专题01 有理数（知识串讲+热考题型+真题训练）（原卷版）2024-2025学年七年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版2024）

专题01有理数【考点01】正负数

【考点02】相反意义的量表示

【考点03】有理数的概念辨析【考点04】有理数的分类【考点05】有理数的大小比较

【考点06】数轴的三要素及其画法【考点07】利用数轴比较有理数的大小

【考点08】数轴上两点之间的距离【考点题型九】数轴上的动点问题

【考点09】相反数的概念【考点10】相反数的性质运用

【考点11】绝对值定义、绝对值的性质【考点12】化简绝对值

【考点13】非负性的性质知识点1：正数和负数（1）概念正数：大于0的数叫做正数。负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。）（2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。知识点1：有理数（1）概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。分数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。（2）分类：两种

知识点1：数轴（1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。三要素：原点、正方向、单位长度（2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。知识点1：相反数（1）概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0）几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。（2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。（注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号）知识点1：绝对值（1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。

（3）代数符号意义：注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。（4）性质：绝对值是a(a＞0)的数有2个，他们互为相反数。即±a。（5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。【考点01】正负数

【典例1】中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出1000元记作−1000元，那么+1080元表示（

）A．支出80元 B．收入80元 C．支出1080元 D．收入1080元【变式1-1】受全球新冠肺炎疫情的影响，全球经济大幅下滑，经合组织预计，2020年全球经济下降为4.5%，记作−4.5%，与此同时，经合组织预计2020年美国经济增速预期为−3.8%，2020年欧元区经济增速为−7.9%．按照经合组织的预期，2020年中国经济将实现A．+1.8% B．−1.8% C．+1.8 【变式1-2】在−2，+3.5，0，−12,−0.7A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-3】在−2，+3.5，0，−12,−0.7A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-4】有一组数为：−1，12A．−17 B．17 C．【考点02】相反意义的量表示

【典例2】如果收入100元记作+100元，那么支出300元记作（）A．−300元 B．+300元 C．1300元 D．+1300元【变式2-1】张老师对全班同学以90分为标准计分，小明得95分，记作+5分；小丽被记作−3分，则小丽的实际分数为（

）A．93 B．92 C．87 D．88【变式2-2】规定：→2表示向右移动2，记作+2，则←3表示向左移动3，记作（）A．+3 B．−3 C．−13 【变式2-3】根据文献记载，魏晋学者刘徽是引入负数概念的第一人，他在注解《九章算术》时写道：“正算赤，负算黑；否则以斜正为异．今两算得失相反，要令正负以名之．”简而言之，刘徽不仅给了正负数定义，而且还指出用赤黑区分正负数，即“正算赤，负算黑”．如果向东走30米记作“+30米”，那么向西走70米记作．

【考点03】有理数的概念辨析

【典例3】在数227，−15，−π3.14，0.4，0.333⋯A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【变式3-1】下列判断语句中，错误的是（

）A．最小的正整数是1 B．最大的负整数是−1C．没有最大的有理数 D．最小的有理数是0【变式3-2】在3.14，227，0，π3，0.1010010001中，有理数有（A．5个 B．2个 C．3个 D．4个【变式3-3】零是（）A．最小的整数 B．最小的正数 C．最小的有理数 D．最小的非负整数【考点04】有理数的分类

【典例4】把下列各数分别填在相应的集合内：−11、4.8、73、−2.7、16、3.1415926、−正数集合｛

｝负分数集合｛

｝非负整数集合｛

｝【变式4-1】将有理数−2.5，0，212，2024，整数：{

…}；负数：{

…}；非负数：{

…}．【变式4-2】将下列各有理数按照分类填入下面对应的大括号内：−2.25，+16，−14，−4，3.14，0，227，π有理数数集合：{

}整数集合：{

}；负数集合：{

}；分数集合：{

}；【考点05】有理数的大小比较

【典例5】比较大小：−+34−−56（填“【变式5-1】比较大小：−53【变式5-2】比较大小：−23−34（填“>”“

【考点06】数轴的三要素及其画法

【典例6】下列数轴的画法正确的是（

）A．B．C．D．【变式6-1】下面是四名同学画的数轴，其中正确的是（

）A． B．C． D．【考点07】利用数轴比较有理数的大小

【典例7】已知一组数：−3，−52，0，−−1.5(1)把下列这条直线补充成一条数轴，并把这些数用数轴上的点表示出来；(2)把这些数按照从小到大的顺序排列，并用“<”号连接起来．

【变式7-1】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（

）A．a+b>0 B．b−a<0 C．ab>0 D．a【变式7-2】如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（

）

A．a<b<−c B．b<−c<a C．−a<c<b D．a<−c<−b【变式7-3】在数轴上与原点的距离不大于4的整数点有（）A．5个 B．6个 C．9个 D．8个【变式7-4】（1）把数轴补充完整；（2）在数轴上表示下列各数：0，−−2，−4，312（3）用“>”将这些数连接起来，

