2024-2025学年四川省金堂县金龙中学八上数学网络提高班课后习题训练【含答案】

2024-2025学年四川省金堂县金龙中学八上数学网络提高班课后习题训练一．选择题（共14小题）1．若，则的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±12．如图，圆柱的底面半径为，高BC＝10cm，点P是BC上一点，且PC＝4BP，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）A．13cm B．15cm C．17cm D．20cm3．如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，图中的字母是它们的面积其中S2＝6π，S3＝10π，则S1为（）A．8π B．4π C．16π D．44．如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC的高是（）A． B． C． D．5．已知实数a满足|2022﹣a|+＝a，则a﹣20222的值为（）A．2022 B．2023 C．20222 D．202326．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F．AC＝17，AD＝15，BC＝28，则AE的长等于（）A．5 B．20 C． D．7．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）A．12cm≤h≤19cm B．12cm≤h≤13cm C．11cm≤h≤12cm D．5cm≤h≤12cm8．当时，多项式4x3﹣2025x﹣2022的值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DE的长为（）A．3 B．5 C．3或6 D．2或510．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，则符合条件的正整数a有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．如图，已知圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为3cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）cm．A．3 B．6 C． D．612．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A．4 B．5 C．6 D．713．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）A． B． C． D．14．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为G，连接DG，则图中阴影部分面积是（）A．5 B．3 C． D．二．填空题（共12小题）15．如图．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AC，BC，AB为直角边作等腰直角三角形，若图中S1＝16，S2＝10，S3＝15，则S4＝．16．如图，将长方形纸片沿着CE所在直线对折，B点落在点B′处，CD与EB′交于点F，如果AB＝8cm，AD＝4cm，AE＝2cm，则EF的长为．17．如图，等边△ABC，边长是8．点M、N分别是边AB、BC上的动点，且BM＝BN，点P是边AC上的动点，连接PM、PN．若PM+PN＝4，则线段PC的长为．18．如图，P是长方形ABCD内一点，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，那么PD＝．19．如图，正方形MNKT由8个全等的直角三角形和正方形EFGH拼接而成，记图中正方形MNKT，正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2，S3，若S1﹣S2+S3＝10，则边AB的长度为．20．如图，等边△ABC中，BC＝4，D为BC上一点，且DC＝1，E为AC上一动点，则DE+BE的最小值为．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形沿直线EF折叠，使得点A恰好落在BC边上的点G处，且点E、F分别在边AB、AD上（含端点），连接CF，当AF取得最小值时，折痕EF的长为．22．如图，∠AOB＝30°，点C、D均在射线OA上，且OC＝6，OD＝2，点E为射线OB上一动点，则CE+DE的最小值为．23．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，则BD的长为．24．如图．在Rt△ABC中，AC＝3，∠ABC＝90°，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥BD交BC边于点E．若AD＝1，则图中阴影部分的面积为25．已知x，y均为实数，且满足＝（y﹣1），那么x2013﹣y2013＝．26．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，则△ABD的面积是．三．解答题（共17小题）27．（1）的最小值为．（2）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合将军饮马和勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下：①如图，作一条长为16的线段CD；②过C在线段CD上方作线段CD的垂线AC，使AC＝3；过D在线段CD下方作线段CD的垂线BD，使BD＝9；③在线段CD上任取一点O，设CO＝x；④根据勾股定理计算可得，AO＝BO＝（请用含x的代数式表示，不需要化简）；⑤则AO+BO的最小值即为所求代数式的最小值，最小值为．