七年级数学下册期末压轴题试卷及答案（一）培优试题

一、解答题

1.如图，A点的坐标为（0,3）fB点的坐标为（・3,0）,D为x轴上的一个动点且不

与B,0重合，将线段AD绕点A逆时针旋转90。得线段AE,使得AE_LAD,且AE=AD,连

接BE交y轴于点M.

（1）如图，当点D在线段OB的延长线上时，

①若D点的坐标为（・5,0）,求点E的坐标.

②求证：M为BE的中点.

③探究：若在点D运动的过程中，器■的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如

果不是，请说明理由.

（1）如图①,CD//OE,若/4。8=90。，N08=120°,求N8OE的度数；

（2）在①中，将射线OE沿射线08平移得。£（如图②），若N408=a,探究NOCD

与N8OE的关系（用含a的代数式表示）

（3）在②中，过点。，作08的垂线，与NOCD的平分线交于点P（如图③），若NCP。，

=90。，探究NAOB与N8OE的关系.

图①图②图③

3.已知，如图：射线在:分别与直线A3、CO相交于E、F两点,NPFD的角平分线与

直线A8相交于点M,射线交于点N,设NPFM=a。，NEMF=00且

（a-35）2+|/?-a|=0.

（1）a=,P=:直线48与CO的位置关系是；

（2）如图，若点G是射线上任意一点，旦ZMGH=/PNF,试找出NBWN与NG”/

之间存在一个什么确定的数量关系？并证明你的结论.

（3）若将图中的射线尸M绕着端点尸逆时针方向旋转（如图）分别与AB、C。相交于点

M和点M时，作/加屈的角平分线M©与射线QW相交于点。，问在旋转的过程中

4.已知，ABWCD.点M在A8上，点2在CU上.

（1）如图1中，ZBME./£、NEND的数量关系为：:（不需要证明）

如图2中，ZBMF.NF、NFNO的数量关系为：；（不需要证明）

（2）如图3中，NE平分NFND,M8平分NFME,且2/E+/F=180°,求NFME的度

数；

（3）如图4中，ZBME=60°,EF平分/MEN,NP平分乙END,且£QIINP,则NFEQ的大

小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出NFEQ的度数.

F

5.已知，如图1,射线PE分别与直线48,C。相交于E、F两点，NPF。的平分线与直线

48相交于点射线交CD于点N,设NPFM=a。，ZEMF=6°,且（40-2a）2+|6

-20|=0

图1图2图3

（1）a=____,6=；直线4B与CO的位置关系是；

（2）如图2,若点G、H分别在射线M4和线段MF上，且NMGH=4PNF,试找出NFMN

与NG的之间存在的数量关系，并证明你的结论；

（3）若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3）,分别与A8、CD相交于

点Ml和点川1时・，作NPM18的角平分线与射线FM相交于点Q,问在旋转的过程中

差工的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由.

6.已知：如图（1）直线48、CD被直线M/V所截，Z1=Z2.

（1）求证：AB//CD；

（2）如图（2）,点£在48,CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线A8、CD上，连接

PE、EQ,PF平分NBPE,QF平分NEQD,则NPEQ和NPFQ之间有什么数量关系，请直接

写出你的结论；

（3）如图（3）,在（2）的条件下，过P点、作PH〃EQ交CD于点H,连接PQ,若PQ平

分乙EPH,ZQPF：ZEQF=1：5,求NPHQ的度数.

7.请观察下列等式，找出规律并回答以下问题.

1^1111ill111

b^2-1-2*2^3-2-3>热一家"4^5"4-5....

（1）按照这个规律写下去，第5个等式是：；第，个等式是：

（2）①计算:b^2+2^33^4+49x50

②若Q为最小的正整数，g:0,求:

~ab+(a+l)("+l)+(〃+2)(b+2),(〃+3)(b+3)++(a+97)(b+97),

8.阅读材料:求1+2+22+23+24+...+2?。"的值.

解：SS=l+2+22+23+24+...+22017,

将等式两边同时乘以2得：

2S=2+22+23+24+...+22017+22018

将下式减去上式得2s6=22。巩1即S=22018-l

即1+2+22+23+24+...+22017=22018-1

请你仿照此法计算：

(1)1+2+22+23+...+29=；

(2)1+5+52+53+54+...+5。(其中n为正整数)；

(3)1+2X2+3X22+4X23+...+9X28+10X29.

