第03讲基本不等式及其应用（秋季讲义）（人教A版2019）（原卷版）

第03讲基本不等式及其应用【人教A版2019】模块一模块一基本不等式1．均值定理均值定理：如果a、b∈R+(R+表示正实数)，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，当且仅当a=b时，式中等号成立.此定理又称均值不等式或基本不等式.2．基本不等式推广：≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab).叫做a和b的平方平均值，eq\f(a＋b,2)叫做算术平均值，eq\r(ab)叫做几何平均值.3．基本元素为ab，a+b，a2+b2；其中一个为定值，都可以求其它两个的最值.4．利用基本不等式求最值的条件(1)“一正”：即求最值的两式必须都是正数.(2)“二定”：要求和a+b的最小值，则乘积ab须是定值；要求乘积ab的最大值，则和a+b须是定值.特殊情况下，至少要求各项的和、积是一个可化简的定式.(3)“三相等”：只有满足不等式中等号成立的条件，才能使式子取到最大或最小值.(4)“四同时”：多次使用基本不等式时，需同时满足每个等号成立的条件.【题型1基本不等式链】【例1.1】（2324高一上·河南·阶段练习）若a，b∈R且ab>0，则下列不等式中不恒成立的是（

）A．a2+b2≥2ab B．a+b≥2ab【例1.2】（2324高一上·上海·期中）若实数a、b满足b>a>0，下列不等式中恒成立的是（

）A．2a+b2≥2C．2a+b2<2【变式1.1】（2024高一·全国·课后作业）若a,b∈R+，则在①ba+ab≥2，②1A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式1.2】（2024高二上·新疆·学业考试）若a,b,c∈R，且ab+bc+ca=1，则下列不等式成立的是（

A．a2+bC．a+b+c≥2 D．【题型2由基本不等式比较大小】【例2.1】（2324高三上·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（

）A．甲更合算 B．乙更合算C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算【例2.2】（2324高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足c−b=a+2a−2，c+b=2a2+2a+2a，且a>0，则A．b>c>a B．c>b>a C．a>c>b D．c>a>b【变式2.1】（2324高一上·辽宁朝阳·期中）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则（

）A．v=a+b2 B．v=a+b2ab C．【变式2.2】（2324高一下·四川眉山·开学考试）阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买12g黄金，售货员先将6g的砝码放在天平左盘中，取出xg黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将6g的砝码放在天平右盘中，取A．x+y>12 B．x+y=12 C．x+y<12 D．以上选项都有可能模块二模块二基本不等式的应用1．最值定理最值定理：两个正数的乘积为常数，则两数相等时，它们的和取得最小值；两个正数的和为常数，则两数相等时，它们的乘积取得最大值.即已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．2．常见的求最值模型(1)模型一：，当且仅当时等号成立；(2)模型二：，当且仅当时等号成立；(3)模型三：，当且仅当时等号成立；(4)模型四：，当且仅当时等号成立.3．利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.【题型3直接法求最值】【例3.1】（2324高一下·湖南邵阳·期末）函数y=x10−x(0≤x≤10)A．4 B．5 C．6 D．8【例3.2】（2324高一上·北京·期中）如果m>0，那么m+4m的最小值为（A．2 B．22 C．4 D．【变式3.1】（2324高一上·新疆阿克苏·阶段练习）若a,b都是正数，则ab+4bA．1 B．2 C．3 D．4【变式3.2】（2324高一上·广东韶关·阶段练习）已知10>x>0，则2−x10−x的最小值为（A．−3 B．−2 C．−1 D．0【题型4配凑法求最值】【例4.1】（2324高三下·贵州毕节·阶段练习）已知a>1，则a+4aa−1的最小值是（A．9 B．10 C．12 D．6【例4.2】（2425高一上·上海·课后作业）当x>12时，函数A．92 B．4 C．5 【变式4.1】（2324高一下·浙江·期中）若实数x>2y>0，则3yx−2y+xA．23 B．23−1 C．2【变式4.2】（2425高二上·云南昆明·开学考试）已知a>b>0，则a+4a+b+A．3102 B．4 C．23【题型5巧用“1”的代换求最值】【例5.1】（2425高三上·江西·开学考试）已知x,y为正实数，且x+y=1，则x+2y+1xy的最小值为（

A．22+1 B．22−1 C．【例5.2】（2324高二下·辽宁辽阳·期末）已知xy+5=5y(x>0,y>0)，则y+25x的最小值为（A．25+4 B．8 C．2【变式5.1】（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且x+y=2，则x+6y+6xy的最小值为（

