辽宁省辽阳市2023-2024学年高二下学期期末考试数学

高二考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第三册，必修第一册，必修第二册第四章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列命题是真命题的是（）A.“”是全称量词命题B.成等差数列C.“”是存在量词命题D.成等比数列2已知集合，，则（）A. B. C. D.3.曲线在点处的切线斜率为（）A. B. C. D.4.若等比数列满足，则其公比为（）A. B. C. D.5.“”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.7.已知，则的最小值为（）A. B.8 C. D.108.已知定义域均为的函数的导函数分别为，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题是假命题的是（）A.函数有极值点B.是奇函数C.函数无最大值D.“”的否定是“”10.某种退烧药能够降低的温度（单位：）是血液中该药物含量单位：）的函数，且，其中是一个常数，则（）A.在上单调递减B.当这种退烧药在血液中的含量为时，能够降低的温度最大C.在上单调递增D.当这种退烧药在血液中的含量为时，能够降低的温度最大11.已知函数的定义域为，且，若，则（）A.B.C.方程有唯一实数解D.函数有最小值三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.______.13.设的个位数为，则__________.14.已知函数有3个零点，则的取值范围为__________；若成等差数列，则__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.设依次是等比数列的前3项，其中为正数.（1）求；（2）求数列的前项和.16.已知函数且.（1）当时，求在上的值域；（2）求关于的不等式的解集；（3）若函数为上的增函数，求的取值范围.17已知函数.（1）求的单调区间；（2）当时，求在上的最小值与最大值.18.已知数列满足且.（1）求的通项公式.（2）设的前项和为，表示不大于的最大整数.①求；②证明：当时，为定值.19.若存实数，对任意，使得函数，则称在上被控制.（1）已知函数在上被控制，求的取值范围.（2）(i)证明：函数在上被1控制.(ii)设，证明：.高二考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第三册，必修第一册，必修第二册第四章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列命题是真命题的是（）A.“”是全称量词命题B.成等差数列C.“”是存在量词命题D.成等比数列【答案】D【解析】【分析】根据存在量词和全称量词判断A,C选项，应用等比中项及等差中项判断B,D选项.【详解】是存在量词命题，是全称量词命题，A，C均为假命题.,B为假命题，D为真命题.故选：D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合，解指数不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.详解】由，即，解得，所以，由，解得，所以，又，则，所以.故选：D3.曲线在点处的切线斜率为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率即可.【详解】因为，所以曲线在点处的切线斜率为.故选：A.4.若等比数列满足，则其公比为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据等比数列满足，得到，两式相比得，再求得验证即可.【详解】因为，所以等比数列的公比，又，所以，所以，即等比数列的公比为.故选：C.5.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的概念即可判断.【详解】因为，所以能推出，且不能推出，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性排除C,D;再由函数的零点只有三个，排除B即得.【详解】因为，所以是偶函数，排除C，D;因为在上的零点有共三个，排除B.故选:A.7.已知，则的最小值为（）A. B.8 C. D.10【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，应用1的活用常值代换结合基本不等式求出最值.【详解】因为，所以，所以，当且仅当即时，等号成立.故的最小值为.故选：C.8.已知定义域均为的函数的导函数分别为，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】运用函数导数的四则运算构造新,，则用新函数的单调性解题即可.【详解】令，则，所以单调递减．由，得，所以．故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题是假命题的是（）A.函数有极值点B.是奇函数C.函数无最大值D.