9.若一个四位数t的前两位数字相同且各位数字均不为0,则称这个数为“前介数〃；若把

这个数的个位数字放到前三位数字组成的数的前面组成一个新的四位数，则称这个新的四

位数为“中介数”；记一个“前介数”与它的“中介数”的差为P(t).例如，5536前两位数字

相同，所以5536为“前介数";则6553就为它的〃中介数"，P(5536)=5536-6553=-

1017.

(1)P(2215)=___,P(6655)=.

(2)求证：任意一个"前介数"3P(t)一定能被9整除.

(3)若一个千位数字为2的“前介数”t能被6整除，它的"中介数"能被2整除，请求出满

足条件的P(O的最大值.

10.。是不为1的有理数，我们把丁匚称为。的差倒数.如：2的差倒数是」=7,现已

\-a1-2

知。产;，。2是G的差倒数，6是。2的差倒数，。4是。3的差倒数，…

(1)求。2，。3,。4的值；

⑵根据⑴的计算结果，请猜想并写出。2016・。20*-。2018的值；

369

⑶计算：a3+a6+a9+...+CF99"的值.

11.观察下列各式：

(X—1)(X+1)=X2—1

(x—l)(x2+x+l)=x3—1

(x—l)(x3+x2+x+l)=x4—1

(1)根据以上规律，贝|J(X—1)(X6+X5+X4+X3+X2+X+I)=

(2)你能否由此归纳出一般性规律(X-l)(Xn+Xn—1+xL2+...+x+l)=

(3)根据以上规律求1+3+32+...+349+35。的结果.

12.规律探究，观察下列等式：

第1个等式：4=丁==:、卜一9

第2个等式：%=击=昂2)

第3个等式：/

第4个等式：…焉

请回答下列问题:

(1)按以上规律写出第5个等式：==

(2)用含n的式子表示第n个等式：==(n为正整数)

(3)求4+02+/+/++a\w

13.如图所示，A(1,0)，点8在y轴上，将三角形OA8沿x轴负方向平移，平移后的

图形为三角形OEC,点C的坐标为(-3,2).

(1)直接写出点£的坐标；

(2)在四边形488中，点P从点。出发，沿O818C1CO移动，若点P的速度为每秒1

个单位长度，运动时间为t秒，请解决以下问题；

①当t为多少秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；

②当t为多少秒时，三角形PE4的面积为2,求此时P的坐标

14.如图，已知AM〃BN,点P是射线AW上一动点(与点A不重合)，BC、8。分别平

分乙曲和NP8N,分别交射线41/于点CD.

(1)当NA=60°时，NA8N的度数是；

(2)当4=x。，求NC8D的度数(用x的代数式表示)；

(3)当点。运动时，ZAD8与NAP8的度数之比是否随点P的运动而发生变化?若不变

化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律.

(4)当点尸运动到使NAC8=NA8。时，请直接写出〃+的度数.

15.如图1,在平面直角坐标系中，A(a,0),C(b,2),且满足m+2尸+病》=0,

过C作a_Lx轴于B,

(1)求a,b的值；

(2)在y轴上是否存在点P,使得△ABC和△OCP的面积相等，若存在，求出点P坐标,

若不存在，试说明理由.

(3)若过B作BDIIAC交y轴于D,且AE,DE分别平分NCAB,ZODB,如图2,图3,

①求：NCAB+NODB的度数；

②求：NAED的度数.

16.中国传统节口“端午节〃期间，某商场开展了“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，

对部分品牌的粽子进行了打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折.已知

打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买5盒甲品牌粽子和4

盒乙品牌粽子需520元.

(1)打折前，每盒甲、乙品牌粽子分别为多少元？

(2)在商场让利促销活动期间，某敬老院准备购买甲、乙两种品牌粽子共40盒，总费用

不超过2300元，问敬老院最多可购买多少盒乙品牌粽子？

17.如图1,己知，点4(1,a),AHJLx轴，垂足为"，将线段AO平移至线段8C,点

B(b,0),其中点A与点8对应，点。与点C对应，。、b满足/^-(8-3)2=0.

(1)填空：①直接写出48、C三点的坐标4)、8()、C()；

②直接写出三角形40〃的面积.

(2)如图1,若点。(m,用在线段。4上，证明：4m=n.

(3)如图2,连OC,动点P从点8开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时

点Q从点。开始在V轴上以每秒1个单位的速度向下运动.若经过t秒，三角形40P与三

角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标.