A．12 B．3+22 C．252 【变式5.2】（2324高二下·江西九江·期末）已知a>0,b>0，且a+b=ab，则ab+1+ba+1A．9 B．12 C．16 D．20【题型6和积互化求最值】【例6.1】（2324高二下·湖北武汉·期末）已知x>0,y>0，且满足3x+4A．xy的最小值为48 B．xy的最小值为1C．xy的最大值为48 D．xy的最大值为1【例6.2】（2024·浙江·模拟预测）已知a>0，b>0，若2a2+2ab+1A．2−2 B．2+2 C．4+22【变式6.1】（2324高一上·山东菏泽·阶段练习）已知a>0，b>0，a+b=1，求下列代数式的最小值(1)1a+2(2)1a【变式6.2】（2324高一上·广东深圳·阶段练习）若a>0,b>0，且ab=a+b+8(1)求ab的取值范围；(2)求a+4b的最小值，以及此时对应的a的值.【题型7利用基本不等式证明不等式】【例7.1】（2425高一上·上海·期中）已知a、b、c、d∈R，证明下列不等式，并指出等号成立的条件：(1)a2(2)a2【例7.2】（2324高一上·安徽马鞍山·期中）已知a>0,b>0,a+b=1，求证:(1)1a(2)1+1【变式7.1】（2425高一上·上海·课后作业）（1）已知x、y都是正数，求证：x+yx（2）已知a>0，b>0，c>0，求证：bca【变式7.2】（2324高三上·陕西西安·阶段练习）证明下列不等式(1)已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1，求证：1a(2)已知x>0，y>0，z>0，求证：yx【题型8基本不等式的恒成立、有解问题】【例8.1】（2324高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数x>1,y>12，不等式x2a2A．2 B．4 C．142 D．【例8.2】（2324高一上·河北沧州·阶段练习）若存在正实数x，y满足于4y+1x=1，且使不等式x+A．−4,1 B．−1,4C．−∞,−4∪【变式8.1】（2324高一上·河南信阳·期中）已知x，y都是正数，且2x(1)求2x+y的最小值及此时x，y的取值；(2)不等式2x+y2≥mx+2y【变式8.2】（2324高一·全国·课后作业）已知x>0，y>0．(1)若xy=2，x>y，不等式x2+y(2)若不等式1x+1(3)若x+y=1．且1x+a【题型9利用基本不等式解决实际问题】【例9.1】（2324高二下·江西·期末）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A,B,C三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中B,C区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为xm(1)用含有x的代数式表示a，并写出x的取值范围；(2)当x的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？【例9.2】（2324高一上·甘肃临夏·期末）某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？【变式9.1】（2324高一上·重庆·阶段练习）为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为36000cm2的矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设DC=x(1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围；(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（AD和CD分别为多少时），可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积．【变式9.2】（2324高一上·江苏南通·期中）第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，浮动价格=5销售量（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x(1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？(2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值.一、单选题1．（2425高一上·全国·课后作业）若0<x<4，则2x4−x有（

A．最小值0 B．最大值2C．最大值22 2．（2024·全国·三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，则下列不等式不正确的是（

）A．ab≤14 C．1a+13．（2425高三上·江苏徐州·开学考试）已知a>b≥0且6a+b+2a−b=1A．12 B．83 C．16 D．4．（2324高一上·上海宝山·阶段练习）某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中0<q<p<1）（

）A．先提价p%，再提价q% B．先提价qC．分两次，都提价p2+q5．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y满足4x+y=2xy，且不等式x+y4<m2A．{m∣−1<m<2} B．{m∣m<−1或m>2}C．{m∣−2<m<1} D．{m∣m<−2或m>1}6．（2324高一下·浙江·阶段练习）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形ABCD(AB>AD)的周长为4，沿AC折叠使点B到点B′位置，AB′交DC于点P．研究发现当△ADP的面积最大时用电最少，则用电最少时，AB

A．54 B．2 C．32 7．（2024·山东淄博·二模）记maxx,y,z表示x,y,z中最大的数．已知x,y均为正实数，则maxA．12 B．1 C．2 8．（2324高二下·山西临汾·期末）已知a>b>0，1a−b+1a+b=4，且5a−4b≥mA．−∞,52 B．−∞,2二、多选题9．（2425高三上·江苏南通·阶段练习）下面的结论中正确的是（

）A．若ac2B．若a>b>0，m>0，则a+mC．若a>0，b>0，a+b=1aD．若a>2b>0，则a10．（2324高一上·福建泉州·期中）已知x>1,y>1，且不等式x2y−1+y2A．2 B．3 C．4 D．511．（2425高二上·安徽·开学考试）已知正数a，b满足4a+b+ab=12，则下列结论正确的是（

）A．ab的最大值为4 B．4a+b的最小值为8C．a+b的最小值为3 D．1a+1+三、填空题12．（2425高一上·全国·课堂例题）设a，b为正数，则a2+b22，a+b2，13．（2324高一下·陕西西安·开学考试）已知正实数x，y满足x+y=2xy，则2x+y的最小值为.14．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足x+y=6，若不等式a≤x2x+1+y2y+2四、解答题15．（2324高一上·甘肃庆阳·期末）已知a>0