“”的否定是“”【答案】ACD【解析】【分析】利用导函数的正负性即可判断A选项，利用奇函数的定义可以判断B选项，利用基本不等式可以判断C选项，求存在量词命题的否定规则可以判断D选项.【详解】对于A，因为，所以为增函数，则无极值点，A是假命题.对于B，因为，所以是奇函数，B是真命题.对于C，，当且仅当时，等号成立，所以函数有最大值，是假命题.对于D，“”的否定是“”，D是假命题.故选：ACD.10.某种退烧药能够降低的温度（单位：）是血液中该药物含量单位：）的函数，且，其中是一个常数，则（）A.在上单调递减B.当这种退烧药在血液中的含量为时，能够降低的温度最大C.在上单调递增D.当这种退烧药在血液中的含量为时，能够降低的温度最大【答案】CD【解析】【分析】运用导数研究单调性，进而得到极值最值即可.【详解】，当时，，所以在上单调递增;当时，，在上单调递减．所以均错误，均正确.故选：CD．11.已知函数的定义域为，且，若，则（）A.B.C.方程有唯一的实数解D.函数有最小值【答案】ABD【解析】【分析】赋值法令，求解判断A；令，求出.令，求出，因为为增函数，且，判断B；等价于.设，用零点存在性定理判断C;因为，所以函数有最小值，判断D.【详解】令，得.因为，所以，即，A正确.令，得，由，得.又，所以.令，得，即，所以，因为为增函数，且，所以，B正确.所以等价于.设，因为，所以在上必有一个零点，又，所以的零点不唯一，从而方程的实数解不唯一，C错误.因为，所以函数有最小值，D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12______.【答案】13【解析】【分析】根据指数幂的运算法则及对数的运算性质计算可得.【详解】故答案为：13.设的个位数为，则__________.【答案】279【解析】【分析】先计算确定数列的周期性，再结合应用数列的周期计算即可.【详解】因为的个位数分别为，所以数列是周期为4的周期数列，所以.故答案为：279.14.已知函数有3个零点，则的取值范围为__________；若成等差数列，则__________.【答案】①.②.【解析】【分析】运用三次函数性质，结合导数和等差数列知识解题即可.【详解】，令，得，函数单调递减；令，得或，函数单调递增.所以的极大值为的极小值为.因为有3个零点，所以解得.设，则，令，得，由于，三次函数曲线关于点对称.若成等差数列，则，解得.故答案为：；.【点睛】方法点睛：本题运用导数来研究三次函数的单调性和极值，与零点，对称性，数列知识综合，属于中档题.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.设依次是等比数列的前3项，其中为正数.（1）求；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）运用等比数列的性质公式求解即可；（2）运用分组求和,结合对数性质计算即可.【小问1详解】依题意可得，整理得，解得或1.因为为正数，所以，所以的前3项依次是，所以.【小问2详解】由（1）知，所以，所以.16.已知函数且.（1）当时，求在上的值域；（2）求关于的不等式的解集；（3）若函数为上的增函数，求的取值范围.【答案】（1）（2）答案见解析（3）.【解析】【分析】（1）根据增函数加增函数为增函数的结论得到的单调性，从而得到其值域；（2）对分和讨论即可；（3）根据分段函数单调性得到不等式组，解出即可.【小问1详解】当时，，因为均为增函数，所以为增函数，所以，，所以当时，在上的值域为.【小问2详解】的定义域为.当时，因为均为增函数，所以为增函数，因为，所以不等式的解集为.当时，因为均为减函数，所以为减函数，所以不等式的解集为.【小问3详解】依题意可得，解得，即的取值范围为.17.已知函数.（1）求的单调区间；（2）当时，求在上的最小值与最大值.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先求导函数再根据导数正负求出单调区间即可；（2）先根据函数的单调性结合自变量的区间分类讨论求最值即可；【小问1详解】.令，得；令，得；令，得.所以的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问2详解】当时，.由（1）知，在处取得极大值，且极大值为.当时，在上单调递增，.当时，，若，则，因为，所以.18.已知数列满足且.（1）求的通项公式.（2）设的前项和为，表示不大于的最大整数.①求；②证明：当时，为定值.【答案】（1）（2）①；②证明见解析【解析】【分析】（1）构造数列，结合等差数列定义计算即可得；（2）①借助错位相减法计算即可得；②构造数列，结合数列单调性可得当时，，即可得为定值.【小问1详解】由，则，即，则数列是以为公差的等差数列，又，故，即；【小问2详解】①由，则，，则，故；②令，则，则，故数列为单调递减数列，又，故当时，，故，即当时，恒成立，即为定值.19.若存在实数，对任意，使得函数，则称在上被控制.（1）已知函数在上被控制，求的取值范围.（2）(i)证明：函数在上被1控制.(ii)设，证明：.【答案】（1）（2）(i)证明见解析；(ii)证明见解析.【解析】【分析】（1）根据概念即求在上恒成立，利用导数分类求得的最小值即得；（2）(i)利用导数证明不等式在上恒成立；(ii)根据(i)得利用裂项相消法可证.【小问1详解】令，，则，