（3）请结合第（2）问，直接写出的最小值．28．【问题提出】（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠CAB交BC边于点D，点E为AC边上的一个动点，连接DE，则线段DE长的最小值为．【问题探究】（2）如图2，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝10，点D为BC边的中点，且∠EDF＝90°，∠EDF的两边分别交AB、AO于点E、F，求四边形DEAF的面积．【问题解决】（3）为实现全民健身的需要，某房地产商在进行居民小区设计时考虑在小区内修建一片室内健身休闲区．如图3，△ABC为小区的大致示意图，设计师将小区分成△BED、△DFC、△AEF和△DEF四部分，其中在△BED、△DFC和△DEF三区建造三栋居民楼，在△AEF区域修建室内健身休闲区．根据设计要求：∠BAC＝90°，AB＝AC＝200m，点D、点E、点F分别在边BC、边AB和边AC上，且点D为边BC的中点，∠EDF＝90°，为了尽可能给居民更加宽阔的健身空间，全民健身区△AEF的面积是否存在最大值？若存在，请求出△AEF面积的最大值；若不存在，请说明理由，29．实数与数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来，（1）如图1，点A表示的数是；（2）如图2，直线l垂直数轴于原点在数轴上，请用尺规作出表示1﹣的点（不写作法，保留作图痕迹）．30．求下列各式中x的值：（1）25x2﹣64＝0；（2）343（x+3）3+27＝0．31．如图，长方形纸片ABCD，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是边AB、BC上的点，将△BEF沿着EF翻折得到△B′EF．（1）如图1，点B'落在边AD上，若AE＝2，则AB'＝，FB'＝；（2）如图2，若BE＝2，点F是BC边中点，连接B'D、FD，求△B'DF的面积；（3）如图3，点F是边BC上一动点，过点F作EF⊥DF交AB于点E，将△BEF沿着EF翻折得到△B'EF，连接DB'，当△DB'F是以DF为腰的等腰三角形时，请直接写出CF的长．32．在进行二次根式化简时，我们有时会遇到形如，，这样的式子可以用如下的方法将其进一步化简：＝；＝；以上这种化简的方法叫做分母有理化．（1）化简：①＝，②＝；（2）联系与拓广：++…+＝13，请求出n的值．33．如图1，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E为CD边上一动点，将△ADE沿着直线AE翻折后得到△AFE，请解决下列问题．（1）当点E为CD边的中点时，AE＝；（2）连接BF、CF，当△BCF为等腰三角形时，请在图2中画出对应的图形，并求出此时△BCF的面积；（3）连接CF，当△CEF为直角三角形时，求出此时CE＝．34．如图，一个底面为正方形的无盖长方体形盒子的长、宽、高分别为20cm，20cm，30cm，即EF＝FG＝20cm，CG＝30cm，现在顶点C处有一滴蜜糖，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从顶点E爬到C处去吃蜜糖，求需要爬行的最短距离．（注：底面可以爬行）35．如图，一条河流的BD段长为12km，在B点的正北方4km处有一村庄A，在D点的正南方2km处有一村庄E，计划在BD上建一座桥C，使得桥C到A村和E村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：（1）将桥C建在何处时，可以使得桥C到A村和E村的距离和最小？请在图中画出此时C点的位置；（2）小明发现：设BC＝x，则CD＝12﹣x，则，根据（1）中的结论可以求出当x＝时，的值最小，且最小值为；（3）结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值；①的最小值为；②的最小值为．36．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点D为BC边上一动点，将△ACD沿直线AD折叠，得到△AFD，请解决下列问题．（1）AB＝；当点F恰好落在斜边AB上时，CD＝；（2）连接CF，当△CBF是以CF为底边的等腰三角形时，请在图2中画出相应的图形，并求出此时点F到直线AC的距离；（3）如图3，E为边BC上一点，且CE＝4，连接EF，当△DEF为直角三角形时，CD＝．（请写出所有满足条件的CD长）37．已知正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，连接AE，DF．（1）若E为CD的中点，AE⊥DF于点O．①如图1，求证：BF＝CF；②如图2，连接OC，求的值；（2）如图3，若AB＝，DE＝BF，则AE+DF的最小值为（直接写出结果）．38．阅读理解：亲爱的同学们，在以后的学习中我们会学习一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．即：如图1：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D是斜边AB的中点，则CD＝AB．牛刀小试：（1）在图1中，若AC＝6，BC＝8，其他条件不变，则CD＝；活学活用：（2）如图2，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F分别为AC、BD的中点，AC＝26，BD＝24．求EF的长；问题解决：（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，以AB为边在AB上方作等边三角形ABD，连接CD，求CD的最大值．39．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．