18.在平面直角坐标系中，点A,8的坐标分别为(2,0),(-2,0),现将线段48先向上平

移3个单位,再向右平移1个单位，得到线段。C,连接A。，BC.

（2）如图1,在卜轴上是否存在点P,连接R4,依，使=S四边形”8?若存在这样的

点，求出点P的坐标：若不存在，试说明理由；

（3）如图2,在直线8上是否存在点。，连接QB,使工℃B=；S龈形.Be?若存在这样

试说明理由.

2

（4）在坐标平面内是否存在点使四边形AB8?若存在这样的点〃，直接写出

点”的坐标的规律；若不存在，请说明理由.

19.数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究.

（1）小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为3：2,面积为30,请求出该长方

形纸片的长和宽；

（2）小葵在长方形内画出边长为。，b的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条

边在人正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50,阴影部分两个

长方形的周长之和为30,由此她判断大正方形的面积为100,间小葵的判断正确吗？请说

明理由.

20.每年的6月5日为世界环保日，为提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的

新机器，现有甲、乙两种型号的机器可选，其中每台的价格、产量如下表：

甲型机器乙型机器

价格(万元/台)ab

产量(吨/月)240180

经调查：购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多12万元，购买2台甲型机器比购买3

台乙型机器多6万元.

(1)求。、b的值；

(2)若该公司购买新机器的资金不超过216万元，请问该公司有哪几种购买方案？

(3)在(2)的条件下，若公司要求每月的产量不低于1890吨，请你为该公司设计一

种最省钱的购买方案.

21.数轴上有两个动点N,如果点M始终在点N的左侧，我们称作点M是点N的“追

赶点”.如图，数轴上有2个点4B,它们表示的数分别为・3,1,已知点M是点N的"追

赶点”，且M,/V表示的数分别为m,n.

(1)由题意得：点4是点8的“追赶点”，48=l-(-3)=4(AB表示线段48的长，以下相同)；

类似的，MN=.

(2)在4M,N三点中，若其口一个点是另外两个点所构成线段的中点，请用含m的代

数式来表示m

4

(3)若AM=BN,MN=-BM,求必和。值.

AB

------------------------1£----------------->

^301

22.平面直角坐标系中，A(a,0),B(0,b),a,b满足

2

(2a+b+5)+Ja+2b-2=0f将线段AB平移得到CD,A,8的对应点分别为C,D,其中

点C在y轴负半轴上.

图I图2

(1)求48两点的坐标；

BF-OF

(2)如图1,连4D交8c于点E,若点E在y轴正半轴上，求产的值;

(3)如图2,点F,G分别在CD,8D的延长线上，连结FG,/MC的角平分线与NDFG

的角平分线交于点H,求NG与NH之间的数量关系.

23.在平面直角坐标系中，若点P(x,y)的坐标满足x-2y+3=0,则我们称点P为“健康

点”：若点Q(x,y)的坐标满足x+y-6=0,则我们称点Q为"快乐点

(1)若点4既是“健康点〃又是"快乐点”，则点4的坐标为；

（2）在（1）的条件下，若8是x轴上的“健康点〃，C是y轴上的“快乐点〃，求AABC的面

积；

（3）在（2）的条件下，若P为x轴上一点，且A8PC与△4BC面积相等，直接写出点P

的坐标.

24.阅读感悟：

有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的

值，如以下问题：

已知实数X、满足3x—y=5①，2x+3y=7②，求工一4），和7x+5y的值.

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得汇、y的值再代入欲求值的代数式得到

答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还

可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①一②可得％-4y=-2,由①+②x2可得

7x+5），=19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想〃.

解决问题：

（1）已知二元一次方程组则x-y=_______,x+y=_______:

[x+2y=8

（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支水笔、3块橡皮、2本记事本共需35元，买39

支水笔、5块橡皮、3本记事本工序62元，则购买6支水笔、6块橡皮、6本记事本共需

多少元？

（3）对于实数“、九定义新运算：x*y=or+勿+c,其中。、b、c是常数，等式右边

是通常的加法和乘法运算.已知3*5=15,4*7=28,那么1*1=.

25.某治污公司决定购买10台污水处理设备.现有甲、乙两种型号的设备可供选择，其中

每台的价格与月处理污水量如下表：

甲型乙型

价格（万元/台）Xy

处理污水量（吨/月）300260

经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买3台甲型设备比购买4台

乙型设备少2万元.

