鲁教版五四版八年级下册6.2矩形的性质与判定

6.2矩形的性质与判定

选择题

1.如图，在矩形ABC。中，AD=6,对角线AC与2。相交于点。，AE±BD,垂足为E,

DE=3BE.求AE的长（）

A.2A/3B.3C.3J3D.盟1

2

2.如图，在矩形48C。中，点E是上任一点，连接CE,尸是CE的中点，若△出（的

面积为6,则矩形ABC。的面积为（）

A.18B.24C.30D.36

3.如图，在RtaABC中，ZBAC=90°且AB=3,AC=4,点。是斜边BC上的一个动点,

过点D分别作DMLAB于点M,DNLAC于点N,连接MN,则线段的最小值为（）

A.丝B.SC.3D.4

52

4.如图，在矩形ABC。中，对角线AC、8。相交于点O,若。E_LAC,ZADF：ZFDC=3：

A.18°B.36°C.27°D.54°

5.如图，矩形ABC。的对角线AC、BD交于点E,ZACB=52°,AM平分NA4C,交BC

于点M,过点3作3AM.垂足为点R则ND8/的度数为（

B.34°C.33°D.19°

6.如图，在矩形A3CD中，AC.瓦）相交于点O,AE平分NA4O交3C于点E,若NC4E

15°,则N50E的度数为（)

C.72°D.90°

7.如图，将矩形纸片右侧部分的四边形A3CD沿线段AD翻折至四边形A"CO的位置.若

ZDAB=56°,则N1的度数是（)

A.34°B.56°C.58°D.68°

8.如图所示，在平行四边形A8CD中,对角线AC、5。相交于点。下列条件不能判定平

行四边形A5CD为矩形的是（）

C.AD=ABD.ZBAD=ZADC

9.已知在四边形ABCZ）中，AB//CD,对角线AC与5。相交于点O,那么下列条件中能判

定这个四边形是矩形的是()

A.AD=BC,AC=BDB.AC=BD,ZBAD=ZBCD

C.AO=CO,AB=BCD.AO=OB,AC=BD

填空题

10.如图，在矩形ABC。中，AB=8,BC=6,点尸为边AB上任意一点，过点P作PE_L

AC,PFLBD,垂足分另ij为E、F,贝iJPE+PF=.

三.解答题

11.如图，过aABC边AC的中点。，作OELAC,交AB于点、E,过点A作AO〃BC,与

2。的延长线交于点。，连接CO,CE,若CE平分/ACB,CELB。于点?

(1)求证：

@OC=BC；

②四边形ABC。是矩形；

(2)若8C=3,求。E的长.

12.已知：在矩形ABC。中，点E在2C边上，连接。E,且。E=BC,过点A作

于点F.

(1)如图1,求证：AB^AF；

(2)如图2,连接AE,当尸时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2

8的线段.

3

13.如图，AC,2。相交于点。，且。是AC、8。的中点，点E在四边形ABC。外，且N

AEC=NBED=90°,求证：四边形ABC。是矩形.

14.如图，口42。的对角线AC,3。相交于点。，将△AB。平移到△OCE,已知40=1,

B0=2,

求证：四边形OCED是矩形.

15.如图，在口48。£)中，E、G分别是A3、的中点，S.AH=CF,AH//CF.

(1)求证：LAEH咨4CGF；

(2)连接切，若打求证：四边形EEGH是矩形.

参考答案

选择题

1.解：,:DE=3BE,

：.BD=4BE,

•.•四边形A8C。是矩形，

:.BO=DO=1~BD=2BE,

2

:.BE=EO,

y.'：AE±BO,

：.AB=AO,

：.AB=AO=BO,

：.AABO是等边三角形，

AZABO=60°,

AZADB=30°,

y,'：AE±BD,

.,.AE=AAD=3,

2

故选：B.

2.解：连接BE,如图所示：

：8尸是△BCE的中线，

SNCE=2SNCF=12,

又•..矩形ABCD与ABCE同底等高，

矩形ABC。的面积=2XSABCE=24.

故选：B.

3.解：VZBAC=90°,且BA=3,AC=4,

,'-BC=VBA2+AC2=5,

,：DM1AB,DN1.AC,

：.ZDMA^ZDNA^ZBAC=90°,

四边形OMAN是矩形，

：.MN=AD,

，当AD±BC时，AD的值最小，

此时，ZkABC的面积=LB><AC=XBCXA。，

22

..AD=ABXAC^12,

BC5

；.MN的最小值为」2；

5

故选：A.

4.解：设NA。b=3x,ZFDC=2x,

・・•四边形A5CD是矩形，

AZADC=90°,

・・・2x+3x=90°,

：.x=18°,

即/尸。。=21=36°,

9：DF±AC,

：.ZDMC=90°,

：.ZDCO=90°-36°=54°,

•・•四边形ABC。是矩形，

：.AC=2OCfBD=2OD,AC=BD,

：.OD=OC,

：.ZBDC=ZDCO=54°,

：.ZBDF=ZBDC-ZFZ)C=54°-36°=18°,

故选：A.

5.解：・・•四边形ABC。是矩形，

AZABC=90°,AE=BE,

：.ZBAC=9Q°-ZACB=90°-52°=38°,

AZABD=ZBAC=38°,

•••AM平分N5AC,

AZBAM=ZCAM=AzBAC=Ax38°=19°,

22

'：BF±AM,

：.ZABF=90°-ZBAM=90°-19°=71°,

：.ZDBF=ZABF-ZABD=H0-38°=33°,

故选：c.

