专题322双曲线的简单几何性质-原卷版

专题3.2.2双曲线的简单几何性质【基本知识梳理】知识点1：双曲线的几何性质焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)【特别注意】(1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大．(2)等轴双曲线（实轴与虚轴等长的双曲线）的离心率为eq\r(2)，渐近线方程为y＝±x.(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．(4)焦点到渐近线的距离为b.知识点2：由双曲线的几何性质求标准方程(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)巧设双曲线方程的技巧①与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．②渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．知识点3：求双曲线的离心率(1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝eq\f(c,a)得解．(2)齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．知识点4：双曲线定义的应用双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝eq\f(c,a)(e>1)时，这个点的轨迹是双曲线．【题型1双曲线的焦点、焦距、长轴、短轴的求解】【例1】（20232024∙高二上∙山东淄博∙期中A． B． C． D．【变式11】（20232024∙高二上∙贵州黔东南州∙期末）【变式12】（20232024∙高二上∙天津市河东区∙期末）A．16 B．8 C．4 D．3【变式13】（20232024∙高二上∙江苏扬州∙期末）（多选）椭圆CA．有相同的焦点 B．有相等的焦距C．有相同的对称中心 D．可能存在相同的顶点【题型2利用双曲线的几何性质求标准方程】【例2】（20232024∙高二上∙广东佛山∙期末）已知双曲线C的虚轴长为8，两个顶点分别为椭圆E:A．x29−C．x225−【变式21】（20232024∙高二上∙安徽∙月考）已知等轴双曲线C的对称轴为坐标轴，且经过点AA．x236−y236=1 B．【变式22】（20232024∙高二上∙黑龙江鹤岗市∙月考）（多选）已知双曲线C：x2a2−y2A．离心率为54 B．双曲线过点C．渐近线方程为3x±4y=0 D．实轴长为4【变式23】（20232024∙高二上∙山东泰安∙月考）已知双曲线C渐近线方程为，两顶点间的距离为6，则该双曲线【变式24】（20232024∙高二上∙浙江嘉兴∙期中）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线​​下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（A.​ B.​C​ D.​【变式25】（20232024∙高二上∙湖北孝感∙月考）已知双曲线M(1)若M经过抛物线y=−x2+8x−14(2)若双曲线M的两个焦点分别为F1，F2，点P为M上的一点，且PF【题型3双曲线的渐近线方程】【例3】（20232024∙高二下∙浙江∙期中）双曲线A. B. C. D.【变式31】（20232024∙高二上∙湖南∙期中）已知双曲线的实轴长为6，焦点为，则A.B.C.D.【变式32】（20232024∙高二上∙上海∙期中）双曲线x2−y2=1在左支上一点P(a,b)【变式33】（20232024∙高二下∙吉林∙期中）若圆M：x−22+y2A．1 B．2 C．2 D．2【变式34】（20232024∙高二上∙山东菏泽∙期中）（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：A.C的离心率为2 B.C的渐近线方程为C.C的实轴长为2 D.C的右焦点到渐近线的距离为【题型4求双曲线的离心率的值】【例4】（20232024∙高三上∙山东日照∙期末）已知双曲线C:x2a【变式41】（20232024∙高二上∙山东菏泽∙期中）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),F,AA．3 B．62 C．2 D．【变式42】（20222023∙高二上∙山东菏泽∙期中）设双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左，右焦点分别为F1，F2【变式43】（20232024∙高二上∙山东青岛∙期中）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【变式44】（20232024∙高二上∙山东菏泽∙期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点．若，则（）A. B. C. D.【题型5求双曲线的离心率的取值范围】【例5】（20232024∙高二上∙山东济南∙期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【变式51】（20232024∙高二上∙山东泰安∙期末）（多选）已知曲线（为实数），则下列结论正确的是（A.若，则该曲线为双曲线B.若该曲线是椭圆，则C.若该曲线离心率为，则D.若该曲线为焦点在轴上的双曲线，则离心率【变式52】（20232024∙高三下∙山东菏泽∙校级月考）已知F1，F2分别是双曲线x2a2−y【变式53】（20232024∙高三下∙山东菏泽∙模拟）已知e1,e2分别为椭圆x2A．2 B．3 C．4 D．5【题型6根据双曲线的离心率求值或取值范围】【例6】（20232024∙高二上∙山东枣庄∙期末）若离心率为的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则（）A. B. C. D.【变式61】（20232024∙高二上∙安徽∙期中）已知双曲线的离心率是分别为双曲线的左､右焦点，过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，则的值为__________.【变式62】（20232024∙高二上∙重庆∙期中）（多选）已知双曲线的离心率为，该双曲线的渐近线与圆交于、两点，则的可能取值为（）A.4 B. C. D.8【变式63】（20232024∙高二上∙广东东莞∙月考）已知双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点M−a,0，N【题型7双曲线的实际应用问题】【例7】（20232024∙高二下∙浙江∙月考）江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5A.米 B.米 C.米 D.30米【变式71】（20232024∙高二上∙山东烟台∙月考

【变式72】（20232024∙高二上∙浙江温州∙期中）双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线的右焦点F2发出的光纤经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为x2a2−y

【变式73】（20222023∙高二上∙山东德州∙期中）（多选）双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，则（）A.双曲线的焦点到渐近线的距离为B.若，则C.当n过点时，光线由所经