（1）求x,y的值；

（2）如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过91万元，求该治污公司有哪几种购买

方案；

（3）在（2）的条件下，如果月处理污水量不低于2750吨，为了节约资金，请为该公司设

计一种最省钱的购买方案.

26.某数码专营店销售A,B两种品牌智能手机，这两种手机的进价和售价如表所示：

AB

进价（元/

33003700

部）

售价（元/

38004300

部）

（1）该店销售记录显示，三月份销售A、B两种手机共34部，且销售A种手机的利润恰

好是销售B种手机利润的2倍，求该店三月份售出A种手机和B种手机各多少部？

（2）根据市场调研，该店四月份计划购进这两种手机共40部，要求购进B种手机数不低

于A种手机数的|,用于购买这两种手机的资金低于140000元，请通过计算设计所有可

能的进货方案.

27.某体育拓展中心的门票每张10元，一次性使用考虑到人们的不同需求，也为了吸引更

多的顾客，该拓展中心除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”（个人年

票从购买日起，可供持票者使用一年）的售票方法.年票分A、B两类：A类年票每张120

元，持票者可不限次进入中心，且无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入中心

时，需再购买门票，每次2元.

（1）小丽计划在一年中花努80元在该中心的门票匕如果只能诜择一种购买门票的方

式，她怎样购票比较合算？

（2）小亮每年进入该中心的次数约20次，他采取哪种购票方式比较合算？

（3）小明根据自己进入拓展中心的次数，购买了A类年票，请问他一年中进入该中心不

低于多少次？

28.在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为（2,-4）,（c,O）,且a,c满

足方程（2a-4）^+/-3=0为二元一次方程.

(1)求A,。的坐标.

(2)若点。为y轴正半轴上的一个动点.

①如图1,当AD//8C时、与ZAC8的平分线交于点P,求NP的度数；

②如图2,连接80，交X轴于点E.若成立.设动点。的坐标为(04)，求

d的取值范围.

29.若关于x的方程ax+b=0(a#0)的解与关于y的方程cy+d=0(CHO)的解满足-1次

-y<l,则称方程ax+b=0(a*0)与方程cy+d=O(c*0)是"友好方程例如：方程2x-l

=0的解是x=0.5,方程y-1=0的解是y=l,因为・Kx・ySl,方程2x-l=0与方程y

・1=0是“友好方程

(1)请通过计算判断方程2x-9=5x-2与方程5(y-1)-2(1-y)=-34-2y是不是

“友好方程

(2)若关于x的方程3x-3+4(x-1)=0与关于y的方程哲史+y=2k+l是"友好方

程"，请你求出k的最大值和最小值.

30.如图1,在平面直角坐标系中，A(a,0)是x轴正半轴上一点，C是第四象限内一

(2)如图2,设D为线段0B上一动点，当AD_LAC时，/ODA的角平分线与NCAE的角

平分线的反向延长线交于点P，求NAPD的度数；(点E在x轴的正半轴).

(3)如图3,当点D在线段0B上运动时，作DM_LAD交BC于M点，ZBMD>NDA。的

平分线交于N点，则点D在运动过程中，NN的大小是否会发生变化？若不变化，求出其

值；若变化，请说明理由.

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一、解答题

1.(1)①后(3,-2)②见解析；③空■=2，理由见解析；⑵0D+0A=2AM或0A

BD2

-0D=2AM

【分析】

(1)①过点E作EH_Ly轴于H.证明△DOa△AHE(AAS)可得结论.

②证明ABOM堂△EHM(AAS)可得结论.

③是定值，证明△BOM2△EHM可得结论.

(2)根据点D在点B左侧和右侧分类讨论，分别画出对应的图形，根据全等三角形的判

定及性质即可分别求出结论.

【详解】

解：(1)①过点E作EH_Ly轴于H.

A

/A(0,3),B(-3,0),D(-5,0),

OA=OB=3,OD=5,

,/ZAOD=ZAHE=ZDAE=90°,

NDAO+NEAH=90°,ZEAH+ZAEH=90°,

/.ZDAO=NAEH,

△D0A2△AHE(AAS),

AH=OD=5,EH=0A=3,

OH=AH-OA=2,

/.E(3,-2).

EH_Ly轴，

ZEHO=ZBOH=90°,

/ZBMO=ZEMH,0B=EH=3,

△BOM些△EHM(AAS),

BM=EM.