（1）如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D（B、C除外），连接AD，我们把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形ADCE（选择是或不是）等补四边形．（2）如图2，等补四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，若S四边形ABCD＝8，求BD的长．（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD＝5，求四边形ABCD面积的最大值．40．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD、BE之间的数量关系是．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．（3）探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．41．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响．试问：（1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？42．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CE＝x（1）请求出AC+CE的最小值．（2）请构图求出代数式+的最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．若，则的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±1【解答】解：∵x﹣4≥0，4﹣x≥0，∴x＝4，∴y＝3，∴．故选：B．2．如图，圆柱的底面半径为，高BC＝10cm，点P是BC上一点，且PC＝4BP，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）A．13cm B．15cm C．17cm D．20cm【解答】解：把圆柱侧面展开后，连接AP，如图所示：∵圆柱的底面半径为，∴圆柱的底面周长为＝30（cm），∴AC＝15cm，∵高BC＝10cm，点P是BC上一点，且PC＝4BP，∴PC＝8cm，在Rt△ACP中，AP＝＝17cm，即从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是17cm．故选：C．3．如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，图中的字母是它们的面积其中S2＝6π，S3＝10π，则S1为（）A．8π B．4π C．16π D．4【解答】解：∵S1＝AC2，S2＝BC2，S3＝AB2，又BC2+AC2＝AB2，∴S1＝S2﹣S3＝10π﹣6π＝4π．故选：B．4．如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC的高是（）A． B． C． D．【解答】解：根据图形可得：AB＝AC＝＝，BC＝＝，∠BAC＝90°，设△ABC中BC的高是x，则AC•AB＝BC•x，×＝•x，x＝．故选：A．5．已知实数a满足|2022﹣a|+＝a，则a﹣20222的值为（）A．2022 B．2023 C．20222 D．20232【解答】解：由题意得：a﹣2023≥0，解得：a≥2023，则a﹣2022+＝a，∴＝2022，∴a﹣2023＝20222，∴a﹣20222＝2023，故选：B．6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F．AC＝17，AD＝15，BC＝28，则AE的长等于（）A．5 B．20 C． D．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵AD＝15，AC＝17，∴DC＝＝＝8，∵BC＝28，∴BD＝28﹣8＝20，由勾股定理得：AB＝＝25，过点E作EG⊥AB于G，∵BF平分∠ABC，AD⊥BC，∴EG＝ED，在Rt△BDE和Rt△BGE中，∵，∴Rt△BDE≌Rt△BGE（HL），∴BG＝BD＝20，∴AG＝25﹣20＝5，设AE＝x，则ED＝15﹣x，∴EG＝15﹣x，Rt△AGE中，x2＝52+（15﹣x）2，x＝，∴AE＝．故选：D．7．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）A．12cm≤h≤19cm B．12cm≤h≤13cm C．11cm≤h≤12cm D．5cm≤h≤12cm【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB＝＝＝13cm，故h＝24﹣13＝11cm．故h的取值范围是11cm≤h≤12cm．故选：C．8．当时，多项式4x3﹣2025x﹣2022的值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【解答】解：∵，∴2x＝1+，∴4x3﹣2025x﹣2022＝（4x2﹣2025）x﹣2022＝[（1+）2﹣2025]x﹣2022＝（1+2022+2﹣2025）x﹣2022＝（﹣2+2）x﹣2022＝2（﹣1+）×﹣2022＝（﹣1+）×（1+）﹣2022＝2022﹣1﹣2022＝﹣1，故选：D．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DE的长为（）A．3 B．5 C．3或6 D．2或5【解答】解：如图1所示；点E与点F重合时．在Rt△ABC中，BC＝＝8，由翻折的性质可知；AE＝AC＝6，DC＝DE，则EB＝4，设DC＝ED＝x，则BD＝8﹣x．在Rt△DBE中，DE2+BE2＝DB2，即x2+42＝（8﹣x）2．解得：x＝3．∴DE＝3．如图2所示：∠EDB＝90°时．由翻折的性质可知：AC＝AE，∠C＝∠AED＝90°．