专练08 四边形中线段的数量与位置关系-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练（教师版含解析）

专练08四边形中线段的数量与位置关系

1.在平行四边形ABCD中，E是4D上一点，AE^AB,过点E作直线EF,在EF上取一点G,

使得乙EGB=Z.EAB,连接AG.

(1)如图1,当EF与AB相交时，当NEAB=60°时，

请直接写出ZC度数为；

(2)求证：EG=AG+BG；

(3)如图2,当EF与CD相交时，且Z.EAB=90°,请你写出线段EG,AG,BG之间的数量关系,

并证明你的结论.

【答案】⑴①60°

⑵在GE上取H,使GH=GB,连接HB、EB

'：Z.EGB=乙EAB=60°,AE=AB

，4HGB、△EAB是等边三角形

,BE=BA,BH=BG,Z.GBA+/.ABH=60°,4HBE+乙ABH=60°

二4HBE=Z.GBA

：.△HBESAGBA

二HE=GA

：.GE=GH+HE=BG+AG

(3)连接AG,将t^AGE绕A顺时针旋转90。至4AHB处

HB=GE,AH=AG

'：乙EGB=Z.EAB=90。

:在四边形ABGE中，/.ABG+/.AEG=180"

，，ABH+乙ABG=180°,即H,B,G三点共线

AEAG+/.BAG=90°

二乙HAB+^BAG=90°,B|JZ.HAG=90°

'/AH=AG

△AHG是等腰直角三角形

HG=V2AG

'：HG=HB+BG=EG+BG

EG+BG=y/2AG.

【解析】⑴平行四边形ABCD中

**•AD“BC,AB“CD

：.Z.EAB+/.ABC=180°,zC+AABC=180°

；・Z.EAB=ZC

Z.EAB=60°

・・・ZC=60°

故答案为：60°

2.如图，以△A3c的各边为边长，在边3c的同侧分别作正方形,正方形BCFE,正方形

ACHG连接4。,DEEG.

G

E

(1)求证：ABDE当dBAC；

⑵求证：四边形AOEG是平行四边形；

(3)若四边形AOEG是正方形，请直接写出AC与AB的数量关系(不用写证明过程)

【答案】(1)证明：・・•四边形ABDI、四边形BCFE是正方形

・・・BD=BA,BE=BC,ZDBA=ZEBC==90°

AZDBE+ZEBA=90°,ZABC+ZEBA=90°

，NDBE=NABC

/.△BDE^BAC

(2)证明：VABDE^BAC

:.DE=AC=AG

ZBAC=ZBDE

VAD是正方形ABDI的对角线，

・・・NBDA=NBAD=45°.

NEDA=ZBDE-NBDA=ZBDE-45°

ZDAG=360°-ZGAC-ZBAC-ZBAD

=360°-90°-ZBAC-45°

=225°-ZBAC

・•・ZEDA+ZDAG=ZBDE-45°+225°-ZBAC=180°

・・・DE〃AG,VDE=AG

・・・四边形ADEG是平行四边形.

(3)AC=V2AB

3汝口图

A

(1)［方法呈现］

如图①，△ABC中，AD为中线，已知AB=3,AC=5,求中线AD长的取值范围.

解决此问题可以用如下方法：

延长AD至点E,使DE=AD,连结CE,则易证△DEC丝z^DAB,得到EC=AB=3,则可得AC-CE<

AE<AC+CE,从而可得中线AD长的取值范围是.

(2)［探究应用］

如图②，在四边形ABCD中，AB〃CD,点E是BC的中点，若AE是NBAD的平分线，试判断AB,AD,

DC之间的等量关系，并写出完整的证明过程.