③结论：*

理由：,/△DOA^△AHE,

OD=AH,

OA=OB,

BD=OH,

△BOM号△EHM,

OM=MH,

/.OM=yOH=yBD.

(2)结论：OA+OD=2AMfigOA-OD=2AM.

理由：当点D在点B左侧时，

,/△BOM金△EHM,△DO给△AHE

OM=MH,OD=AH

OH=2OM,OD-OB=AH-OA

BD=OH

BD=2OM,

OD-OA=2(AM-AO),

/.OD+OA=2AM.

当点D在点B右侧时，过点E作EH±y轴于点H

ZAOD=ZAHE=ZDAE=90°,

ZDAO+ZEAH=90°,ZEAH+ZAEH=90°,

/.ZDAO=ZAEH,

AD=AE

「.△DOA合△AHE(AAS),

/.EH=AO=3=OB,OD=AH

/.ZEHO=ZBOH=90°,

,/ZBMO=ZEMH,0B=EH=3,

△BOM登△EHM(AAS),

OM=MH

OA+OD=OA+AH=OH=OM+MH=2MH=2(AM+AH)=2(AM+OD)

整理可得OA-OD=2AM.

综上：OA+OD=2AM或OA-OD=2AM.

【点睛】

此题考查的是全等三角形的判定及性质、旋转的性质和平面直角坐标系，掌握全等三角形

的判定及性质、旋转的性质和点的坐标与线段长度的关系是解决此题的关键.

2.(1)150°；(2)ZOCD+N8。£=360。r；(3)ZAOB=ABO'E'

【分析】

(1)先根据平行线的性质得到/AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得N8OE的

度数；

(2)如图②，过。点作OFIICD,根据平行线的判定和性质可得NOCD、N8OF的数量关

系；

(3)由已知推出CPII08,得到N40B+NPCO=180。，结合角平分线的定义可推出

ZOCD=2ZPCO=360°-2ZAOB,根据(2)/OCD+Z80'F=360°-/AOB,进而推出

Z4O8=NBOE.

【详解】

解：(1)•••CDIIOE,

NAOE=A08=120。，

Z8OE=3600-ZAOE-Z.408=360°-90°-120°=150°；

(2)N2C0+NBO'F=3600-a.

证明：如图②，过。点作OFIICD,

图②

「CDIIOE,

：.0F\lOE,

/.Z4OF=1800-ZOCD,Z80F=NE'0'0=180°-NBOE,

：.ZAOB=ZAOF+ZeOF=180°-Z08+1800-/8O'E'=360°-(ZOCD+ZBOE)=a,

ZOCD+Z8O'F=360°-a；

(3)ZAOB=ABOE.

证明：・・./CPO'=90°,

PO」CP,

P0」08,

CPIIOB,

...ZPCO+Z408=180°,

/.2ZPCO=360°-2ZAOBt

「CP是NOCD的平分线，

Z0CD=2Z.PCO=3600-2ZAOB,

•.•由(2)知，NOCD+N8O'F=360°・a=360：NA08,

3600-2ZAOB+A8OE=3600-NAOB,

/.ZAOB=ABOE.

【点睛】

此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出

辅助线是解决问题的关键.

3.(1)35,35,平行；(2)NFMN+NGHF=180。,证明见解析：(3)不变，2

【分析】

(1)根据(。-35)2+|0-«|=0,即可计算a和6的值，再根据内错角相等可证4811CD；

(2)先根据内错角相等证G”llPN,再根据同旁内角互补和等量代换得出

ZFMN+Z.GHF=180°；

(3)作NPEMi的平分线交MiQ的延长线于R,先根据同位角相等证£RIIFQ,得

ZFQMkNR,设NPERMREB=x,ZPMiR=NRMiB=y,得出/EPMi=2NR,即可得

【详解】

解：(1)v(a-35)2+|6-a|=0,

a=6=35>

ZPFM=ZMFN=350,ZEMF=35\

ZEMF=NMFN,

・•.4811CD：

(2)ZFMN+AGHF=130°；

理由：由(1)得4811CD,

ZMNFMPME,

ZMGHMMNF,

ZPME=NMGH,

：.GHWPN,

：.ZGHM必FMN,

■：ZGHF+NGHM=180°,

/.ZFMN+NGHF=180°；

(3)置U的值不变，为2,

理由：如图3中，作NP£Mi的平分线交MiQ的延长线于8,

「4811CD,

ZPEMi=APFN,

4PER=；NPEMi,NPFQ=；NPFN,

ZPER=NPFQ,

ERWFQ,

B

ZFQMi=ZR,

设NPERMREB=x,ZPMiR=NRMiB=y,

[y=x+ZR

n1

“有：[2y=2x+ZEPMl

可得NFPMi=2ZR,

/.ZEPMi=2NFQMi，

NEPM、2FPN\

，，"QM=N。2

【点睛】

本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等

知识是解题的关键.