∵∠C＝∠AED＝∠CDE＝90°，∴四边形ACDE为矩形，又∵AC＝AE，∴四边形ACDE为正方形，∴DE＝6，点D在CB上运动，∠DBE＜90°，（假设∠DBE≥90°，则AE≥BD，这个显然不可能，故∠DBE＜90°），故∠DBE不可能为直角．故选：C．10．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，则符合条件的正整数a有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：＝2，当a＝5时，＝＝3；a＝15时，＝＝2；当a＝21时，＝，则符合条件的正整数a有3个．故选：C．11．如图，已知圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为3cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）cm．A．3 B．6 C． D．6【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为3cm，∴AB＝3cm，BC＝BC′＝3cm，∴AC2＝32+32＝18，∴AC＝3cm，∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝6cm．故选：B．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：如图：故选：D．13．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）A． B． C． D．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝＝5，∴BC边上的高＝3×4÷5＝，∵AD平分∠BAC，∴点D到AB、AC上的距离相等，设为h，则S△ABC＝×3h+×4h＝×5×，解得h＝，S△ABD＝×3×＝BD•，解得BD＝．故选：A．14．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为G，连接DG，则图中阴影部分面积是（）A．5 B．3 C． D．【解答】解：由题意知，AF＝FC，AB＝CD＝AG＝4，BC＝AD＝8在Rt△ABF中，由勾股定理知AB2+BF2＝AF2，即42+（8﹣AF）2＝AF2，解得AF＝5∵∠BAF+∠FAE＝∠FAE+∠EAG＝90°∴∠BAF＝∠EAG∵∠B＝∠AGE＝90°，AB＝AG∴△BAF≌△GAE，∴AE＝AF＝5，ED＝GE＝3∵S△GAE＝AG•GE＝AE•AE边上的高∴AE边上的高＝∴S△GED＝ED•AE边上的高＝×3×＝．故选：D．二．填空题（共12小题）15．如图．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AC，BC，AB为直角边作等腰直角三角形，若图中S1＝16，S2＝10，S3＝15，则S4＝9．【解答】解：如图，DE分别交BF、CF于点G、点H，∵△ABD，△ACE，△BCF均是等腰直角三角形，∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG＝m，S△ACH＝n，∵，，，又∵a2+b2＝c2，∴S△ABD+S△ACE＝S△BCF，∵S△ABD＝S1+m，S△ACE＝n+S4，S△BCF＝S2+S3+m+n，∴S1+m+n+S4＝S2+S3+m+n，∴S4＝S2+S3﹣S1＝10+15﹣16＝9．故答案为：9．16．如图，将长方形纸片沿着CE所在直线对折，B点落在点B′处，CD与EB′交于点F，如果AB＝8cm，AD＝4cm，AE＝2cm，则EF的长为．【解答】解：根据题意得：∠CEF＝∠CEB，∵四边形ABCD是长方形，∴AB∥CD，∴∠CEB＝∠ECD，∴∠CEF＝∠ECD，∴EF＝CF，过点E作EG⊥CD于G，∵AB＝8cm，AD＝4cm，AE＝2cm，则AD＝EG＝4cm，AE＝DG＝2cm，设EF＝CF＝xcm，则GF＝AB﹣AE﹣EF＝8﹣2﹣x＝（6﹣x）cm，在Rt△EFG中，EF2＝GF2+EG2，∴x2＝（6﹣x）2+42，∴，∴，故答案为：．17．如图，等边△ABC，边长是8．点M、N分别是边AB、BC上的动点，且BM＝BN，点P是边AC上的动点，连接PM、PN．若PM+PN＝4，则线段PC的长为4．【解答】解：如图，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，AG⊥BC于点G，连接BP，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝8，∠ABG＝60°，∴∠BAG＝30°，∴BG＝AB＝4，∴AG＝BG＝4，∴S△ABC＝BC•AG＝8×4＝16，∵S△ABC＝S△ABP+S△BCP＝AB•PD＝BC•PE，∴8（PD+PE）＝16，∴PD+PE＝4，∵PM≥PD，PN≥PE，∴PM+PN≥PD+PE＝4，∵PM+PN＝4，∴PM+PN＝4＝PD+PE，∴此时M，D重合，N、E重合，即BD＝BE，在Rt△BPD和Rt△BPE中，BP＝BP，BD＝BE，∴Rt△BPD≌Rt△BPE（HL），∴∠DBP＝∠CBP＝30°，∵AB＝BC＝AC＝8，∴PC＝BC＝4，故答案为：4．18．如图，P是长方形ABCD内一点，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，那么PD＝3．【解答】解：如图，由勾股定理得：PA2＝a2+b2，PC2＝c2+d2；PB2＝b2+c2，PD2＝a2+d2；因此：PA2+PC2＝PB2+PD2，即：32+52＝42+PD2，解得，PD2＝18，∴PD＝3，故答案为：3．19．如图，正方形MNKT由8个全等的直角三角形和正方形EFGH拼接而成，记图中正方形MNKT，正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2，S3，若S1﹣S2+S3＝10，则边AB的长度为．【解答】解：将四边形EFGH的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形MNKT，正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2，S3，若S1﹣S2+S3＝10，∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1﹣S2+S3＝8y+x﹣（4y+x）+x＝10，故x+4y＝10，所以S2＝x+4y＝10，∴AB＝．故答案为：．20．如图，等边△ABC中，BC＝4，D为BC上一点，且DC＝1，E为AC上一动点，则DE+BE的最小值为．【解答】解：过点D作D点关于AC的对称点F，连接EF、BF、CF，过F作FG⊥BC，与BC的延长线交于点G，则CD＝＝CF＝1，∠ACB＝∠ACF＝60°，DE＝EF∴∠GCF＝60°，∴CG＝CF＝，∴FG＝＝，∴BF＝，∵BE+DE＝BE+EF≥BF，当B、E、F三点依次在同一直线上时，BE+DE＝BE+EF＝BF＝的值最小，故答案为：21．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形沿直线EF折叠，使得点A恰好落在BC边上的点G处，且点E、F分别在边AB、AD上（含端点），连接CF，当AF取得最小值时，折痕EF的长为6．【解答】解：由折叠易知：AF＝FG，而当FG⊥BC时，FG的值最小，即此时AF能取得最小值，又因为当FG⊥BC时，点E与点B重合，如图1，此时四边形AEGF是正方形，∴折痕EF＝＝6．故答案为：6．22．如图，∠AOB＝30°，点C、D均在射线OA上，且OC＝6，OD＝2，点E为射线OB上一动点，则CE+DE的最小值为2．【解答】解：作C点关于OB的对称点C'，连接C'D交OB于点E，连接C'O，过C'作C'F⊥OA交F点，∴CE+DE＝DE+C'E＝C'D，此时CE+DE最小，由对称性可知OC＝OC'，∠COB＝∠BOC'，∵∠BOC＝30°，∴∠COC'＝60°，∴△COC'是等边三角形，∵OC＝6，∴C'O＝6，在Rt△C'OF中，OF＝OC'•cos60°＝3，C'F＝OC'•sin60°＝3，∵OD＝2，∴DF＝1，在Rt△DFC'中，C'D＝＝＝2，∴CE+DE的最小值为2，故答案为：2．23．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，则BD的长为．【解答】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：则∠M＝90°，∴∠DCM+∠CDM＝90°，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝25，∴AC＝5，∵AD＝5，CD＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCM＝90°，∴∠ACB＝∠CDM，∵∠ABC＝∠M＝90°，在△ABC和△CMD中∴△ABC≌△CMD，∴CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，∴BM＝BC+CM＝7，∴BD＝＝＝，故答案为：．24．如图．在Rt△ABC中，AC＝3，∠ABC＝90°，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥BD交BC边于点E．若AD＝1，则图中阴影部分的面积为1【解答】解：如图，作DH⊥BC于H，∵∠ABC＝90°，BD是△ABC的角平分线，∠DBC＝∠ABD＝45°，∵DE⊥BD，∴∠DEB＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，设DH＝BH＝EH＝a，∵DH∥AB∴△CDH∽△CAB，∴，∵AD＝1，AC＝3，∴，∴AB＝a，CE＝a，∵AB2+BC2＝AC2，∴，，∴图中阴影部分的面积＝．解法二：将△DEC绕点D顺时针旋转90°得到△DBT．∵∠DEC＝∠DBT＝135°，∠ABD＝45°，∴∠ABD+∠DBT＝180°，∴A，B，T共线，∴图中阴影部分的面积＝S△ADT＝×AD×DT＝1．故答案为：1．25．已知x，y均为实数，且满足＝（y﹣1），那么x2013﹣y2013＝﹣2．【解答】解：根据题意得+（1﹣y）＝0，∵1+x≥0且1﹣y≥0，∴1+x＝0且1﹣y＝0，解得x＝﹣1，y＝1．则原式＝（﹣1）2013﹣12013＝﹣1﹣1＝﹣2．故答案为：﹣2．26．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，则△ABD的面积是15．【解答】解：延长AD到点E，使DE＝AD＝6，连接CE，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB＝5，∠BAD＝∠E，∵AE＝2AD＝12，CE＝5，AC＝13，∴CE2+AE2＝AC2，∴∠E＝90°，∴∠BAD＝90°，即△ABD为直角三角形，∴△ABD的面积＝AD•AB＝15，故答案为：15．三．解答题（共17小题）27．（1）的最小值为9．（2）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合将军饮马和勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下：①如图，作一条长为16的线段CD；②过C在线段CD上方作线段CD的垂线AC，使AC＝3；过D在线段CD下方作线段CD的垂线BD，使BD＝9；③在线段CD上任取一点O，设CO＝x；④根据勾股定理计算可得，AO＝BO＝（请用含x的代数式表示，不需要化简）；⑤则AO+BO的最小值即为所求代数式的最小值，最小值为20．（3）请结合第（2）问，直接写出的最小值10．【解答】解：（1）∵，∴+9≥9．故答案为：9．（2）如图，过B作AC的垂线交AC的延长线于点E，∵OC2+AC2＝OA2，OD2+BD2＝OB2，OA＝，OB＝．当A，O，B三点共线时，AO+OB的最小值是线段AB的长．△ABE中，AE＝3+9＝12，BE＝16，AB2＝AE2+BE2＝144+256＝400，AB＝20．所以AO+BO的最小值是20．故答案为，，20．（3）设x﹣2＝a，＝，仿照（2）的作法，的最小值＝＝10．故答案为：10．28．【问题提出】（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠CAB交BC边于点D，点E为AC边上的一个动点，连接DE，则线段DE长的最小值为．【问题探究】（2）如图2，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝10，点D为BC边的中点，且∠EDF＝90°，∠EDF的两边分别交AB、AO于点E、F，求四边形DEAF的面积．【问题解决】（3）为实现全民健身的需要，某房地产商在进行居民小区设计时考虑在小区内修建一片室内健身休闲区．如图3，△ABC为小区的大致示意图，设计师将小区分成△BED、△DFC、△AEF和△DEF四部分，其中在△BED、△DFC和△DEF三区建造三栋居民楼，在△AEF区域修建室内健身休闲区．根据设计要求：∠BAC＝90°，AB＝AC＝200m，点D、点E、点F分别在边BC、边AB和边AC上，且点D为边BC的中点，∠EDF＝90°，为了尽可能给居民更加宽阔的健身空间，全民健身区△AEF的面积是否存在最大值？若存在，请求出△AEF面积的最大值；若不存在，请说明理由，【解答】解：（1）如图1，作DG⊥AC于点G，∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠CAB交BC边于点D，∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝3，∴∠ADC＝90°，∴AD＝＝＝4，∴×5DG＝×4×3＝S△ACD，∴DG＝，∵DE≥DG，∴DE≥，∴DE的最小值是，故答案为：．（2）如图2，连接AD，∵∠A＝90°，AC＝AB＝10，∴∠B＝∠C＝45°，∵点D为BC边的中点，∴AD＝BD＝CD＝AC，∠DAF＝∠BAD＝BAC＝45°，AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∠DAF＝∠B，∵∠EDF＝90°，∴∠ADF＝∠BDE＝90°﹣∠ADE，在△ADF和△BDE中，，∴△ADF≌△BDE（ASA），∴S△ADF＝S△BDE，∴S四边形DEAF＝S△ADF+S△ADE＝S△BDE+S△ADE＝S△ABD＝S△ABC＝××10×10＝25，∴四边形DEAF的面积是25．（3）△AEF的面积存在最大值，如图3，连接AD，作DH⊥AB于点H，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝200m，∴S△ABC＝AB•AC＝×200×200＝20000（m2），由（2）得△ADF≌△BDE，S四边形DEAF＝S△ABC∴S四边形DEAF＝×20000＝10000（m2），∵AD＝BD，∠ADB＝90°，∴DH＝AH＝BH＝AB＝100m，∵DE＝DF，∠EDF＝90°，∴S△EDF＝DE•DF＝DE2，∴DE≥DH，∴DE≥100m，∴DE的最小值为100m，∴当DE＝100m时，S△EDF最小＝×1002＝5000（m2），∵S△AEF+S△EDF＝S四边形DEAF＝10000m2，∴当S△EDF最小＝5000m2时，S△EDF最大＝5000m2，∴全民健身区△AEF的面积存在最大值，△AEF面积的最大值为5000m2．29．实数与数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来，（1）如图1，点A表示的数是；（2）如图2，直线l垂直数轴于原点在数轴上，请用尺规作出表示1﹣的点（不写作法，保留作图痕迹）．【解答】解：（1）如图：∵OA＝OB＝＝，∴点A表示的数是，故答案为：；（2）如图所示：点P即为所求．30．求下列各式中x的值：（1）25x2﹣64＝0；（2）343（x+3）3+27＝0．【解答】解：（1）∵25x2﹣64＝0∴25x2＝64∴x2＝，解得，x1＝，x2＝﹣；（2）∵343（x+3）3+27＝0∴343（x+3）3＝﹣27∴（x+3）3＝∴x+3＝﹣，解得，x＝﹣3．31．如图，长方形纸片ABCD，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是边AB、BC上的点，将△BEF沿着EF翻折得到△B′EF．（1）如图1，点B'落在边AD上，若AE＝2，则AB'＝2，FB'＝4；（2）如图2，若BE＝2，点F是BC边中点，连接B'D、FD，求△B'DF的面积；（3）如图3，点F是边BC上一动点，过点F作EF⊥DF交AB于点E，将△BEF沿着EF翻折得到△B'EF，连接DB'，当△DB'F是以DF为腰的等腰三角形时，请直接写出CF的长．【解答】解：（1）∵AE＝2，AB＝6，∴BE＝4，∵将△BEF沿着EF翻折得到△B′EF，∴BE＝B'E＝4，BF＝B'F，∴AB'＝＝＝2，如图1，过点B'作BH⊥BC于H，∴四边形ABHB'是矩形，∴BA＝B'H＝6，AB'＝BH＝2，∴HF＝BF﹣2，∵B'F2＝B'H2+HF2＝36+（B'F﹣2）2，∴B'F＝4，故答案为：2，4；（2）如图2，连接BB'，交EF于N，连接B'C，过点B'作B'M⊥于M，∵点F是BC边中点，∴BF＝CF＝4，∵将△BEF沿着EF翻折得到△B′EF，∴BF＝B'F＝BC，BN＝B'N，BB'⊥EF，∵BE＝2，BF＝4，∴EF＝＝＝2，∵S△BEF＝×BE•BF＝×EF•BN，∴2×4＝2BN，∴BN＝，∴FN＝＝，BB'＝，∴B'M＝＝，∴MF＝＝，∴△B'DF的面积＝×（+6）×（4+）﹣×4×6﹣××＝13.6；（3）若DF＝B'F时，则BF＝DF＝B'F，∵DF2＝DC2+CF2，∴（8﹣CF）2＝36+CF2，∴CF＝，若DF＝B'D时，如图3，过点D作DQ⊥B'F于Q，∴B'Q＝QF，∵EF⊥DF，∴∠EFB'+∠DFB'＝90°＝∠BFE+∠DFC，∴∠DFC＝∠DFB'，又∵∠DQF＝∠C＝90°，DF＝DF，∴△DFC≌△DFQ（AAS），∴CF＝QF＝BF，∵BC＝BF+CF，∴8＝2CF+CF，∴CF＝，综上所述：CF的长为或．