6.解：•・•在矩形ABC。中，AE平分NBA。，

：.ZBAE=ZEAD=45°,AD//BC,OA=OB.

：.ZAEB=ZEAD=45°,

：.BE=BA.

9：ZCAE=15°,ZBAE=45°,

：.ZBAC=6Q°,

又・.・。4=03,

：./\OAB为等边三角形，

：.BO=BA,

；・BO=BE,

：.ZBOE=ZBEO,

,：AOAB为等边三角形，

・・・NA8O=60°,

：.ZOBE=90°-60°=30°,

:・/BOE=(180°-30°)4-2=75°.

故选：B.

9

7.解：：AB//DCf

：.ZADC+ZBAD=1SO°,且NQAB=56°,

AZADC=U4O,

•・・将右侧部分纸片四边形ABCD沿线段AB翻折至四边形ABCD\

：.ZADC=ZADC=124°,

.'.Zl=124°+124°-180°=68°,

故选：D.

8.解：A.根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABC。为矩形，故

此选项不符合题意；

B.根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形A5CD为矩形，故此选项不符

合题意；

C.不能判定平行四边形A3CD为矩形，故此选项符合题意；

D.平行四边形A5CD中，AB//CD,

：.ZBAD+ZADC=1SO°,

：.ZBAD=ZADC=90°,

根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不

符合题意.

故选：C.

9.解：A、AB//DC,AD=BC,无法得出四边形A3CD是平行四边形，故无法判断四边形

A8CD是矩形.故错误；

9

B、：AB//CDf

：.ZBAD-^-ZADC=ZABC+ZBCD=180°,

•：NBAD=NBCD,

：.ZABC=/ADC,

・•・得出四边形ABCD是平行四边形,

*：AC=BD,

・・・四边形ABC。是矩形.故正确；

C、9：AO=CO,AB=BC,

：・BD工AC,ZABD=ZCBD,

9：AB//CD,

：.NABD=/CDB,

：.ZCBD=ZCDB,

:・BC=CD,

：.AB=CD,

・・・四边形A5CD是菱形，无法判断四边形ABC。是矩形.故错误；

D、AO=OB,可无法判断四边形ABC。是矩形，故错误；

故选：B.

D

o

二.填空题

10.解：连接。尸，如图：

•.•四边形ABC。是矩形，

AZABC=90°,OA^OC,OB=OD,AC=BD,

：.OA=OB,^c=^AB2+BC2=V82+62=10,

•'•S矩形ABCD=A3・BC=48,SAAOB=A矩形ABCD=12,OA=OB=5,

4

SAAOB=S^AOP+S^BOP=AOA•PE+lvB•PF=1-OA(PE+PF)=JLX5X(PE+PF)

2222

12,

.•.PE+PF=­？1；

5

故答案为：24

5

三.解答题

11.(1)证明：①：CE平分/ACB,

：.NOCE=NBCE,

'JBOLCE,

；.NCFO=/CFB=90°,

在△OC尸与△BCF中，

，Z0CE=ZBCE

-CF=CF-

LZCFO=ZCFB

:.AOCFmABCF(ASA),

：.OC=BC；

②：点。是AC的中点,

：.OA=OC,

'：AD//BC,

：.ZDAO=ZBCO,ZADO=ZCBO,

在△04。与△OCB中，

，ZDAO=ZBCO

<OA=OC，

kZADO=ZCBO

:.△OAD学△OCB(ASA),

：.AD=BC,

'：AD//BC,

，四边形ABCD是平行四边形，

•/OE±AC,

：.ZEOC=9Q°,

在△OCE与△BCE中，

'CE=CE

-ZOCE=ZBCE-

LOC=BC

:.△OCE冬4BCE(SAS),

：.ZEBC=ZEOC=90°,

四边形ABC。是矩形；

(2)解：：四边形ABCD是矩形，

：.AD=BC=3,ZDAB=90°,AC=BD,

：.OB=OC,

：OC=BC,

：.OC=OB=BC,

:AOBC是等边三角形，

：.ZOCB=60°,

：.ZECB=1-/OCB=30°,

2

VZ£BC=90°,

:.EB=LEC,

2

,：BE2+BC2^EC2,BC=3,

VOE±AC,OA=OC,

：.EC=EA=2^

在Rt^A。石中，ZDAB=9Q°,

DE=VAD2+AE2=7S2+(2V3)2=倔，

12.证明：(1):四边形ABC。是矩形，AFXDE,

C.AD//BC,AD=BC,AB=CD,ZC=ZAFD=90°,

ZADE=/DEC,

,:DE=BC,

：.AD=DE,

在△A。尸和△DEC中，

，ZAFD=ZC=90°

-ZADE=ZDEC，

,AD=DE

AAADF^^DEC(AAS),

J.AF^CD,

：.AF=AB；

(2)AD,BC,£>E的长度等于2;巨42,

3

理由如下：AADF^ADEC,

：.CE=DF,

:.BE=EF,

；BE=DF,

；.BE=EC=DF=EF,

：.DE=2EC,

\"DE1=EC1+CD1,

:.DE=2MAB,

3_

:.AD=BC=DE=冬叵AB.

3

13.证明：连接£0,如图所示：

TO是AC、的中点，

：.AO=CO,BO=DO,

，四边形ABCD是平行四边形，

在RtAEBZ）中，

；0为BD中点，

；.EO=1£D,

2

在Rt/XAEC中，为AC中点,

:.EO=1AC,

2

C.AC^BD,

又•:四边形ABCD是平行四边形,