【考点08】数轴上两点之间的距离

【典例8】同学们都知道，7−−3表示7与−3之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与−3(1)7−−3(2)找出所有符合条件的整数x，使得x+4+(3)对于任何有理数x，x−3+(4)若x+1+x−6=9【变式8-1】点A，B是数轴上的两点，A，B两点之间的距离是5，若点A表示−3，则点B表示的数是

【变式8-2】数轴上的点A到原点的距离是10，则点A表示的数为（

）A．10或−10 B．0 C．−10 D．10【变式8-3】数轴上点A表示−4，点B表示3，则A、B两点间的距离是（）A．−1 B．−5 C．7 D．1

【考点09】数轴上的动点问题

【典例9】已知一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7个单位长度到达A点，再从A点向右移动12个单位长度到达B点．点C是线段AB的中点．(1)点C表示的数是_____；(2)若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点Q,M分别从点C、B出发，分别以每秒1个单位长度、4个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动时间为t秒．①当t=2时，求QM−PQ的值；②试探索：QM−PQ的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由．【变式9-1】如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为cm．(2)图中点A所表示的数是，点B所表示的数是．(3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小明解决下列问题：一天，小明去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经120岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？【变式9-2】如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为3，BC=2，AB=6．

(1)则点A对应的数是，点B对应的数是；(2)动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒8个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动．M在线段AP上，且AM=MP，N在线段CQ上，且CN=14CQ①求点M、N对应的数（用含t的式子表示）②猜想MQ的长度是否与t的大小有关？如果有关请你写出用t表示的代数式；如果无关请你求出MQ的长度．【变式9-3】综合与实践：【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a−b|．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是________；数轴上表示3和−1的两点之间的距离是________；【独立思考】：（2）数轴上表示x和−2的两点之间的距离表示为________；（3）试用数轴探究：当|m−1|=3时m的值为________．【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：（4）利用数轴求出|x−2|＋|x−5|的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？

【考点10】相反数的概念

【典例10】2024的相反数是（

）A．2024 B．−2024 C．1012 D．−1012【变式10-1】与−2025互为相反数的是（

）A．−2025 B．2025 C．12025 D．【变式10-2】下列四组数中，互为相反数的一组是（）A．+2与−3 B．−8与+8C．−−2与2 D．+−1【变式10-3】如图，点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，其中表示−3的相反数的点是（）A．A B．B C．C D．D【考点11】相反数的性质运用

【典例11】若代数式3x+2和−2x+1互为相反数，则x=（

）A．3 B．−3 C．5 D．−5【变式11-1】−−A．25 B．−25 C．125 D．【变式11-2】数轴上表示数a和a+4的点到原点的距离相等，则a为（

）A．−4 B．4 C．2 D．−2【变式11-3】代数式3a+1与2−2a互为相反数，则a=．【变式11-4】如果a,b互为倒数，c,d互为相反数，那么6d−5ab−(−6c)=．

【考点12】绝对值定义、绝对值的性质

【典例12】若一个数的绝对值是2019，则这个数是（

）A．2019 B．−2019 C．±2019 D．以上都不对【变式12-1】如图，某草莓采摘园采摘了A、B、C、D四筐草莓，每筐草莓以5千克为标准，超过的干克敖记为正数，不足的千克数记为负数，其中最接近标准质量的是（

）A． B． C． D．【变式12-2】绝对值大于4.5小于8的所有整数的有．【考点13】化简绝对值

【典例13-1】如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a，b，c．(1)填空：a−b______0，a+c______0，b−c______0．（用<或>或＝号填空）(2)化简：a−b−

【典例13-2】若xy>0，则xx+y【变式13-1】若ab≠0，则aa+【变式13-2】若xy>0，则xx+y【变式13-3】有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式aa+b−1【变式13-4】有理数a、b、c在数轴上的位置如图：(1)判断正负，用“>”或“<”填空：b−c0，a+b0，c−a0．(2)化简：|b−c+【考点14】非负性的性质【典例14】若ab≠0，则aa+【变式14-1】若xy>0，则xx+y【变式14-2】有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式aa+b−11．下列四个数中，是负数的是（

）A．−5 B．−−3 C．0 D．2．下列图形中是数轴的是（

）A． B．C． D．3．下列化简，正确的是（

）A．−[−(−10)]=−10B．−(−3)=−3 C．+(−5)=5 D．−4．已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则aa+bA．−2 B．−1 C．0 D．25．已知m=−6，则m的值可能是（A．−6 B．6 C．6或−6 D．无法确定6．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为21厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点数是（

）A．20个或21个 B．20个或22个 C．21个或22个 D．21个或23个7．有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列各式①a+b<0；②a−b>0；③a>b；④1−b>0A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为−1和0，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（

）A．点A B．点B C．点C D．点D9．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示−1的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上表示−2023的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（

）A．0 B．1 C．2 D．310．如果某车间运进1.8吨货物记作+1.8吨，那么运出0.7吨货物记作吨．11．−−12

12．一个水文站测量河水的水位以警戒线为标准，把超过警戒线的高度记为正数，把低于警戒线的高度记为负数，一天五次测量数据如下：次数一二三四五水位（厘米）135−0.5−3−15则第次测量时水位离警戒线最近．13．在数轴上，点A表示的数为2，点B与点A相距8个单位长度，