清单09勾股定理与最短路径（7种题型解读（30题））（原卷版）

清单09勾股定理与最短路径问题（7种题型解读（30题））【知识导图】【知识清单】【考试题型1】平面图形的最短路径问题1．（2023上·贵州毕节·八年级校考期中）如图，是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标注的尺寸，（单位：mm），可得两圆孔中心A和B的距离是（

）

A．120mm B．150mm C．90mm2．（2022下·河北保定·八年级校联考期中）如图，有一块长为24m的长方形绿地，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小颖想在A处立一个标牌“少走（

）步，踏之何忍”，但小颖不知应填什么数字，请你帮助她填上．（假设两步为1m）A．8步 B．12步 C．16步 D．20步3．（2022下·广东惠州·八年级统考期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（

）A．2m B．3m C．3.5m4．（2021上·江西景德镇·八年级统考期中）如图，长方形BCFG是一块草地，折线ABCDE是一条人行道，BC＝12米，CD＝5米．为了避免行人穿过草地（走虚线BD，践踏绿草，管理部门分别在B、D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走米，踏之何忍”．5．（2017上·八年级单元测试）如图，有两条互相垂直的街道a和b，a路上有一小商店A,b路上有一批发部B．小商店主人每次进货都沿着A—O—B路线到达B处，然后原路返回．已A,B两处距十字路口O的距离分别为600米、800米，如果小商店主人重新选一条最近的路线，那么往返一趟最多可比原来少走米．【考试题型2】勾股定理与将军饮马模型综合6．（2022上·云南·八年级校考期末）白日登山望烽火，黄香饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：如下图，诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若点A到水平直线l（l表示小河）的距离AC为3，点B到水平直线l的距离BD为2，A、B两点之间的水平距离CD是3，则AP+PB最小值为（

）A．34 B．4 C．5 D．―347．（2023上·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，A、B两个村在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B俩村供水，铺设水管的费用为每千米1万，请你在河流CD上选择水厂的位置P，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？8．（2020上·江苏南通·八年级校考期末）在一平直的河岸l同侧有两A、B村，A村位于河流/正南4km,B村位于A村东8km南7km处，现要在河岸边建一水厂C9．（2022上·山东济南·七年级校考期中）如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，a2=13，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．10．（2021上·山东青岛·八年级统考期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积：S梯形ABCD＝，S△EBC＝，S四边形AECD＝，再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为，化简后，可得到勾股定理．【知识运用】如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为米．【知识迁移】借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式x2+9+(15-x)2+25【考试题型3】用垂线段求最短距离11．某校要把一块形状是直角三角形的废地开发为生物园．如图所示，∠ACB=90°，AC=80m，BC=60m．若线段CD为一条水渠，且D在边AB上，已知水渠的造价是10元/米，则D点在距A点多远处时此水渠的造价最低？最低造价是多少？在图上标出D点．12．（2022下·甘肃平凉·八年级统考期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为海港，且点C与直线l上的两点A，B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围260(1)求∠ACB的度数；(2)求海港C到直线AB的最短距离；(3)海港C受台风影响吗？若受影响请计算受影响时间，若不受影响请说明理由．【考试题型4】台阶中的最短距离13．（2023上·陕西西安·八年级统考期中）如图，在一个长为20m，宽为16m的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2m的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C

A．24m B．813m C．1614．（2023上·甘肃张掖·八年级校考阶段练习）如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为米．

15．（2023上·山东枣庄·八年级校考阶段练习）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m16．（2022下·重庆九龙坡·八年级统考期末）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？【考试题型5】圆柱中的最短距离17．（2023上·山东济南·七年级统考期中）如图，圆柱形玻璃杯，底面周长为16cm，AC是底面圆的直径，点P是BC上的一点，且BC=20cm，PC=34BC，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点P

18．（2023上·全国·八年级专题练习）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上．

（1）若绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是尺．（2）若绕n周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是尺．19．（2023上·江西九江·八年级校考阶段练习）课本再现如图1，有一个圆柱，它的高为12cm，底面圆的周长为18cm．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点

方法探究（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______cm．方法应用（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为3cm，高为10cm．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度．（3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为30cm，高为35cm，杯底厚1cm．在玻璃杯外壁距杯口2cm的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B【考试题型6】长方体的最短距离20．（2023上·福建宁德·八年级统考期中）如图是一个长方体包装盒，高为5cm，底面是正方形，边长为6cm，现需用绳子装饰，绳子从A出发，沿长方体表面绕到C处，则绳子的最短长度是（A．10 B．11 C．12 D．1321．（2023上·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校联考期中）如图，一个长方体蛋糕盒的长、宽、商分别为40cm、30cm、20cm，点E到点D的距离为10

A．1029cm B．1037cm C．22．（2023上·河南郑州·八年级校考阶段练习）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm，高AB=50cm，水深AE=40cm，在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且FG=30cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为（A．100 B．110 C．502+10 D23．（2023上·山西太原·八年级统考期中）包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图1，创意DIY小组的同学将一个10cm×30cm×40cm的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图2所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点A出发，沿书架内壁爬行到顶点24．（2023上·河南郑州·八年级校联考期中）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=4m，一滑行爱好者从A点滑行到E点，则他滑行的最短距离为m（π的值为

25．（2023上·山东东营·七年级统考期中）如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为．

26．（2023上·河南郑州·八年级校联考阶段练习）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1

(1)请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB=BC=4，【考试题型7】正方体的最短距离27．（2023上·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期中）如图，有一棱长为3dm的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点A到点D拉一条捆绑线绳，使线绳经过ABFE、BCGF、EFGH、CDHG四个面，则所需捆绑线绳的长至少为（

）dm．A．15 B．9 C．313 D．28．（2023·江苏南京·统考一模）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面