江苏省无锡市江阴市三校联考2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学

20232024学年第二学期高二期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题，每题5分，计40分）1.物体运动的方程为，则时的瞬时速度为（

）A．5 B．25 C．125 D．6252.某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（）A．4种 B．6种 C．7种 D．9种3．若函数，则函数的单调递减区间为（

）A． B． C．D．4．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．5.若，，，则（

）A． B． C． D．6.有4位游客来某地旅游，若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景录点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为（）A． B． C． D．7．已知，则a，b，c的大关系为（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．b＞c＞a8.若函数，在其定义域上只有一个零点，则整数a的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7二、多选题（本大题共3小题，每题6分，计18分）9.关于，则A． B．C．D．10.下列正确的是（

）A．由数字1，2，3，4能够组成24个没有重复数字的三位数B．由数字1，2，3，4，能够组成16个没有重复数字的三位偶数C．由数字1，2，3，4能够组成64个三位密码D．由数字1，2，3，4能够组成28个比320大的三位数11.已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数有极小值B．函数在处切线的斜率为4C．当时，恰有三个实根D．若时，，则的最小值为2三、填空题（本大题共3小题，每题5分，计15分）12.计算：______.（用数字作答）13.已知随机变量的分布列如下，则______14.已知函数，若关于的方程恰有个不同实数根，则实数的取值范围为________．四、解答题（本大题共5小题，计77分）15(13分)．已知函数，当时，取得极值．(1)求的解析式；(2)求在区间上的最值．16（15分）.已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：(1)展开式中二项式系数最大的项；(2)展开式中系数最大的项．17（15分）.“国家反诈中心”APP集合报案助手、举报线索、风险查询、诈骗预警、骗局曝光、身份核实等多种功能于一体，是名副其实的“反诈战舰”.2021年该APP于各大官方应用平台正式上线，某地组织全体村民注册，并组织了一场线下反电信诈骗问卷测试，随机抽取其中100份问卷，统计测试得分（满分100分），将数据按照，，…，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求a的值及这100份问卷的平均分（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）；(2)若界定问卷得分低于70分的村民“防范意识差”，不低于90分的村民“防范意识强”．现从样本的“防范意识差”和“防范意识强”村民中采用分层抽样的方法抽取7人开座谈会，再从这7人中随机抽取3人，记抽取的3人中“防范意识强”的人数为X，求X的分布列和数学期望．18（17分）.有6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目.(1)6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？(2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？(3)若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？19（17分）.已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；(3)设是函数的两个极值点，证明：．20232024学年第二学期高二期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题，每题5分，计40分）1.物体运动的方程为，则时的瞬时速度为（

）A．5 B．25 C．125 D．625【答案】C2.某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（）A．4种 B．6种 C．7种 D．9种【答案】A3．若函数，则函数的单调递减区间为（

）A． B． C．D．答案：C4．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．答案：A5.若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C6.有4位游客来某地旅游，若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景录点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为（）A． B． C． D．【答案】D7．已知，则a，b，c的大关系为（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．b＞c＞a答案：B8.若函数，在其定义域上只有一个零点，则整数a的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C二、多选题（本大题共3小题，每题6分，计18分）9.关于，则A． B．C．D．9．解：令，则，故正确，令，则①所以，故错误，令，则①②可得：③①②可得：④所以④③可得：，所以，故正确，展开式中含的项的系数为，故错误，故选：．10.下列正确的是（

）A．由数字1，2，3，4能够组成24个没有重复数字的三位数B．由数字1，2，3，4，能够组成16个没有重复数字的三位偶数C．由数字1，2，3，4能够组成64个三位密码D．由数字1，2，3，4能够组成28个比320大的三位数【答案】ACD11.已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数有极小值B．函数在处切线的斜率为4C．当时，恰有三个实根D．若时，，则的最小值为2【答案】AD三、填空题（本大题共3小题，每题5分，计15分）12.计算：______.（用数字作答）【答案】6513.已知随机变量的分布列如下，则______【答案】914.已知函数，若关于的方程恰有个不同实数根，则实数的取值范围为________．【答案】四、解答题（本大题共5小题，计77分）15(13分)．已知函数，当时，取得极值．(1)求的解析式；(2)求在区间上的最值．【分析】（1）利用极值定义可求得，可得解析式；（2）利用导函数判断出函数在区间上的单调性，比较端点处的值可得结论.【详解】（1）依题意可得，1分又当时，取得极值，所以，2分即；解得；2分所以；1分（2）由（1）可知，令，可得或，1分当变化时，的变化情况如下表所示：（表格列好写完整5分）单调递增单调递减单调递增因此，在区间上，的最小值为，最大值为.1分16（15分）.已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：(1)展开式中二项式系数最大的项；(2)展开式中系数最大的项．【详解】（1）的展开式的通项为，（，1，…，n），2分因为前3项的系数成等差数列，所以，2分化简得，解得或（舍）．2分展开式共有9项，二项式系数最大的项为.1分（2）由（1）知，展开式的通项为，（，1，…，8），设第项的系数最大，则，3分即，解得，则或，3分所以展开式的第3项与第4项系数最大，即和.2分17（15分）.“国家反诈中心”APP集合报案助手、举报线索、风险查询、诈骗预警、骗局曝光、身份核实等多种功能于一体，是名副其实的“反诈战舰”.2021年该APP于各大官方应用平台正式上线，某地组织全体村民注册，并组织了一场线下反电信诈骗问卷测试，随机抽取其中100份问卷，统计测试得分（满分100分），将数据按照，，…，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求a的值及这100份问卷的平均分（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）；(2)若界定问卷得分低于70分的村民“防范意识差”，不低于90分的村民“防范意识强”．现从样本的“防范意识差”和“防范意识强”村民中采用分层抽样的方法抽取7人开座谈会，再从这7人中随机抽取3人，记抽取的3人中“防范意识强”的人数为X，求X的分布列和数学期望．【详解】（1）由频率分布直方图可得，，解得．2分100份问卷的平均分为（分）3分．（2）从样本的“防范意识差”和“防范意识强”村民中采用分层抽样的方法抽取7人，则“防范意识差”的人数为，“防范意识强”的人数为．2分则的所有可能的值为0，1，2．则，，，6分故的分布列为012.2分18（17分）.有6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目.(1)6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？(2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？(3)若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？【详解】（1）根据题意先把甲乙看成整体，与除了甲、乙、丙、丁之外的两人进行排列，再把丙丁插空进行排列，所以共有.5分（2）先分为4组，则按人数可分为1，1，1，3和1，1，2，2两种分组方式，共有种；再分到4个项目，即可得共有；6分（3）先考虑全部，则共有种排列方式，其中甲参加项目共有种，同学乙参加项目共有种；甲参加项目同时乙参加项目共有种，根据题意减去不满足题意的情况共有种.6分19（17分）.已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；(3)设是函数的两个极值点，证明：．【解析】（1），

定义域为

当时，在上递增，上递减；1分当时，若，在上单调递增；1分若时，在上递增，递减，递增；1分当时，在上递增