32．在进行二次根式化简时，我们有时会遇到形如，，这样的式子可以用如下的方法将其进一步化简：＝；＝；以上这种化简的方法叫做分母有理化．（1）化简：①＝，②＝；（2）联系与拓广：++…+＝13，请求出n的值．【解答】解：（1）①＝；②＝＝．故答案为：，；（2）∵+++…+＝13，∴（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）＝13，∴＝27，∴n＝727．33．如图1，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E为CD边上一动点，将△ADE沿着直线AE翻折后得到△AFE，请解决下列问题．（1）当点E为CD边的中点时，AE＝；（2）连接BF、CF，当△BCF为等腰三角形时，请在图2中画出对应的图形，并求出此时△BCF的面积；（3）连接CF，当△CEF为直角三角形时，求出此时CE＝或．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，∠D＝90°，∵点E为CD边的中点，∴DE＝CD＝3，∴AE＝＝＝，故答案为：；（2）分两种情况：①如图2﹣1，当BF＝BC时，过点F作MN∥AD，交AB于点M，交CD于点N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD⊥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴FM⊥AB，∴∠BMN＝90°，∴四边形BCNM是矩形，∴∠BMN＝∠CNM＝90°，由翻折的性质得：AD＝AF，∴AD＝BC＝AF＝BF＝8，∵FM⊥AB，∴AM＝BM＝AB＝×6＝3，∴S△BCF＝BC•BM＝×8×3＝12；②如图2﹣2，当BF＝CF时，过点F作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，BC⊥AB，∴FM⊥BC，FM⊥AD，∴四边形ABNM是矩形，∴AB＝MN＝6，AM＝BN，∵BF＝CF，∴BN＝CNBC＝4，∴AM＝4，由翻折的性质得：AD＝AF＝8，在Rt△AMF中，由勾股定理得：FM＝＝＝4，∴FN＝FM﹣MN＝4﹣6，∴S△BCF＝BC•FN＝×8×（4﹣6）＝16﹣24；综上所述，当△BCF为等腰三角形时，△BCF的面积为12或16﹣24；（3）分两种情况：①如图3，当∠CFE＝90°时，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，∠D＝90°，由勾股定理得：AC＝＝＝10，由翻折的性质得：∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD＝8，DE＝EF，∵∠CFE＝90°，∴A、F、C三点共线，∴CF＝AC﹣AF＝10﹣8＝2，设CE＝x，则DE＝EF＝6﹣x，在Rt△CFE中，由勾股定理得：EF2+CF2＝CE2，即（6﹣x）2+22＝x2，解得：x＝，∴CE＝；②如图4，当∠ECF＝90时，由翻折的性质得：AF＝AD＝8，DE＝EF，在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF＝＝＝2，∴CF＝BC﹣BF＝8﹣2，设CE＝x，则DE＝EF＝6﹣x，在Rt△CFE中，由勾股定理得：EF2＝CF2+CE2，即（6﹣x）2＝（8﹣2）2+x2，解得：x＝，∴CE＝；综上所述，当△CEF为直角三角形时，CE为或，故答案为：或．34．如图，一个底面为正方形的无盖长方体形盒子的长、宽、高分别为20cm，20cm，30cm，即EF＝FG＝20cm，CG＝30cm，现在顶点C处有一滴蜜糖，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从顶点E爬到C处去吃蜜糖，求需要爬行的最短距离．（注：底面可以爬行）【解答】解：如图1，CE＝＝10（cm），如图2，CE＝＝50（cm），∵10＞50，∴需要爬行的最短距离为50cm．35．如图，一条河流的BD段长为12km，在B点的正北方4km处有一村庄A，在D点的正南方2km处有一村庄E，计划在BD上建一座桥C，使得桥C到A村和E村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：（1）将桥C建在何处时，可以使得桥C到A村和E村的距离和最小？请在图中画出此时C点的位置；（2）小明发现：设BC＝x，则CD＝12﹣x，则，根据（1）中的结论可以求出当x＝8时，的值最小，且最小值为6；（3）结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值；①的最小值为25；②的最小值为．【解答】解：（1）如图，连接AE交BD于点C′，点C′即为所求．过点A作AJ⊥ED交ED的延长线于点J，连接DC′．则四边形ABCJ是矩形，∴AB＝DJ＝4km，AJ＝BD＝12km，EJ＝DE+DJ＝6km，∴AE＝＝＝6km，∴CA+CE的最小值为6km，设C′B＝xkm，则有×6×12＝×6×（12﹣x）+×12×4，解得x＝8，∴BC′＝8km时，AC+CE的值最小，最小值为6km．（2）小明发现：设BC＝x，则CD＝12﹣x，则，根据（1）中的结论可以求出当x＝8时，的值最小，且最小值为6；故答案为：8，6；（3）①结合（1）（2）问，可知的最小值为＝25；②＝+的最小值为＝＝3．故答案为：25，3．36．