(3)如图③，在四边形ABCD中，AB〃CD,AF与DC的延长线交于点F,点E是BC的中点，若AE是

/BAF的平分线，试探究AB,AF,CF之间的等量关系，并证明你的结论

【答案】(1)1<AD<4

(2)解：延长AE,DC交于点F,

VAB/7CD,

；./BAF=/F,

在^ABE和4FCE中

CE=BE,ZBAF=ZF,ZAEB=ZFEC,

.,.△ABE^AFEC(AAS),

，CF=AB

：AE是ZBAD的平分线，

，/BAF=NFAD,

，NFAD=NF,

，AD=DF,

：DC+CF=DF,

Z.DC+AB=AD.

(3)解：延长AE,DF交于点G,

同⑵可得：AF=FG,△ABE^AGEC,；.AB=CG,；.AF+CF=AB

【解析】(1)解：(1)由题意知AC-CEVAEVAC+CE,即5-4VAEV5+3,

A1<AD<4,

故答案为：1<AD<4；

4.已知在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=kBC,直线I经过点A,过点C、B分别向直线I作

垂线，垂足分别为E、F,CE交4B于点M.

(1)如图，若k=l,求证：AE+BF=CE.

(2)如图2,若k=2,则4E、BF、CE之间的数量关系是

F

BE

d

图2

(3)在(2)的条件下，如图3,连接CF,过点A作AG“CF,交CE延长线于点G,若CF=3追，

=5,求MG的长.

B

(-

【答案】(1)证明：如图，过点C作CH_LBF,交FB的延长线于点H,

CH1BF,BFLEF,CE1.EF,

・♦・LCHF=LHFE=Z.FEC=90°,

・♦・四边形CEFH是矩形，

，CE=HF,Z.HCE=90°,

/-HCE=^LACB=90°,

••・Z.HCB+乙BCE=Z.ECA+乙BCE=90°,即(HCB=Z.ECA,

vAC=kBC,k=1,

/.AC=BC,

乙BHC=Z.AEC=90°

在△BHC和△AEC中，｛乙HCB=Z.ECA,

BC=AC

：.△BHC=△AEC^AAS)，

JBH=AE,

AE+BF=BH+BF=HF=CE,

即AE+BF=CE；

⑵CE=^AE+BF

(3)解：如图，过C作CP_LBF,交.FB的延长线于点P,

由(2)可知，CP=EF,CE=PF,AE=2BP,EC=2PC,

：.PF=CE=2PC,

在Rt△CPF中，由勾股定理得：。。2+2尸2="2,

PC2+(2PC)2=(3V5)2,解得PC=3或PC=-3(不符题意，舍去)，

AEF=PC=3,PF=CE=2PC=6,BP=PF-BF=6-5=1,AE=2BP=2,

AF=EF+AE=5,

；CF//AG,

/.△AEGFEC,

•EGAEpartEG2

・・一=—,RJ—=-,

ECFE63

解得EG=4,

•・•乙AEC=Z.AFB=90°,

・•・EM“BF,

/.△AEMAFB,

・MEAEME2

・・——=一,nnKJ——=-,

BFAF55

解得ME=2,

・♦.MG=EG-i-ME=6,

故MG的长为6.

【解析】(2)如图，过C作CP18尸，交FB的延长于点P,

CPLBF,BFLEF,CELEF,

，乙CPF=乙PFE=乙FEC=90°,

・•・四边形CEFP是矩形,

CP=EF,CE=PF,4PCE=90°,

Z.ACB=乙PCE=90°,

Z.ECA+Z.BCE=乙PCB+乙BCE=90°,即^ECA=Z.PCB,

在和中，［端

*••△AEC~&BPC,

AEECACkBC.

——=—k-oL，

BPPCBCBC

・♦・AE=2BP,EC=2PC,

CE=PF=BP+BF,AE+BF,

故答案为：CE=^AE+BF；

5.已知，正方形ABCD中，4MAN=45。，KMAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC

(或它们的延长线)于点M,N,AHLMN于点H.

