湖南省郴州市2024年中考数学模试卷含解析

湖南省郴州市2024年中考数学模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.如图，AB/7CD,点E在CA的延长线上.若NBAE=40。，则NACD的大小为（）

A.150°B.140°D.120°

2.如图，把一块含有45。角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果Nl=20。，那么N2的度数是（）

C.20D.15°

3.如图，在矩形ABCD中，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是AP和RP的中点，当点P在BC上从点B

向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（）

A.线段EF的长逐渐增长B.线段EF的长逐渐减小

C.线段EF的长始终不变D.线段EF的长与点P的位置有关

4.如图，平面直角坐标中，点A（l,2）,将AO绕点A逆时针旋转90。，点O的对应点B恰好落在双曲线y=_（x>0）

u

上，则k的值为（）

A.2C.4D.6

5.如图，AB是0。的直径，弦CD_LAB,/CDB=30，CD=2日则阴影部分的面积为（

A.In

6-有15位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前8位同学进入决赛.某同学知道自己的分数后，要判

断自己能否进入决赛，他只需知道这15位同学的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

7.股市有风险，投资需谨慎.截至今年五月底，我国股市开户总数约95000000,正向1亿挺进，95000000用科学计

数法表示为（）

A.9.5xl06B.9.5xl07C.9.5xl08D.9.5xl09

8.据统计,2015年广州地铁日均客运量均为6590000人次，将6590000用科学记数法表示为（）

A.6.59xlO4B.659xlO4C.65.9xlO5D.6.59xlO6

9.如图，直线AB〃CD,ZA=70°,ZC=40°,则NE等于（）

A.30°B.40°

C.60°D.70°

10.如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（-3,1）,点B的纵坐标是4,则B,C两点的坐标分别是（）

A.(-2,4),(1,3)B.(-2,4),(2,3)

C.(-3,4),(1,4)D.(-3,4),(1,3)

11.如图，Rl-AOB中，AB1OB,且AB=OB=3,设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S,则S与

t之间的函数关系的图象为下列选项中的（）

12.-3的相反数是（）

11

A.-B.3C.一一D.-3

33

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分

13.某同学对甲、乙、丙、丁四个市场二月份每天的白菜价格进行调查，计算后发现这个月四个市场的价格平均值相

2

同、方差分别为S甲2=8.5,S乙2=2.5,S内2=io.i,ST=7.4,二月份白菜价格最稳定的市场是.

14.已知线段c是线段。和力的比例中项，且。、方的长度分别为2cm和8s〃，则c的长度为cm.

15.分解因式：x2+xy=.

16.在一个暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中红球只有3个.每次将球搅拌均匀后，任意摸出

一个球记下颜色再放回暗箱.通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0・25,那么可以推算出a大约是

17.如图，四边形A4CD内接于。。，AD.5C的延长线相交于点E,AB.0C的延长线相交于点尸.若NE+NF=

80°,则N4=。.

18.如图所示，直线y=x+l（记为3与直线产机叶〃（记为切相交于点P（a,2）,则关于x的不等式x+\>mx+n的解集为

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE_LAC于点E,F是AD的中点，FG_LBC于点G,与DE交」于点

H,若FG=AF,AG平分NCAB,连接GE,GD.

求证：△ECG^AGHD；

20.（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知AARC三个顶点的坐标分别是A（2,2）,R（4,0）,C（4,-4）.请

在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△AiBiG：以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的?，

2

得到AA2B2c2,请在图中y轴右侧，画出AA2B2c2,并求出NA2c2B2的正弦值.

21.（6分）如图，对称轴为直线x=—l的抛物线丫=僦2+6*+（：但工0）与'轴相交于人、B两点，其中A点的坐标

为（-3,0）.

x=T

（1）求点B的坐标；

（2）已知a=1,C为抛物线与y轴的交点.

①若点P在抛物线上，且SWJCM^ABOC，求点P的坐标；

②设点Q是线段AC上的动点，作QD_Lx轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值.

22.（8分）计算：2'+\-|+Vl2+2COS300

23・（8分）先化简，再求值：1+口.（1・三），其中x=2cos300+Um45，

ZHJ

24,（10分）襄阳市精准扶贫工作己进入攻坚阶段.贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质

水果蓝莓，今年正式上市销售.在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天

fnx-76m（\<x<20,x为整数）

比前一天多卖出4千克.第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为八八，/°八"，敕新、且

/?p0<x<30,x为整数）

第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克.已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克，每天的利润是W

元（利润=销售收入■成本）.m=,n=；求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？在

销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？

25.（10分）（11分）阅读资料：

如图1,在平面之间坐标系xOy中，A,B两点的坐标分别为A（xi，yi）,B（xi，yi）,由勾股定理得-xip+|yi

-yil1,所以A,B两点间的距离为AB=

我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图1,在平面直角坐标系xoy中，A（x,y）为圆上任意一

点，则A到原点的距离的平方为OAgx-Op+LOp，当。O的半径为r时，。。的方程可写为：x'+y^r1.

问题拓展：如果圆心坐标为P（a,b）,半径为r,那么。P的方程可以写为.

综合应用：

如图3,0P与x轴相切于原点O,P点坐标为（0,6）,A是。P上一点，连接OA,使tanNPOA=,作PD_LOA,

垂足为D,延长PD交x轴于点B,连接AB.

①证明AB是。P的切点；

②是否存在到四点O,P,A,B距离都相等的点Q?若存在，求Q点坐标，并写出以Q为圆心，以OQ为半径的。O

的方程；若不存在，说明理由.

26.(12分)如图，在。O中，弦AB与弦CD相交于点G,OA1CD于点E,过点B的直线与CD的延长线交于点F,

AC/7BF.

(1)若NFGB=NFBG,求证：BF是。O的切线；

3

(2)若tanNF=一，CD=a,请用a表示。O的半径;

4

(3)求证：GF2-GB2=DF*GF.

27.(12分)(1)观察猜想

如图①点B、A、C在同一条直线上，DBXBC,EC_LBC且NDAE=90。，AD=AE,则BC、BD、CE之间的数量关系

为;

(2)问题解决

如图②，在RtAABC中，ZABC=90°,CB=4,AB=2,以AC为直角边向外作等腰RSDAC,连结BD,求BD的长;

(3)拓展延伸

如图③，在四边形ABCD中，ZABC=ZADC=90°,CB=4,AB=2,DC=DA,请直接写出BD的长.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、B

【解析】

试题分析：如图，延长DC到F,则

VABZ^CD,ZBAE=40°,AZECF=ZBAE=40°.

:.ZACD=1800-ZECF=140°.

故选B.

考点：1.平行线的性质；2,平角性质.

2、B

【解析】

根据题意可知Nl+N2+45°=90°,:.Z2=90°-Z1-45°=25°,

3、C

【解析】

试题分析：连接AR,根据勾股定理得出AR切AD?+DR2的长不变，根据三角形的中位线定理得出EF=；AR,即

可得出线段EF的长始终不变，

故选C.

BPC

考点：1、矩形性质，2、勾股定理，3、三角形的中位线

4、B

【解析】

作AC_Ly轴于C,AOx轴，5O_Lj，轴，它们相交于O,有A点坐标得到AC=LOC=1,由于AO绕点A逆时针旋转

90。，点O的对应3点，所以相当是把A40C绕点A逆时针旋转90。得到AAR九根据旋转的性质得AO=AC=L

BD=OC=1,原式可得到〃点坐标为（2,1）,然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算M的值.

【详解】

作轴于C,AO_Lx轴，轴，它们相交于O,如图，丁A点坐标为（1,1）,AAC=1,OC=1,

*：AO绕点A逆时针旋转90。,点O的对应3点，即把△AOC绕点A逆时针旋转90。得到△ABDf：.AD=AC=\fBD=OC=lf

・・・3点坐标为（2,1）,.\Jl=2xl=2.

故选B.

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数产_«为常数，"0）的图象是双曲线，图象上的点（x,y）

W

的横纵坐标的积是定值A,即盯=A.也考查了坐标与图形变化■旋转.

5、D

【解析】

分析：连接则根据垂径定理可得出CE=DE,继而将阴影部分的面积转化为扇形030的面积，代入扇形的面积

公式求解即可.

详解：连接

VCD14B,

：.CE=DE=-CD=y/3,（垂径定理），

2

故S.OCE=S.ODE，

即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，

又丁NCO8=30。,

:./COB=60（圆周角定理）,

：.0C=2,

故S扇形0BD=60KX*=2n

3603

即阴影部分的面积为用.

故选D.

A

点睛：考查圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键.

6、B

【解析】

由中位数的概念，即最中间一个或两个数据的平均数；可知15人成绩的

中位数是第8名的成绩.根据题意可得：参赛选手要想知道自己是否能进入前8

名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可.

【详解】

解：由于15个人中，第8名的成绩是中位数，故小方同学知道了自己的

分数后，想知道自己能否进入决赛，还需知道这十五位同学的分数的中位数.

故选B.

【点睛】

此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义.反

映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统

计量进行合理的选择和恰当的运用.

7、B

【解析】

试题分析：15000000=1.5x2.故选B.

考点：科学记数法一表示较大的数

8、D

【解析】

科学记数法就是将一个数字表示成(axlO的n次第的形式)，其中l<|a|<10,n表示整数.n为整数位数减1,即从左

边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次第.

【详解】

解：6590000=6.59x1.

故选：D.

【点睛】

本题考查学生对科学记数法的掌握，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法.

9、A

【解析】

VAB/7CD,ZA=70°,

AZ1=ZA=7O°,

VZ1=ZC+ZE,ZC=40°,

AZE=Z1-ZC=70°-40°=30°.

故选A.

10、A

【解析】

作于。，作AEJLx轴于E,作于尸，由AAS证明AAOEg/kOCD,得出AE=O&,OE=CDt由点

A的坐标是(-3,1),得出OE=3,AE=lf：.OD=ltCD=3,得出C(L3),同理：A得出AE=5尸=1,

OE-BF=3-1=2,得出8(・2,4)即可.

【详解】

解：如图所示：作CO_Lx轴于O,作AE_Lx轴于E,作B以LAE于凡则NAEO=NO&C=N〃E4=90。，

；・NOAE+NAOE=90。.

V四边形OABC是正方形，・・・O4=CO=R4,NAOC=90。，,NAOE+NCOD=9。。，；・ZOAE=ZCOD.在AAOE和^OCD

NAEO=NODC

中，Y<NOAE=NCOD,：.AAOE^AOCD(AAS),：.AE=ODtOE=CD.

OA=CO

・

••点A的坐标是(・3,1),：.OE=3fAE=1,；・OD=1,CD=3,：.C(1,3).

同理：AAOE^^BAFf：.AE=BF=lfOE-BF=3-1=2,：,B(-2,4).

故选A.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是

解决问题的关键.

11>D

【解析】

RSAOB中，AB1OB,且AB=OB=3,所以很容易求得NAOB=NA=45。；再由平行线的性质得出NOCD=NA,即

ZAOD=ZOCD=45°,进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解

析式来选择图象.

【详解】

解：YRtAAOB中，AB±OB,且AB=OB=3,

AZAOB=ZA=45O,

VCD±OB,

ACD/7AB,

AZOCD=ZA,

AZAOD=ZOCD=45°,

/.OD=CD=t,

ASOCD="xODxCD=-12(0<t<3),&PS=-t2(0<t<3).

A222

故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0,3],开口向上的二次函数图象；

故选D.

【点睛】

本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出

S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象.

12、B

【解析】

根据相反数的定义与方法解答.

【详解】

解：一3的相反数为一(-3)=3.

故选：B.

【点睛】

本题考查相反数的定义与求法，熟练掌握方法是关键.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、乙.

【解析】

据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据

偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，即可得出答案.

【详解】

解：TS甲2=8.5,S乙2=2.5,S丙2=i0.i,s丁2=7.4,

乙2Vs丁2Vs甲2vs/,

・••二月份白菜价格最稳定的市场是乙；

故答案为：乙.

【点睛】

本题考查方差的意义.解题关键是掌握方差的意义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数

据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数

越小，即波动越小，数据越稳定.

14、1

【解析】

根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段长度不能为负.

【详解】

根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积.

所以C2=2X8,

解得c=±l(线段是正数，负值舍去)，

故答案为L

【点睛】

此题考查了比例线段.理解比例中项的概念，这里注意线段长度不能是负数.

15、x(x+y).

【解析】

将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完

全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式.

【详解】

直接提取公因式x即可：x2+xy=x(x+y).

16、12

【解析】

在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数

除以总数等于频率，求解即可.

【详解】

:摸到红球的频率稳定在0.25,

3

:.-=0.25

a

解得：a=12

故答案为：12

【点睛】

此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率.

17、50

【解析】

试题分析：连结EF,如图，根据圆内接四边形的性质得NA+NBCD=180。，根据对顶角相等得NBCD=NECF,则

ZA+ZECF=180°,根据三角形内角和定理得NECF+N1+N2=18O。，所以N1+N2=NA,再利用三角形内角和定理得

到NA+NAEB+N1+N2+NAFD=18O。，则NA+80<>+NA=180。，然后解方程即可.

试题解析：连结EF,如图，

V四边形ABCD内接于。O,

AZA+ZBCD=180°,

MZBCD=ZECF,

AZA+ZECF=180°,

VZECF+Z1+Z2=18O°,

/.Z1+Z2=ZA,

VZA+ZAEF+ZAFE=180°,

BPZA+ZAEB+Z1+Z2+ZAFD=18O°,

.•.ZA+8（）°+ZA=180°,

AZA=50°.

考点：圆内接四边形的性质.

18、x>l

【解析】

把y=2代入y=x+L得x=L

，点P的坐标为（1,2）,

根据图象可以知道当x>l时，y=x+l的函数值不小于y=mx+n相应的函数值，

因而不等式x+1之mx+n的解集是：x>1,

故答案为x>l.

【点睛】

本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用.解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关

键点（交点、原点等），做到数形结合.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、见解析

【解析】

依据条件得出NC=NDHG=90。，ZCGE=ZGED,依据F是AD的中点，FG/7AE,即可得到FG是线段ED的垂直

平分线，进而得到GE=GD,ZCGE=ZGDE,利用AAS即可判定4ECG^AGHD.

【详解】

证明：VAF=FG,

AZFAG=ZFGA,

VAG平分NCAB,

AZCAG=ZFAG,

AZCAG=ZFGA,

，AC〃FG.

VDE±AC,

AFG±DE,

VFG±BC,

.•.DE/7BC,

/.AC±BC,

VF是AD的中点，FG〃AE,

AH是ED的中点

AFG是线段ED的垂直平分线，

AGE=GD,ZGDE=ZGED,

，NCGE=/GDE,

AAECG^AGHD.(AAS).

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键.

20、(1)见解析(2)

lo-

【解析】

试题分析：(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

(2)利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案.

试题解析：(1)如图所示：AAiBiG,即为所求；

(2)如图所示：△A2B2C2,即为所求，由图形可知，NA2CZB2=NACB,过点A作AD_LBC交BC的延长线于点D,

由A(2,2),C(4,-4),B(4,0),易得D(4,2),故AD=2,CD=6,AC=g：+6；=＞而，

/.sinNACB==—,即sinNA2c2B2=2^2.

AC2V101010

考点：作图-位似变换；作图-平移变换；解直角三角形.

21、（1）点B的坐标为（1,0）.

（2）①点P的坐标为（4,21）或（-4,5）.

9

②线段QD长度的最大值为;.

4

【解析】

（1）由抛物线的对称性直接得点B的坐标.

（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C的坐标，得到SAB℃，设出点P的坐标，根据SAPOC=4SA80c

列式求解即可求得点P的坐标.

②用待定系数法求出直线AC的解析式，由点Q在线段AC上，可设点Q的坐标为（q,・q・3）,从而由QD_Lx轴交抛物

线于点D,得点D的坐标为（q,q2+2q-3）,从而线段QD等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理

求解.

【详解】

解：（1）,:A、B两点关于对称轴x=-l对称，且A点的坐标为（-3,0）,

，点B的坐标为（1,0）.

（2）①;抛物线a=1,对称轴为x=—l,经过点A（-3,0）,

a=1

a=1

b=2.

c=-3

9a2-3b+c=0

・•・抛物线的解析式为y=xi2+32x-3.

13

点的坐标为（0,-3）.AOB=1,OC=3.ASABOC=-xlx3=-.

i3

设点P的坐标为（p,p2+2p・3）,则SAP0c=-x3x|p|=-|p|.

/J

3

=

•:S&p0c=4sAe0c，：，~|p|6,解得p=±4.

当p=4时p2+2p—3=21；当p=-4时，p2+2p-3=5,

，点P的坐标为（4,21）或（-4,5）.

②设直线AC的解析式为y=kx+b,将点A,C的坐标代入，得:

-3k+b=0

解得:

b=-3

:.直线AC的解析式为y=-X-3.

V点Q在线段AC上，・•・设点Q的坐标为（q,・q・3）・

又・・・QD_Lx轴交抛物线于点D,・••点D的坐标为(q,q2+2q・3).

Va=-l＜0,-3＜一一＜0

2

9

，线段QD长度的最大值为二.

4

1L

22、—+473.

【解析】

原式利用负整数指数幕法则，二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值.

【详解】

原式=—+\/3+2-\/3+2*=—+4\/3・

【点睛】

本题考查了实数的运算，涉及了负整数指数第、特殊角的三角函数值、二次根式的化简等，熟练掌握各运算的运算法

则是解本题的关键.

23、妇

【解析】

先化简分式，再计算x的值，最后把X的值代入化简后的分式,计算出结果.

【详解】

原式Z二

=1+

—=—3

二.—)二

=1+J_

3-1

当x=2cos30°+tan45

=2x_+1

=vfJ+l时.

5ZJ-=/+7

【点睛】

本题主要考查了分式的加减及锐角三角函数值.解决本题的关键是掌握分式的运算法则和运算顺序.

24、(1)m=-n=25；(2)18,W最大=968；(3)12天.

2

【解析】

【分析】(D根据题意将第12天的售价、第26天的售价代入即可得；

(2)在(1)的基础上分段表示利润，讨论最值；

(3)分别在(2)中的两个函数取值范围内讨论利润不低于870的天数，注意天数为正整数.

【详解】(1)当第12天的售价为32元/件，代入y=mx-76m得

32=12m-76m,

解得,

2

当第26天的售价为25元/千克时，代入y=n,

则n=25,

故答案为m=-!，n=25；

2

(2)由(1)第x天的销售量为20+4(x-1)=4x+16,

当1金〈20时，

VV=(4x+16)(--x+38-18)=-2x2+72x+320=-2(x-18)2+968,

2

••・当x=18时,W量大=968,

当200x530时，W=(4x+16)(25-18)=28x+112,

V28>0,

；・W随x的增大而增大，

,当x=30时,W最大=952,

V968>952,

，当x=18时，W.大=968；

(3)当lqV20时，4--2X2+72X+320=870,

解得xi=25,X2=ll,

:抛物线W=-2X2+72X+320的开口向下，

，11金£25时，W>870,

/.ll<x<20,

•・"为正整数，

，有9天利润不低于870元，

当200x330时，令28x+l12>870,

解得x>27—,

14

.*.27—<x<30

14

・・・x为正整数，

・♦•有3天利润不低于870元，

，综上所述，当天利润不低于870元的天数共有12天.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准题中的数量关系，运用分类讨论思想是解题

的关键.

25、问题拓展：(x・a)'+(y-b)Jr】综合应用：①见解析②点Q的坐标为(4,3),方程为(x-4)'+(y-3)展15.

【解析】

试题分析：问题拓展：设A(x,y)为。P上任意一点，则有AP=r,根据阅读材料中的两点之间距离公式即可求出。P

的方程；

综合应用：①由PO=PA,PD_LOA可得NOPD=NAPD,从而可证到△POBg2\PAB,则有NPOB=NPAB.由。P

与x轴相切于原点O可得NPOB=90。，即可得到NPAB=90。，由此可得AB是OP的切线；

②当点Q在线段BP中点时，根据直角二角形斜边上的中线等于斜边的一半可得QO=QP=BQ=AQ.易证

NOBP=NPOA,则有tanZOBP==.由P点坐标可求出OP、OB.过点Q作QH±OB于H,易证△BHQ^ABOP,

根据相似三角形的性质可求出QH、BH,进而求出OH,就可得到点Q的坐标，然后运用问题拓展中的结论就可解决

问题.

试题解析：解：问题拓展：设A(x,y)为。P上任意一点，

VP(a,b),半径为r,

/.AP1=(x-a),+(y-b)i=rL

故答案为(x-a)l+(y-b)

综合应用：

@VFO=EA,ED±OA,

.*.ZOPD=ZAPD.

在APOB和APAB中,

/.△POB^APAB,

AZPOB=ZPAB.

TOP与x轴相切于原点O,

AZPOB=90°,

，NPAB=90。，

・・・AB是。P的切线；

②存在到四点O,P,A,B距离都相等的点Q.

当点Q在线段RP中点时，

VZPOB=ZPAB=90°,

AQO=QP=BQ=AQ.

此时点Q到四点O,P,A,B距离都相等.

VZPOB=90°,OA±PB,

/.ZOBP=90°-ZDOB=ZPOA,

Z.tanZOBP==tanZPOA=4

•・・P点坐标为（0,6）,

AOP=6,OB=OP=3.

过点Q作QH_LOB于H,如图3,

则有NQHB=NPOB=9。。，

・・・QH〃PO,

AABHQ^ABOP,

■•■——————,

AQH=OP=3,BH=OB=4,

AOH=3-4=4,

・••点Q的坐标为（%3）,

AOQ==5,

:.以Q为圆心，以OQ为半径的。O的方程为(x-4)4(y-3)»=15.

考点：圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；切线的判

定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义.

25

26、(1)证明见解析；(2)r=—a；(3)证明见解析.

48

【解析】

(1)根据等边对等角可得NOAB=NOBA,然后根据OA_LCD得到NOAB+NAGC=90。，从而推出

ZFBG+ZOBA=90°,从而得到OB_LFB,再根据切线的定义证明即可.

(2)根据两直线平行，内错角相等可得NACF=NF,根据垂径定理可得CE=[cD=1a,连接03设圆的半径为r,

表示出OE,然后利用勾股定理列式计算即可求出r.

(3)连接BD