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点D为BC边上一动点，将△ACD沿直线AD折叠，得到△AFD，请解决下列问题．（1）AB＝13；当点F恰好落在斜边AB上时，CD＝；（2）连接CF，当△CBF是以CF为底边的等腰三角形时，请在图2中画出相应的图形，并求出此时点F到直线AC的距离；（3）如图3，E为边BC上一点，且CE＝4，连接EF，当△DEF为直角三角形时，CD＝或或5或10．（请写出所有满足条件的CD长）【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝13，当点F落在AB上时，由折叠知，CD＝DF，∴+＝，∴5CD+13CD＝60，∴CD＝，故答案为：13，；（2）过点F作FG⊥AC，交CA的延长线于G，∵BC＝BF，AC＝AF，∴AB垂直平分CF，由等积法得CH＝，在Rt△ACH中，由勾股定理得，AH＝＝＝，∵S△ACF＝，∴FG＝＝；（3）当∠DEF＝90°时，当点D在CE上时，作FH⊥AC于H，则HF＝CE＝4，∵AF＝AC＝5，∴AH＝3，∴CH＝EF＝AC﹣AH＝2，设CD＝x，则DE＝4﹣x，在Rt△EDF中，由勾股定理得，x2＝（4﹣x）2+22，解得x＝，∴CD＝，当点D在EB上时，同理可得CH＝AC+AH＝5+3＝8，设CD＝DF＝x，则DE＝x﹣4，在Rt△EDF中，由勾股定理得，（x﹣4）2+82＝x2，解得x＝10，∴CD＝10，当∠DFE＝90°时，由勾股定理得AE＝，设CD＝DF＝x，则5x+x＝20，∴x＝，∴CD＝；当∠FDE＝90°时，则∠ADC＝∠ADF＝45°，∴CD＝AC＝5，综上：CD＝或或5，故答案为：或或5或10．37．已知正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，连接AE，DF．（1）若E为CD的中点，AE⊥DF于点O．①如图1，求证：BF＝CF；②如图2，连接OC，求的值；（2）如图3，若AB＝，DE＝BF，则AE+DF的最小值为5（直接写出结果）．【解答】（1）①解：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°，又AE⊥DF，∠DAE＝∠CDF，∴△ADE≌△DCF（ASA），∴DE＝CF，又E为CD的中点，∴DE＝CF；②证明：过点C分别作CH⊥DF于H，CG⊥AE于G，∴∠ECG＝∠FCH，∠FHC＝∠G＝90°，∵E为CD的中点，∴DE＝EC＝CF，∴△CHF≌△CGE（AAS），∴CH＝CG，∵AE⊥DF，∴∠HOC＝∠GOC＝45°，∴CH＝CG＝OH，OC＝CH，∵AE⊥DF，∴∠ADO+∠DAO＝90°，∵∠ADO+∠CDH＝90°，∴∠DAO＝∠CDH，∵∠AOD＝∠DHC＝90°，AD＝CD，∴△ADO≌△DCH（AAS），∴CH＝OD＝OH，AO＝DH＝2CH，∴；（2）解：如图，连接AF，延长DC至P，使得CD＝CP，连接AP，∵CF垂直平分AP，∴DF＝PF，∵AD＝AB，∠ADE＝∠B＝90°，BF＝DE，∴△ADE≌△ABF（SAS），∴AE＝AF，∴AE+DF＝AF+FP≥AP，∵AD＝，DP＝2，∴AP＝＝5．故答案为：5．38．阅读理解：亲爱的同学们，在以后的学习中我们会学习一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．即：如图1：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D是斜边AB的中点，则CD＝AB．牛刀小试：（1）在图1中，若AC＝6，BC＝8，其他条件不变，则CD＝5；活学活用：（2）如图2，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F分别为AC、BD的中点，AC＝26，BD＝24．求EF的长；问题解决：（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，以AB为边在AB上方作等边三角形ABD，连接CD，求CD的最大值．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵点D是斜边AB的中点，∴CD＝AB＝5．故答案为5；（2）连接BE，DE，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，∴BE＝AC，DE＝AC，∴BE＝DE，∵点F是BD的中点，BE＝DE，∴EF⊥BD，∵BE＝AC，∴BE＝13，∵点F是BD的中点，∴BF＝DF＝12，在Rt△BEF中，EF＝＝＝5．（3）取AB的中点E，连接CE，DE，∵E是AB的中点，AB＝10，∴AE＝CE＝AB＝5，∵△ABD是等边三角形，∴DE＝AE＝5，∵CD≤CE+DE，∴CD≤5+5，∴CD的最大值为5+5．39．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．（1）如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D（B、C除外），连接AD，我们把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形ADCE是（选择是或不是）等补四边形．（2）如图2，等补四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，若S四边形ABCD＝8，求BD的长．（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD＝5，求四边形ABCD面积的最大值．【解答】解：（1）由旋转得：AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，∵∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴四边形ADCE是等补四边形．故答案为：是；（2）如图2，∵∠ABC＝90°，AB＝