4.(1)ZBME=Z.MEN-ZEND：4BMF=4MFN+乙FND；(2)120°：(3)不变，30°

【分析】

(1)过E作EHII4B,易得EHIIABIICD,根据平行线的性质可求解：过F作FVIIAB,易

得FHIIA8IICD,根据平行线的性质可求解；

(2)根据(1)的结论及角平分线的定义可得2(NBME+NEND)+ZBMF-Z.FA/D=180°,

可求解N8MF=60。，进而可求解；

(3)根据平行线的性质及角平分线的定义可推知NF£a=g/8ME,进而可求解.

【详解】

解：(1)过E作EHIMB,如图1,

Z8ME=NMEH,

：ABWCD,

/.HEWCD,

：.ZEND=4HEN,

ZMEN=NME”+NHEN=Z8/WE+NEND,

即NBME=Z.MEN-ZEND.

如图2,过F作出II48,

/.ZBMF=ZMFK,

「4811CD,

FHWCD,

ZFND=,KFN,

：.ZMFN=NMFK-ZKFN=NBMF-ZFND,

图2

故答案为NBME=NMEN-ZEND；ZBMF=NMFN+NFND.

(2)由(1)得NBME=ZMEN-ZEND；ZBMF=NMF/V+NFND.

NE平分NFND,MB平分/FME,

：.ZFME=Z.8ME+NBMF,ZFND=£FNE+NEND,

,/2ZMEN+NMFN=130°,

：.2(Z8ME+NEND)+zBMF-Z.FND=180°,

/.2Z8ME+2NEND+NBMF-ZFA/D=180°,

即2N8MF+NFND+NBMF-ZFND=130°,

解得/BMF=60°,

/.ZFME=2Z.BMF=12O0；

(3)NFEQ的大小没发生变化，ZFFQ=30°.

由(1)知：NMEN=4BME+NEND,

■：EF平分NMEN,NP平分/END.

二.NFEN=^NMEN=g(ZBM£+zEND),ZENP=ZEND,

-：EQIINP,

/.ZNEQ=£ENP,

NFEQ=NFEN-NNEQ=4(N8ME+NEN。)-yZE/VD=yZ

ZBME=60°f

ZFEQ=；x60°=30°.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键.

"PN一一丁*

5.(1)20,20,AB//CD；(2)NEIW+NG〃尸=180°；(3)&।的值不变,

NFPN、一

11—乙

【分析】

（1）根据（40-2a）2+|/7-20|=0,即可计算。和万的值，再根据内错角相等可证A8//CQ；

（2）先根据内错角相等证G////PN,再根据同旁内角互补和等量代换得出

NFMN+NGHF=180

（3）作/尸EM的平分线交M。的延长线于R,先根据同位角相等证ER//A2,得

NFQM]=/R,设/PER=/REB=x,/PMR=NR%8=y,得出/即叫=2/火，即可

得必=2

付ze

【详解】

解：（1）（40-2。尸+|£-20|=0,

.•.40-2«=0,4-20=0,

.•.a=/7=20,

.•."FM=NMFN=20°,4EMF=20°,

:.ZEMF=ZMFNy

:.AB//CDi

故答案为：20、20,AB33、

（2）NFMN+NGHF=18O°；

理由：由（1）得AB//C£>,

;.ZMNF=GME,

ZMGH=^MNF,

:2PME=/MGH,

..GH//PN,

:.NGHM=NFMN,

4GHFtNGHM=1琳，

"FMN+/GHF=1800；

/FPNZFPN、

（3）2」的值不变,=2；

NQ

理由：如图3中，作/PEM的平分线交的延长线于R,

AB//CD,

4PEM\=Z.PFN,

/PER='/PEM\,/PFQ=L/PFN,

22

:.ZPER=ZPFQt

:.ER//FQt

图3

/.4FQM、=NR,

设/PER=/REB=x,NPM】R=/RMiB=y,

y=x+ZR

则有：c/mu，

2y=2x+Z.EPMy

可得NEPMjNR,

:.NEPMi=2"QMi,

,"PMy

NFQMi.

