于点C,经过点B的直线旷=-左》+匕与抛物线的另一交点为D。

(1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式；

(2)若在抛物线的第一象限上存在一点P,使得以A、B,P为顶点的三角形与AABC相似，求k的值；

•(3)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF。一动点M从A出发，沿线段AF

以每秒1个单位的速度运动到F,在沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止。当点F的坐标是多

少时，点M在整个运动过程中用时最少？

4

阿波罗尼斯圆（阿氏圆）中的最小值问题

概念：已知平面上两定点A、B,则所有满足二=k（k>0,且k不等于1）的点P的轨迹是一个圆，这

PB

个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆。

阿波罗尼斯圆到底是如何画出来的？

DA1

如图所示，已知定线段AB,P为动点，且——=-,画出点P的轨迹

PB3

r1AD1

第一步：在线段AB上找点C,使上A=上，在线段BA延长线上找点D,使2上=上

CB3DB3

AC

第二步：以线段DC为直径画圆，该圆即为点P的运动轨迹

例题、在AABC中，ZACB=90°,BC=8,AC=6,以C为圆心，4为半径的圆上有一个动点D,连接AD、BD>CD,

“答案图形

A

掌握套路：（1）看到题中的』BD,立刻要想：BD充当哪个三角形的一边，该三角形的另外两边之比为,？

22

显然是aBCD（因为"CD=士1）；

BC2

（2）接下来就要构造一个三角形与4BCD相似，且相似比为工（这两个相似三角形共用一个两边之比,所

22

形成的夹角），方便将」BD用一条线段表示出来（化分数为整数）。

2

CF1I

（3）在aBCD,取动点D所对边BC上一点F,使一=一，则CF=2,易得4CFDs^CDB,【显然FIA—BD】，

CD2

阿波罗尼斯圆何时登场的呢？

【显然FD=，BD］，这时”=’,一动点D到两定点B、F的距离为定值，动点D的运动轨迹就是阿

2DB2

波罗尼斯圆。（昙花一现）

阿氏圆本质与胡不归不同，阿氏圆中求最小值关键：构造相似三角形（对应线段成比例，夹角相等），

从而化分为整，最后转化为两点之间线段最短问题。

5

练习4、（阿波罗尼斯圆）如图所示，正方形ABCD的边长为4,以点B为圆心，半径为2画圆，且点P为

圆B上的动点，求PD+LpC的最小值；求PD-'PC的最大值

22

•模仿•、如图，半圆的半径为1,AB为直径，AC、BD为切线，AC=1,BD=2,P为众上一动点，求返PC+PD

2

的最小值.

•模仿•、问题提出：如图1,在RtZ\ABC中，ZACB=90°,CB=4,CA=6,（DC半径为2,P为圆上一

动点，连结AP,BP,求AP+’BP的最小值.（阿波罗尼斯圆）

2

尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2,连接CP,在CB上取点D,使CD=1,则

CDCP1PD111

有一=一=-,XVZPCD=ZBCP,AAPCD^ABCP,・'・一=-,.\PD=-BP,.\AP+-BP=AP

CPCB2BP222

+PD.

请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+^BP的最小值为

2

自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，!AP+BP的最小值为

3

拓展延伸：已知扇形COD中，ZC0D=90°,0C=6,0A=3,0B=5,点P是弧CD上一点.，求2PA+PB的最

小值.

6

★★★第二部分：与三角形相关的模型★★★

【一】、蝴蝶定理模型

如右图所示，任意四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,

形的面积分别为&、&、S3、S”则有如下关系式：

①B°=邑=区=5‘2+S3.②4°_^1_^2_Si+S].③

-S,-S-S,+S：'

'DO44CO~S4~S3~S4+S3;

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不规

则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中的比例关系（梯形蝴蝶定理）一一可自己去推理一下

①S.-.S^a-.b2

②S、：：S、：S4=a":b，:ab:ab；

③梯形S的对应份数为（“+与2

平行四边形中的比例关系（变异的蝴蝶定理）一一可自己去推理一下

如右图所示，在》BCD中，EF、GH均与对边平行，所形成的四个小平

行四边形的面积关系为：S,XS.,=S2XS3

练习1、四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E,且E为AC中点，那么

SAABD-SACBD,若AE：EC=1：3,那么SAABD:SACBD-

B

练习2、（2018学年武阳中学八升九开学时考过此题）我们知道两个三角形，若

它们的高线相等，那么这两个三角形的面积之比等于这两条高线相对应的底边之

cRD

比。即：如图所示，D为aABC边BC上一点，则3^-叱

CD

（1）问题发现：如图1,四边形ABCD的对角线将四边形ABCD分成四个三角形，其中三块面积分别为9,

6,8,则第四块三角形的面积为多少？

（2）类比延伸：如图2,点E、F、G、H是平行四边形ABCD的四边上的点，EF、GH将四边形ABCD划分为

四个平行四边形，其中三个平行四边形的面积分别为20,15,27,求平行四边形ABCD的面积；

图1图2

7

(3)拓展探究：如图3,矩形ABCD四个顶点A、B、C、D分别在y=&(ki>0,x>0),y=-^-(k2<0,

XX

x<0),y=&(k3>0,x<0),y=b(k4<0,x>0)的图象上，且AB〃x轴，BC〃y轴，请直接写出L、

xx

k2>k3、k,满足的数量关系式.

(4)解决问题：如图4,平行四边形ABCD中，点E、F分别为AB,BC边上的一点，且aAED、ABEF,

△DCF的面积分别为3,4,5,求4DEF的面积。(key：2历)

【二】、燕尾定理模型(图形像燕子的尾巴)

燕尾定理：在aABC中，AE,BF,CD相交于同一点G,有

SAABG：SAAGC-SABGE：SAEGC=SAABE：SAACE=BE:EC

SABGA:S△BGC=SZSAGF:S^FGC=SABAF:SABCF=AF：FC

SAAGC：SABCG~SAADG：SADGB=SAACD：SABCD=AD：DB

SABGC：SABAC=GE：AE；SAAGC：SAABC=GF：BF；SAAGB：SAACB=GD：CD

练习1、如图所示，Rt^ABC的顶点C在反比例函数y二一

x

斜边上的中线DB与y轴交于点E,若S△的=2灰，则k=

练习2、如图，RtaABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD的反向延长线交y轴负半轴

于E,双曲线y=K(x>0)的图象经过点A,若aBEC的面积为6,则k等于

X

8

3

练习3、（2014年成都中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=尤与双

曲线y=9相交于点A,B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交

x

y轴于点P,连接BP、BC,若APBC的面积是20,则点C的坐标为。

八149、

（key：—,—）

37

OAOBOC…OAOBOC

（自主招生试题）如图所示,已知——+——+——=2018,贝ij——x——x——二

ODOEOFODOEOF

练习4、（2014年浙江舟山）如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y=1x2上的一个动点，且点A在第

2

一象限内.AE_Ly轴于点E,点B坐标为（0,2）,直线AB交x轴于点C,点D与点C关于y轴对称，

直线DE与AB相交于点F,连结BD.设线段AE的长为m,ABED的面积为S.

（1）当m=血时，求S的值.

（2）求S关于m（mw2）的函数解析式.

（3）①若S=«时，求处的值；

BF

②当m>2时，设里k,猜想k与m的数量关系并证明.

BF

9

拼命去模仿：1、在AABC中，AB=AC=5,BC=8,AD是AABC底边BC的中线，点E是射线CA上的一动点,

过点E作EHLAD于点H,射线BH交射线CA于点F。设CE的长为m,△ABH的面积为S

（1）当m=2时，求S的值

（2）当S=2时，求变的值

AF

（3）当mH5时，设空二k,请直接写出k与m的数量关系

AF

10

2、在任意三角形ABC中,G、H、K为BC、AC、AB边上，且BG=nGC,CH=nHA,AK=nKB»AG、BH、CK三线相

交于点D、E、F。那么^DEF与AABC的面积之比是多少？

解析：过点G作GP〃AB,GT〃BH,易得GP二」一BK=―1—AK,从而

n+1n+1)

可得AF=n(n+l)FG

1117

易得FG二----------AG,接下来：CT二----CH二-----IIA,

n(n+1)+1n+1〃+1

AT=AC-CT=(n+l)AH-/一HA=U±lAH,故网AD

71+1〃+1AT+〃+17G

进一步得出：AD：DF：FG=(n+1)：(n2-l)：1

同理BE：ED：DH=(n+1)：(n-l)：1

(特别注意：皇正="=萼二L

SAAEGAGn~+n+\

_ED_]S.BG_BG_n

SAA8GBDn+n^SABCBC〃+l

.SAOEF_(〃-1/

••一

SMBC〃+鹿+1

接下来你用燕尾定理来试一试(用等份法来解决，一定要设某个面积为“单位1”)

解：连接BF

SMCF_\S^c尸_1

S^ACF〃S^BFn

设SzxBckl,贝！JSz^c尸n,SAABI-'=H2,SA\Bc=l+n+rT

同理可得，Sz\ABD=SABCI-=SAACF=n

.SXDEF]+〃+〃-_M—n—n(n—1)"

•・~~二-------------------二~~Z-------

S^Bc1+〃+〃〃―+〃+1

11

3、如右图，△ABC中中，BD：DC=4：9,CE：EA=4：3,求AF：FB的值.

解法一：（用相似）过点D作DP〃AC,DQ〃AB,分别交于点P、Q

解法二：（燕尾定理）SAAOB：S△.=BD：CD=4：9=12：27

SAAOB：SZ\BOC=AE：CE=3：4=12：16

所以SAAOC：SABOC=27：16=AF：FB

（温馨提醒：都有aAOB,所以它的面积要统一，因此找最小公倍数）

（练一练感觉）如图，AABC的面积是1,BD=DE=EC,CF=FG=GA,三角形ABC被分成9部分，请写出这9部

分的面积各是多少？（用等份法来解决，一定要设某个面积为“单位r）

q।q1i

=

解：如图1所不，连接PC,一丝丝=—,—必3户=—,易得SiABP—

SAACP2S&CBP25

—"BQ=—,易得SAMQ=2,故S&\PQ=2-J_=,SAAQC=---1

连接CQ,

SACBQ2775353721

…213121

连接MC,同理可得S/XBPM二———二--,SABI)M=---二

75353721

q11?3_9

连接NC,生_二2,—空处-=2,易得S/XABN二一，所以四边形PMNQ二一-一

CNS^CBN22735-70

接下来的三个四边形的面积就太好算了。

12

【三】、相似三角形中的经典模型

第一种：一线三等角（特例是一线三垂直）•相似三角形中的一朵奇葩

1、特殊形式的K型图。

一提起K形图，相信大家想到的是右侧这种图形（有些人也称它为一线三垂直）：

B,C,E三点共线，ZB=ZACD=ZE=90°,则△ABCs^CED

所以当仅有一个直角时，需要作垂线段，构造直角三角形，如下图所示:

2、其实上面的这些只是K形图的特例（特例考得次数更多）。下面就是K形图的一般形式：B,D,C

三点共线，ZB=ZEDF=ZC=a,△BDEs^CFD（有垂直型K型图，也有锐角型、钝角型K型图）

当NB=NEDF=N（:时，△EBDS/\DCF

当/B=/EDF=NC,且BD=CD时，△EBDs/\DCFs/\DEF（ED、FD分别平分NBEF、ZEFC）

3、双K形图（从一个点引出两个直角，可以是现成的，也可以是作辅助线得出来的）。在RtAABC中，

ZCAB=90°,AD±BC,点E在AB边上，，CE±EF«当你过点E作EH_LAD,EQ±BC,则△EHGs2^EQF,可进

一步得出£F巴H=EG

EQ~EF

练习1、如图，在等腰直角三角形ABC中，NACB=90°,D、E分别为AB、CB上的点，且NCDE=45°，那么

一定有两组三角形相似，你知道是哪两组吗？

练习2、如图，在等边三角形ABC中，ZACB=60°,D、E分别为AB、CB上的点，且/CDE=60°,那么一定

有两组三角形相似，你知道是哪两组吗？

13

练习3、如图，在等边AABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，且NADC+NEDB=120°,AD=3,

BE=2,则4ABC的边长为()

A.9B.12C.16D.18

练习4、如图,等边三角形ABC的边长为3,点P为BC边上一点，且BP=1,点D为AC边上一点,若NAPD=60°,

则CD的长为().

123

A.—B.一C.—D.1

234

练习5、如图，在平面直角坐标系中，0是坐标原点，点A(-4,0),点C(0,5),点B(0,b)(b>0),

P是直线AB上的一个动点，作直线PD_Lx轴，垂足为点D,连接PC、AC、0P。设点P的横坐标为a。

(1)当直线AB经过点C时，求直线AB的解析式；

(2)当a=3时,

①若OP〃AC,求b的值；

②若点C关于直线0P的对称点在直线PD上，求b的值；

(3)当0<b<5时，是否同时存在a,b使aACP为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a,

14

练习6、(2013•绍兴)在aABC中，ZCAB=90°,AD_LBC于点D,点E为AB的中点，EC与AD交于点G,

点F在BC上.

(1)如图1,AC：AB=1：2,EF±CB,求证:EF=CD.

练习7、在等边△ABC中，AB=8,P为AB的中点，小慧拿着含60°角的透明三角板，使60°角的顶点落

在点P,将三角形绕点P旋转，三角形两边与线段AC交于点F,与射线BC交于点E.

(1)如图1,当/APF=60°时，AF»BE=—,如图2,当/APF=30°时，AF«BE=—；

(2)如图3,当30°</APF<60°时，小慧多次尝试，得到一个猜想，AF・BE的值是一个常数，你认为小

慧的猜想正确吗？若正确，请写出这个常数并给出证明，若不正确，请说明理由.

(3)如图4,当0°<ZAPF<30°时，连结EF,设EF=m,请用含m的式子表示PF・PE的值.

15

补充：【母子型】（考得特别多）伪射影定理-----射影定理AC2=ADXAB

对于垂直型的母子三角形，只要告诉任意两条线段的长度，就可以求出该三角形中所有线段的长度

练习8、如图（1）,已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE1BC,垂足为点E,GF1CD,垂足为点F.

（1）证明与推断：

①求证：四边形CEGF是正方形；

②推断：地的值为：

BE

（2）探究与证明：

将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（0。<a<45°）,如图（2）所示，试探究线段AG与BE之

间的数量关系，并说明理由：

（3）拓展与运用：

正方形CEGF在旋转过程中，当B,E,F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H.若

AG=6,GH=2A/2>则BC=.

练习9、已知AB=2,AD=4,ZDAB=90°,AD〃BC,E是射线BC上动点（点E与点B不重合），M是线段

DE的中点。

（1）设BE=x,AABM的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（2）联结BD,交线段AM于点N,如果以A,N,D为顶点的三角形与aBME相似，求线段BE的长。

16

第二种：“半角”型或互补型

图1：ZiABC是等腰直角三角形，ZMAN=-ZBAC,结论：△ABNs/XMANs^MCA；

2

图2:AADE是等边三角形，ZDAE=-ZBAC,结论：△ABDsaCAEs/^CBA；

练习1、如图所示，三角形ABC为等腰直角三角形，D、E为斜边所在直/

线上的两点，且NDAE=135°,那么哪三组三角形一定相似？DBCE

练习2、如图，已知正方形ABCD的边长为2,点E、F均在直

线BD上，且NEAF=135°,EB:DF=1:2,下列结论：

①△ABESAFDA；②/AEF=30°；③CF=2痣；④四边形AECF

的面积为10,其中正确结论的个数是（）.D

A.1个B.2个C.3个D.4

个

【四】、角平分线，平行线，等腰三角形（知二推一）Q/_D

温馨提醒：折痕也可充当角平分线/

1、角平分线与平行线，等腰三角形一定会出现。AD为NCAB的平分线，.

且CD〃AB,那么图中一定有一等腰三角形。AB

E

2、角平分线与等腰三角形，平行线一定会出现。\人

如图所示，BE为/ABD的平分线（注意：有时题中的角平分线不会给的这么直接），BD=BC,/\

A、B、C三点共线，那么一定有BE〃CD,你知道为什么吗？________1_______\

ABC

练习1、如图所示，四边形ABCD是邻边不相等的矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE,

AE与CD相交于点F。那么图中的等腰三角形有几个？

练习2、如图所示，一张小长方形纸条ABCD沿着折痕EF折过之后所形成的三角形是什么三角形？折叠前

的面积与折叠后的面积相比，有何差别？

A

BFC

17

练习3、如图所示，将矩形ABCD沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE,且AD:DC=3:4,那么DE:AC=

【注意：对于折叠图形，当出题人没有画出折叠前的虚线时，要自己补齐，这非常有利于做题】

练习4、如图，正方形ABCD中，AB=6,点E在边CD上，且CD=3DE.将4ADE沿AE对折至aAFE,延长EF

交边BC于点G,连接AG、CF.下列结论：①△ABGg^AFG；②BG=GC；③AG〃CF；④SMGC=3.其中正确结

论的个数是（）C

练习5、如图，对折矩形纸片ABCD,使BC与AD重合，折痕为EF,把纸片展平；再一次折叠纸片，使BC

与EF重合，折痕为GH,把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在GH上的点N处，并使折痕经过点B,

折痕BM交GH于点I。若AB=4cm,则GI的长为

练习6、（2012攀枝花）如图所示，在形状和大小不确定的aABC中，BC=6,E、F分别是AB.AC的中点,

P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D,Q在CE上且BQ平分/CBP,设BP=y,PE=x.

（2）当CQ=aCE（n为不小于2的常数）时，求出y与x之间的函数关系式.

18

练习7、将矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点。为原点，顶点C、A分别在X轴和y轴上，0A=8,0C=10,

点E为0A边上一点，连结CE,将△£()(：沿CE折叠.

①如图1,当点0落在AB边上的点D处时，求点E的坐标；

②如图2,当点。落在矩形OABC内部的点D处时，过点E作EG〃x轴交CD于点H,交BC于点G,设H(m,

n),求m与n之间的关系式；

(2)如图3,将矩形OABC变为边长为10的正方形，点E为y轴上一动点，将△£()(：沿CE折叠.点0落

AT1

在点D处，延长CD交直线AB于点T,若一=—,求AT的长.(双平等腰)

AO2

19

练习8、(2012年武汉)如图1,点A为抛物线G:-2的顶点，点B的坐标为(1,0),直线AB

-2

交抛物线G于另一点C.

(1)求点C的坐标；

(2)如图1,平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D,交抛物线C,于点E,平行于y轴的直线x=a交

直线AB于F,交抛物线Ci于G,若FG:DE=4:3,求a的值；

(3)如图2,将抛物线G向下平移m(m>0)个单位得到抛物线C2,且抛物线C2的顶点为点P,交x

轴负半轴于点M,交射线BC于点N,NQLx轴于点Q,当NP平分/MNQ时，求m的值.

x=3

解：(1)顶点为A(0,-2),B(1,0),y

・・・AB的解析式为：y=2x-2

y=2x-2

由<y^-1x,-2，得C(4,6)

2

(2)由图可知D(3,4),E(3,J

3

；.DE=—，又FG:DE=4:3,

2

41*

.♦.FG=-DE=2,依题可知F(a,2a-2,),G(a,-a-2),x

32

12a--a=2或2a-1a、-2,a=2或2