D

BM

图①图②图③

(1)如图①，当乙MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系:

(2)如图②，当乙MAN绕点A旋转到BM手DN时，(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？

如果不成立请写出理由，如果成立请证明;

(3)如图③，已知AMAN=45°,AH1MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用

(2)得到的结论)

【答案】(1)AH=AB

(2)解：(1)中的数量关系仍成立.理由如下:

如图②，延长CB至E,使BE=DN

图②

ABCD是正方形

二AB=AD,Z.D=4ABE=90"

在Rt△AEB和Rt△AND中

AB=AD

{/.ABE=4ADN

BE=DN

Rt△AEB=RtAND

：.AE=AN,/.EAB=乙NAD

：.LEAM=Z.NAM=45°

在和t^ANM中

AE=AN

{/.EAM=4NAM

AM=AM

△AEMANM

SAX&M=S—NM，，EM=MN

,/AB,4H是△4EM和△4NM对应边上的高

/.AB=AH

(3)解：如图③分别沿AM,AN翻折AAMH和AANH,得到△ABM和AAND,

BM=2,ON=3,ZB=ZD=/.BAD=90°

分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD

由(2)可知，AH=AB=BC=CD=AD

设=x,则MC=x-2,NC=x-3

在Rt△MCN中，由勾股定理，得

MN2=MC2+NC2

：.52=(x-2)2+(x-3)2

解得%i=6>x2=-1(不符合题意，舍去)

二AH=6.

【解析】解：(1)AH=AB

理由如下：

•••四边形ABCD是正方形，

二AB=AD,ZB=4。=90°,

在ZMBM与ZMDN中，

AB=AD

{NB=乙D

BM=DN

：.△ABM三2ADN

：.乙BAM=乙DAN,AM=AN

"：AH1MN

：.2LMAH=-^MAN=22.5°

2

乙BAM+Z.DAN=45°

，/.BAM=22.5°

在AABM与ZMHM中

ABAM=4HAM

{NB=乙4HM=90°

AM=AM

△ABM三&AHM

：.AB=AD=AH

故答案为：AH=AB

6.某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程:

操作发现:

(1)如图1,分别以AB和AC为边向△ABC外侧作等边△ABD和等边△ACE,连接BE、CD,请你完成作图

并证明BE=CD.(要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹)

⑵类比探究：

如图2,分别以AB和AC为边向△ABC外侧作正方形ABDE和正方形ACFG,连接CE、BG,则线段CE、

BG有什么关系？说明理由.

(3)灵活运用：

如图3,在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=BC,ZABC=60°,ZADC=3O°,AD=3,BD=5,求

CD的长.

【答案】(I)作图，如图所示：

VAABD和4ACE都为等边三角形,

，AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°,

:./BAD+/BAC=NCAE+NCAB,即NDAC=NEAB,

在4ACDflJAAEB中,

AD=AB

{/.DAC=/.EAB,

AC=AE

.,.△ACD^AAEB(SAS),

，BE=CD

(2)CE=BG,理由为：

证明：•••四边形ABDE与四边形ACFG都为正方形，

；.AE=AB,AC=AG,ZEAB=ZCAG=90°,

，NEAB+/BAC=NCAG+NCAB,即NEAC=NBAG,

在^ACEABG中，

AE=AB

{Z.EAC=/.BAG,

AC=AG

.,.△ACE^AABG(SAS),

；.CE=BG

(3)VAB=BC,ZABC=60°,

.♦.△ABC是等边三角形，

；.AB=AC,ZACB=60°,

在CD夕卜侧作等边△CDE,则NADE=90。，DE=DC,NDCE=60。,

VZACB=ZDCE=60°,

.\ZACE=ZBCD,

在4ACE和^BCD中,

CD=CE

{/.BCD=/.ACE，

AB=AC

.,.△ACE^ABCD(SAS)

，AE=BD,

:在RSADE中，DE2=AE2-AD2=BD2-AD2=52-32=16,

ADEM,

7.如图，正方形ABCD,点P在射线CB上运动(不包含点B、C),连接DP,交AB于点M,作BE,DP于

点E,连接AE,作/FAD=/EAB,FA交DP于点F.