【点睛】

本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等

知识是解题的关键.

6.(1)见解析；(2)NPEQ+2ZPFQ=360°；(3)30°

【分析】

(1)首先证明N1=N3,易证得4B〃CD：

(2)如图2中，ZPFQ+2ZPFQ=360°.EH//AB.理由平行线的性质即可证明；

(3)如图3中，设NQPF=y,ZPHQ=x.NEPQ=z,则NEQF=NFQH=5y,想办法构建

方程即可解决问题；

【详解】

Z1=Z3,

AB//CD.

(2)结论：如图2中，ZPEQ+2APFQ=360°.

理由：作EH〃AB.

M

B

7%0

N(2)

•••AB//CD,EH//AB,

/.EH//CD,

：.Z1=Z2,Z3=Z4,

Z2+Z3=Z1+Z4,

ZPEQ=/1+Z4,

同法可证：ZPFQ=N3PF+NFQD.

/ZBPE=2ZBPF,NEQD=2/FQD,Z1+ZBPE=130°,Z4+ZEQD=180%

Z1+Z4+ZEQD+NBP£=2xl80c,

KPzP£Q+2(NFQD十/BPF)=3G0°,

ZPEQ+2NPFQ=360°.

(3)如图3中，设NQPF=y,ZPHQ=x.ZEPQ=z,则/£QF=ZFQH=5y,

•••EQ”PH,

Z£QC=NPHQ=x,

x+10y=180°,

AB//CD.

：.Z8PH=NPHQ=x,

「PF平分NBPE,

：.ZEPQ+ZFPQ=ZFPH+NBPH,

ZFPH=y+z-x,

•­-PQ平分NEPH,

Z=y+y+z-x,

•.x=2y,

/.12y=180°,

y=15°,

...x=30°,

ZPHQ=30°.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识.（2）中能正确作出辅助线是解

题的关键；（3）中能熟练掌握相关性质，找到角度之间的关系是解题的关键.

7•⑴小十*⑵①2②踪

【分析】

（1）根据规律可■得第5个算式；根据规律可得第n个算式；

（2）①根据运算规律可得结果.

②利用非负数的性质求出。与b的值，代入原式后拆项变形，抵消即可得到结果.

【详解】

1.I111

（D根据规律得：第5个等式是息第〃个等式是声包二7一区1；

(2)①+—^—+1

+-----,

,1x22x33x449x50

11111111

=----+-----+-----++-----

1223344950

=1-—,

50

=49

~50：

②。为最小的正整数,7^3=0,

a=1，b=3，

11111

原式=----1-----1-----1-----brLH-------,

1x32x43x54x698x100

1八1、4x

=”匕）

224235246298100

111111

(,一+———+―——+———++-——-),

r324354698100

lll1、

=-x（zll+-----------）,

2299100

=14651

-19800,

【点睛】

本题主要考查了数字的变化规律，发现规律，运用规律是解答此题的关键.

8.(1)210-1；(2)；(3)9x210+l.

4

【分析】

（1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到1+2+22+23+...+29的值；

（2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到1+5+52+53+54+...+?的值.

（3）根据题目中的信息，运用类比的数学思想可以解答本题.

【详解】

解：（1）设S=l+2+22+23+...+29,

将等式两边同时乘以2得：

2S=2+22+23+24+...+29+210,

将下式减去上式得2S-S=21O-1,即S=210-l,

即1+2+22+23+...+29=201.

故答案为21°-1；

(2)S=l+5+52+53+54+...+5%

将等式两边同时乘以5得：

5S=5+52+53+54+55+...+5n+5n*1,

将下式减去上式得5S-S=5n+1-1,即S=-——,

4

即l+5+52+53+54+...+5n=^—；

4

(3)设S=1+2X2+3X22+4X23+...+9X28+10X29,

将等式两边同时乘以2得：

2S=2+2X22+3X23+4X24+...+9X29+10X210,

将上式减去下式得6=1+2+22+23+...+29+10x2】。,

-S=210-l-10x210,

S=9x210+l,

即1+2X2+3X22+4X23+...+9X28+10X2?=9X210+1.

【点睛】

本题考查有理数的混合运算、数字的变化类，解题的关键是明确题意，发现数字的变化规

律.

9.(1)-3006,990；(2)见解析；(3)P(t)的最大值是P(2262)=36.

