等式性质与不等式性质 教案

2.1等式性质与不等式性质教案教学目标1.通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在大量的数量关系.2.了解不等式（组）的实际背景.3.了解不等式一些基本的性质.教学重难点教学重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，初步会比较两个代数式的大小.教学难点：用不等式或不等式组准确地表示出不等关系，以及作差法的应用.教学过程新课导入在日常生活中，我们经常看到下列标志：师：你知道图中的两个标志有何作用吗？其含义分别是什么？你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？生：限速行驶和限高行驶，，.新知积累探究一：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速40km/h；（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不小于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．答：对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm/h，“限速40km/h”就是v的大小不能超过40，于是0＜v≤40.对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.对于（3），设△ABC的三条边为a，b，c，则a+b＞c，a-b＜c.对于（4），如图，设C是线段AB外的任意一点，CD垂直于AB，垂足为D，E是线段AB上不同于D的任意一点，则CD＜CE.探究二：利用不等式研究问题某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万？答：设提价后每本杂志的定价为元，则销售总收入为万元．于是不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为．①．师：求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围.如何解不等式①呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质.为此，我们需要先研究不等式的性质.实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质.那么这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实.由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图，设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a＜b；当点A在点B的右边时，a＞b.探究三：比较两个数(式)的大小的方法如果是正数，那么；如果等于0，那么；如果是负数，那么，反过来也对.这个基本事实可以表示为⇔；⇔；⇔.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小.例题点拨例1比较和的大小.分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.解：因为，所以.本题借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式），这是解决不等式问题的常用方法——作差法.探究四：重要不等式的探究和证明如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？将图中的“风车”抽象成下图.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边的长为a，b（a≠b），那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为.由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形EFGH缩为一个点，这时有.于是就有.一般地，，有，当且仅当时，等号成立.事实上，利用完全平方差公式，得.因为，，当且仅当时，等号成立，所以.因此，由两个实数大小关系的基本事实，得，当且仅当时，等号成立.通过等式性质可以发现，等式在运算中的不变性.类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？探究五：不等式的性质性质1如果，那么；如果，那么.即.性质2如果，，那么.即.性质3如果，那么.性质4如果，，那么；如果，，那么.性质5如果，，那么.性质6如果，，那么.性质7如果，那么.例题点拨例2已知，，求证.分析：要证明，因为，所以可以先证明.利用已知和性质3，即可证明.证明：因为，所以，，于是，即.由，得.课堂练习1.已知，，那么a，b，，的大小关系是()A. B. C. D.答案：C解析：由，知，.又，，.2.若,,则下列不等关系中不一定成立的是()

A. B.

C. D.答案：A解析：对于A，若,，，，显然，故A不一定成立；

对于B，由,，知，故B一定成立；

对于C，由，知，故C一定成立；

对于D，由，知，则，故D一定成立.3.如果，那么下列不等式成立的是()A. B.C. D.答案：B解析：对于选项A，由，两边同乘，得，故A错误；对于选项B，由，两边同乘，得，故B正确；对于选项C，由，两边同乘a，得，故C错误；对于选项D，由，两边同乘b，得，故D错误.故选B.4已知且，则的取值范围是______