(1)如图a,当点P在CB的延长线上时，

①求证：DF=BE；

②请判断DE、BE、AE之间的数量关系并证明；

(2)如图b,当点P在线段BC上时，DE、BE、AE之间有怎样的数量关系？请直接写出答案，不必证明；

(3)如果将已知中的正方形ABCD换成矩形ABCD,且AD：AB=g：1,其他条件不变，当点P在射线

CB上时，DE、BE、AE之间又有怎样的数量关系？请直接写出答案，不必证明.

【答案】(1)证明：①正方形ABCD中，AD=AB,ZADM+ZAMD=90°

VBE1DP,

，ZEBM+ZBME=90°,

VZAMD=ZBME,

，NEBM=NADM,

在^ABE△ADF中，

々FAD:ZEAB

{NEBM-ADM'

AD=AB

.♦.△ABE丝△ADF,

；.DF=BE；

②DE=BE+V2AE,

理由：由(1)有△ABE丝4ADF,

，AE=AF,ZBAE=ZDAF,

ANBAE+/FAM=NDAF+NFAM,

/.ZEAF=ZBAD=90°,

AEF=y[2AE,

VDE=DF+EF,

・，・DE=BE+V2AE；

(2)解：DE=V2AE-BE；

(3)DE=2AE+百BE或DE=2AE-用BE.

【解析】(2)证明：正方形ABCD中，AD=AB,ZBAD=ZBAE+ZDAE=90°,

VZFAD=ZEAB,

.\ZEAF=ZBAD=90o,

・・・ZAFE+ZAEF=90°

・.・BE_LDP,

・•・ZBEA+ZAEF=90°,

AZBEA=ZAFE,

VZFAD=ZEAB,AD=AB

/.△ABE^AADF,

AAE=AF,BE=DF

•・・ZEAF=90°

：.EF=V2AE,

VEF=DF+DE=V2AE,

ADE=V2AE-DF=aAE-BE；

(3)证明：①如图1所示时，

正方形ABCD中，ZADM+ZAMD=90°

VBE1DP,

AZEBM+ZBME=90°,

VZAMD=ZBME,

AZEBM=ZADM,

VZFAD=ZEAB

/.△ABE^AADF,

...-A-B----A-E----B-E-,

ADAFDF

VAD：AB=V3：1»

.AE_1_B£

'"AF~yf3~DF，

AAF=V3AE,DF=百BE

VZFAD=ZEAB

:.ZEAF=ZEAB+ZBAF=ZFAD+ZBAF=ZBAD=90°,

22

AEF=VAE+AF=2AE=DE-DF=DE-痘BE,

Bp：DE=2AE+V3BE；

②如图2所示，

VZDAF=ZBAE,

・・・ZEAF=ZBAD=90°,

VZDAF=ZBAE,

AABAE^ADAF,

...4-8--=—4E=--B-E-,

ADAFDF

VAD：AB=V3：H

.AE_BE_1

•・AF~DF~43，

AF=V3AE,DF=1/3BE,

ZEAF=90°,

22

根据勾股定理得，EF=VAE+AF=2AE=DE+DF=DE+百BE,

，DE=2AE-V3BE.

8.在--次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重

合，点C与点D重合（如图1）,其中NACB=NDFE=90。，BC=EF=3cm,AC=DF=4cm,并进行如下研究活

动。

图1图2图3图4

活动一:将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE,BD（如图2）,当点F与点C重合时停止平移。

活动二:在图3中，取AD的中点0,再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转a度（0WaW90）,连结OB,0E（如

图4）。

（1）图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由。

（2）当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）。求AF的长。

（3）当EF平分NAEO时，探究0F与BD的数量关系，并说明理由。

【答案】（1）解：四边形ABDE是平行四边形

如图

图I

VAABC^ADEF,

；.AB=DE,NBAC=NEDF,

；.AB〃DE,

•••四边形ABDE是平行四边形

⑵解：如图1,连接BE交AD于点0,

♦.•四边形ABDE为矩形，

，OA=OD=OB=OE,

设AF=x(cm),贝OA=OE=：(x+4),

/.OF=OA-AF=2--x,

2

在RtAOFE中，OF2+EF2=OE2,

.*.(2--x)2+32=-(x+4)2,

24

解得:

X=;4

・♦・AA口F=9-cm

4

⑶解：BD=20F,

证明:如图2,

延长OF交AE于点H,

丁四边形ABDE为矩形，

:.ZOAB=ZOBA=ZODE=ZOED,OA=OB=OE=OD,

AZOBD=ZODB,ZOAE=ZOEA,

・・・ZABD+ZBDE+ZDEA+ZEAB=360°,

/.ZABD+2ZBAE=180°,

・・・AE〃BD,

AZOHE=ZODB,

TEF平分NOEH,

:.ZOEF=ZHEF,

VZEFO=ZEFH=90°,EF=EF,

AAEFO^AEFH(ASA),

，EO=EH,FO=FH,

，ZEHO=ZEOH=ZOBD=ZODB,

.,.△EOH^AOBD(AAS),

/.BD=OH=2OF

(1)求证：四边形AEFD是矩形；

(2)如图2,点P是边AD上一点，BP交EF于点0,点A关于BP的对称点为点M,当点M落在线段EF

上时，则有0B=0M.请说明理由；

(3)如图3,若点P是射线AD上一个动点，点A关于BP的对称点为点M,连接AM,DM,当AAMD是

等腰三角形时，求AP的长.

【答案】(1)证明：：四边形ABCD是矩形，

，AB=CD,AB/7CD,ZA=90°,

VAE=EB,DF=FC,

，AE=DF,AE〃DF,

.••四边形AEFD是平行四边形，

VNA=90。，

四边形AEFD是矩形.

(2)解：如图2中，连接PM.BM.

图2

•••四边形AEFD是矩形,

，EF〃AD,

VBE=AE,

，BO=OP,

由翻折可知，ZPMB=ZA=90°,

・・・OM=OB=OP.

(3)解：如图3-1中，当MA=MD时，连接BM,过点M作MH_LAD于H交BC于F.

图3-1

・.・MA=MD,MH1AD,

・・・AH=HD=4,

VZBAH=ZABF=ZAHF=90°,

・♦・四边形ABFH是矩形，

，BF=AH=4,AB=FH=5,

・・・NBFM=90。，

VBM=BA=5,

**-FM=7BM2—BF2—V52-42=3，

・・・HM=HF=FM=5-3=2,

VZABP+ZAPB=90°,NMAH+NAPB=900,

AZABP=ZMAH,

VZBAP=ZAHM=90°,

AAABP^AHAM,

・APAB

..—f

HMAH

.AP

..一=5-，

24

，AP=-.

2

如图3-2中，当AM=AD时，连接BM,设BP交AM于F.

D

・・.AD=AM=8,BA=BM=5,BF±AM,

・・・AF=FM=4,

・・・BF=NAB?_AFz=752_z[2=3，

VtanZABF=—=—,

ABBF

・AP4

・・T=5'

・・・AP=—,

3

如图3-3中，当DA=DM时,此时点P与D重合，AP=8.

A____________________pfP)

图3-3

如图3-4中，当MA=MD时，连接BM,过点M作MHJ_AD于H交BC于F.

图3T

VBM=5,BF=4,

・・・FM=3,MH=3+5=8,

由△ABPs/\HAM,可得丝=丝，

HMAH

.AP5

・・一=-，

84

Z.AP=10,

综上所述，满足条件的PA的值为|或g或8或10.

10.四边形ABCD是边长为2的正方形，E是4B的中点，连结DE,点、F是射线BC上一动点(不

与点B重合)，连结4F,交DE于点G.

(1)如图1,当点F是BC边的中点时，求证：AABF三△04E；

图I

⑵如图2,当点F与点C重合时，求AG的长;

图2图3（备用）

（3）在点F运动的过程中，当线段BF为何值时,AG=AE?请说明理由.