【分析】

(1)根据“前介数与它的“中介数〃的差为P(t)的定义求解即可；

(2)设"前介数”为y7豆且。、b、c均不为0的整数，即1"、b,c<9,根据定义得到

P(t)=aabc-caab=9(110«+Z?-lllc),则P(t)一定能被9整除；

(3)设"前介数"为，=^7=2200+10a+b,根据题意得到。+人+4能被3整除，且b只能

取2,4,6,8中的其中一个数；/对应的“中介数"是历行=1000/?+220+a，得到。只能

取2,4,6,8中的其中一个数，计算P(t)=1980+9a—99»,推出要求P(t)的最大

值，即。要尽量的大，〃要尽量的小，再分类讨论即可求解.

【详解】

(1)解：2215是“前介数”，其对应的“中介数”是5221,

P(2215)=2215-5221=-3006；

6655是“前介数〃，其对应的“中介数〃是5665,

P(6655)=6655-5665=990；

故答案为：・3006,990；

(2)证明：设“前介数〃为/=嬴且。、b、c均为不为。的整数，即14。、b、c<9,

Z=100()6r+10(k/4-10/?+c=l100ez+10^+c,

又I对应的"中介数”是不％=I00(k+1004+10a+0=1000c+110a+。，

P(t)=aahc-caah=\\00a+\0t9+c-(1000c+}10«+Z>)

=1100«+10/?+c-1000c-ll0a-Z?

=990«+9Z?-999c

=9(110^+6-111c),

a、b、c均不为。的整数，

U0a+/TUc为整数,

P(t)一定能被9整除；

(3)证明：设“前介数”为，=两且即1«。、b<9,a、b均为不为。的整数，

1=2000+200+10〃+力=2200+1*+人，

二f能被6整除，

能被2整除，也能被3整除，

二.b为偶数,且2+2+a+6=a+6+4能被3整除，

又l<b<9,

•・b只能取2,4,6,8中的其中一个数，

又1对应的"中介数”是两;=1000g200+20+a=1000H220+a，

且该“中介数〃能被2整除，

。为偶数,

又1<a<9,

•.Q只能取2,4,6,8中的其中一个数，

P⑴=五%-西;=2200+10〃+6-(1000力+220+。)

=2200+10a+b-1000/?-220-a

=1980+9a-999Z?,

要求P(t)的最大值，即。要尽量的大，〃要尽量的小，

①。的最大值为8,b的最小值为2,但此时a+b+4=14,

且14不能被3整除，不符合题意，舍去：

②。的最大值为6,6的最小值仍为2,但此时4+6+4=12,能被3整除，

旦P(t)=2262-2226=36；

③”的最大值仍为8,〃的最小值为4,但此时a+〃+4=16,

且16不能被3整除，不符合题意，舍去；

其他情况，“减少，b增大,则P(t)减少，

满足条件的P(t)的最大值是P(2262)=36.

【点睛】

本题考查用新定义解题，根据新定义，表示出“前介数”，与其对应的"中介数”是求解本题

的关键.本题中运用到的分类讨论思想是重要一种数学解题思想方法.

10.(1)82=2,83="1934=

2

（2）a2oi6ea2oi7ea2oi8=-1

(3)333+366+399+...+39$"=-1

【分析】

⑴将a产;代入乙中即可求出az,再将az代入求出a3,同样求出a,即可.

(2)从⑴的计算结果可以看出,从a1开始，每三个数一循环,而2016+3=672,则a2o16=-

1,32017=y,32018=2然后计算32016*22017*82018

⑶观察可得a3、a6.a9、..前9.都等于・1，将-1代入，即可求出结果.

【详解】

.._J_

(1)将ai=；,代入;—,得“I=9；

将32=2,代入—！―,得。3=」=1；

1—a1-2

将a3=-l,代入，得％=";~

1-a1-(-1)2

(2)根据⑴的计算结果，从a】开始，每三个数一循环，

而2016+3=672,则32016=-1,32017=y,32018=2

82016*a2017e82018=(-Dx~x2=-1

2

(3)观察可得a?、a6、a””299.都等于-1,将T代入，

a33+ae6+a99+...+a9999

=(-1)3+(-1)6+(-1)9+...+(-1)99

=(-1)+1+(-1)+...(-1)

=-l

【点睛】

此类问题考查了数字类的变化规律，解题的关键是要严格根据定义进行解答，同时注意分

析循环的规律.

V1-I

11.(1)X7-1；(2)/1一1；(3)--