【答案】（1）证明：•：四边形ABCD是正方形,

•••乙B=Z.DAE=90°,AB=AD=BC,

•••点、E、F分别是AB,BC的中点,

：.AE=-AB,BF=-BC,

・•・AE—BF,

ABF=△DAE.

(2)在正方形ABCD中，AB//CD./-ADC=90。,A。=CD=2,

AC=\/AD2+CD2=V22+22=2鱼，

vABHCD,

•••△AGECGD

AGAE

CGAG

4G_1

即

2>12-AG2

2V2

AG=—3-

2>/2

故答案为:

3

（3）当BF=|时,AG=AE.理由如下:

由⑵知,当点F与C重合（即BF=2）时,

AG=—<1，

3

•••点F应在BC的延长线上（即BF>2）,

如图所示，设力F交CD于点M,

若使AG=AE=1,

则有.Z1=Z2,

♦:AB"CD,

:.zl=z.4,

又vz2=z3,

・•・z3=z4,

・•・DM=MG,

在RtLADM中，4M2-DM2=/ID2,

即(DM+l)2一DM2=22,

3

二DM=-,

2

31

­.CM=CD-DM=2--=-，

22

VAB11CD,

・•・△ABF-△MCF,

BF_AB

*'TF~'MC'

BF2

即月=丁,

2

BF=-,

3

o

.•.当BF时，AG=AE.

故答案为：BF=1.

11.我们知道，平行四边形的对边平行且相等.利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系

提供帮助.

(1)重温定理，识别图形

如图①，我们在探究三角形中位线DE和第三边BC的关系时，所作的辅助线为“延长DE到点F,使EF=

DE,连接CF“，此时DE与DF在同一直线上且DE=：DF,又可证图中的四边形为平行四边形,

可得BC与DF的关系是,于是推导出了“DE〃BC,DE=|BC”.

(2)寻找图形，完成证明

如图②，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，△BEH是等腰直角三角形，ZEBH=90°,连接CF、

CH.求证CF=V2BE.

(3)构造图形，解决问题

如图③，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，ZABC-ZAEF=120°,连接BE、CF.直接自由CF与

BE的数量关系.

【答案】(l)DBCF；BC〃DF,BC=DF

(2)解：在正方形ABCD和等腰直角三角形BEH中,

ZABC=ZEBH=90°,BA=BC,BE=BH.

AZABE=ZCBH.

AAABE^ACBH.

AAE=CH,ZAEB=ZCHB.

在正方形AEFG中，AE=EF,ZAEF=90°.

:.EF=CH.

在等腰直角三角形BEH中，NBEH=NBHE=45。.

AZAEB+ZFEH=360o-ZBEH-ZAEF=225°.

AZCHB+ZFEH=225°.

VZBHE=45°,

AZCHE+ZFEH=225°-45°=180°.

・・・EF〃CH.

・♦・四边形EHCF是平行四边形.

，CF=EH.

・.・EH=>JBE2+BH2=y/BE2+BE2=V2BE,

ACF=V2BE.

(3)解:CF=V3BE.

作等腰△BEH,使BH=BE,ZEBH=120°,连接CH.

在菱形ABCD和等腰三角形BEH中,

VZABC=ZEBH=120°,

.•・NABE=NCBH.

VBA=BC,BE=BH,

AAABE^ACBH.

.♦.AE=CH,ZAEB=ZCHB.

在菱形AEFG中，・・・AE=EF,

，EF=CH.

VZBEH=(180°-ZEBH)：2=30°,ZAEF=120°,

JZAEB+ZFEH=360°-ZBEH-ZAEF=210°.

.\ZCHB+ZFEH=210°.

VZBHE=(180°-ZEBH)：2=30°,

AZCHE+ZFEB=210°-30°=180°.

:.EF〃CH.

・・・四边形EHCF是平行四边形.

ACF=EH.

在^BEH中，EH=BEtan60°=V3BE.

：,CF=V3BE.

【解析】解：(1)如图，延长DE到点F,使得EF=DE,连接CF

在^ADE和^CFE中,

AE=EC

UAED=^CEF,

DE=EF

/.△ADE^ACFE(SAS),

AZA=ZECF,AD=CF,

.♦・CF〃AB,

X*.,AD=BD,

ACF=BD,

・・・四边形BCFD是平行四边形,

，DE〃BC,DE=-BC.

2

故答案为：DBCF；BC〃DF,BC=DF；

12.已知，四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD所在平面内一动点(不与点D重合)，AB=AE,过

点B作DE的垂线交DE所在直线于F,连接CF.

提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？

(1)探究问题：

首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合(如图①)时，点F与点B也重合用等式表示线段CF与

线段DE之间的数量关系：；

(2)然后考察点E的一般位置，分两种情况：

情况1：当点E是正方形ABCD内部一点(如图②)时；

情况2：当点E是正方形ABCD外部一点(如图③)时.

在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与(1)中的结论是否相同？如果都相同，请选择一

种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；

⑶拓展问题：

连接AF,用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：.

【答案】⑴解：DE=V2CF

(2)解：在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与(1)中结论相同；理由如下：

情况1：V四边形ABCD是正方形，

,CD=CB=AD=AB=AE,ZBCD=ZDAB=NABC=90°,

过点C作CGLCF,交DF于G,如图②所示:

困6

贝|JNBCD=NGCF=9O。，

.\ZDCG=ZBCF,

设BC交DF于P,

VBF1DE,

AZBFD=ZBCD=90°,

VZDPC=ZFPB,

・・・NCDP=NFBP,

在^CDG和ACBF中，

Z.DCG=LBCF

{CD=CB,

(CDG=^CBF

.,.△CDG^ACBF(ASA),

/.DG=FB,CG=CF,

•••△GCF是等腰直角三角形，

：.FG=y[2CF,

连接BE,

设NCDG=a,则NCBF=a,ZADE=90°-a,

VAD=AE,

，ZDEA=ZADE=90°-a,

・・・ZDAE=180°-2(90°-a)=2a,

・・・ZEAB=90°-2a,

VAB=AE,

AZBEA=ZABE=1(1800-ZEAB)=1(180°-90°+2a)=45°4-a,

AZCBE=90°-(45°+a)=45°-a,

ZFBE=ZCBE+ZCBF=45°-a+a=45°,

VBF±DE,

•••△BEF是等腰直角三角形，

JEF二BF,

:.EF=DG,

:.EF+EG=DG+EG,即DE=FG,

ADE=V2CF；

情况2：过点C作CGLCF交DF延长线于G,连接BE,设CD交BF于P,如图③所示:

图③

VZGCF=ZBCD=90°,

AZDCG=ZBCF,

■:ZFPD=ZBPC,

・・・NFDP=NPBC,

在^CDG和^CBF中,

乙DCG=CBCF

{CD=CB，

^LCDG=Z.CBF

：.ACDG^ACBF(ASA),

・・・DG=FB,CG=CF,

•••△GCF是等腰直角三角形,

AFG=V2CF,

设NCDG=a,则NCBF=a,

同理可知：ZDEA=ZADE=90°-a,ZDAE=2a,

，ZEAB=90°+2a,

VAB=AE,

・•・ZBEA=ZABE=45°-a,

.\ZFEB=ZDEA-ZAEB=90o-a-(45o-a)=45°,

VBF1DE,

•♦.△BEF是等腰直角三角形，

・・・EF=BF,

AEF=DG,

ADE=FG,

・・・DE=V2CF；

⑶AF+CF=V2DF或|AF-CF|=6DF

【解析】解：(1)：四边形ABCD是正方形，

；.CD=CB,ZBCD=90°,

...△BCD是等腰直角三角形，

ADB=V2CB,

当点E、F与点B重合时，则DE=V2CF,

故答案为：DE=V2CF；

(3)①当F在BC的右侧时，作HD_LDF交FA延长线于H,如图④所示: