探究与发现函数y=x(1x)的图象与性质教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版

《探究函数的图象和性质》教学设计林燕一、教学内容解析：本节课的教学内容是人教A版高中数学必修第一册3.3节幂函数—探究与发现：探究函数的图象和性质。对勾函数是游离在基本函数之外，却被经常考查到的函数，所以在新教材中，函数主线内容新增加对勾函数很有必要。对勾函数的课程安排在一般函数及基本性质和幂函数之后，通过前面幂函数的学习，使得学生养成从概念、定义域、值域、奇偶性和单调性五个方面研究函数的习惯，加强了对新函数的研究方向的把握，学习本节课的内容，是对前面已经学习的函数的复习与延续。学习一种新的函数，体验数形结合思想在数学学习中的应用，提升学生的直观想象、数学建模、逻辑推理和数学抽象等素养。二、学生学情分析：对勾函数的课程安排在幂函数之后，通过幂函数的学习，学生明确研究一类具体函数的基本过程：（1）根据函数的解析式求出定义域；（2）画函数的图像；（3）利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等。前面对基本不等式的学习，可以让学生快速的找到最值。教学目标：（核心素养的体现）数学抽象：通过函数的图象抽象出它的性质，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系。逻辑推理：从特殊函数到一般函数的推理，推理形式主要有归纳和类比。数学建模;建立和求解函数模型,通过软件GeoGebra检验调整参数和的值，模拟的动态情况，直观的帮助学生分析和解决问题。数据分析和直观想象：通过对函数列表、描点、作图的过程，提高学生数据处理、直观想象的能力；教学重、难点：重点：函数的图象及性质.难点：函数的图象。五、教学媒体PPT，《GeoGebra》六、教学设计(一)课堂导入:在初中，我们知道是正比例函数，是反比例函数，学习了幂函数以后，我们知道它们都是幂函数。不同的函数通过加、减、乘、除等运算可以构成新的函数。那么将这两个函数相加构成的函数有哪些性质？这些性质与这两个函数的性质有联系吗？下面请同学们带着问题探究一下函数设计意图：采用设疑导入，用探究的方式对课程内容进行提问，提高学生的学习兴趣。通过对学生规范的引导及证明得出准确的结论，有利于学生建立提出问题，思考问题，解决问题的数学思维体系。探索新知探究1：函数的图像与性质问题1：你认为可以从哪些方面研究这个函数?（想一想，前面对幂函数的研究过程）教学预设：可以从函数的图象和性质（函数三要素、函数单调性、奇偶性等方面）研究函数。问题2：你认为可以按照怎样的路径研究这个函数？教学预设：通过做函数的图象，观察函数的性质，也可以通过函数解析式求函数的定义域，值域、奇偶性等性质。教学意图：学生从函数图像和解析式两个角度认识函数的性质，从解析式中可以获得定义域、奇偶性等性质（在必修第一册84页例6（3）已经判断过这个函数是奇函数，在79页例3用定义法证明此函数在上单调递增，45页例1用基本不等式求在的最小值），利用奇函数的特点简化作图过程，使研究解析式和作函数图象相辅相成。问题3：函数图像如何做呢？学生通过列表、描点做出图象，自己感受图象的生成过程，老师借助GeoGebra作图软件，更为精细的展示函数的图象。问题4：观察函数图象，同学们能得到些什么性质呢？并说明理由。教学预设：学生能得到定义域，值域、单调性、奇偶性，渐近线不易想到解析式定义域最值当时，函数在处有最小值2当时，函数在处有最大值2值域单调性在，单增；在，单减奇偶性奇函数渐近线和问题5：利用函数和的图象变化趋势说明函数的图像变化趋势。（通过作图软件在同一坐标系下作出三个函数的图象，便于学生观察）教学预设：函数图象在时函数值从0增加到1，图象从正穷减小到1，因为函数图象递减的速度要大于递增的速度，所以两个函数加起来得函数的图象在从无穷大减小到2.当时，的图象从1增加到正无穷大，图象从1减小到无线接近0的数，因为增加得更快，所以两个函数加起来，得到函数图象在时，从2增加到正无穷大。同理，可以说明函数在时的图象变化趋势。设计意图：为后面知识《不同函数增长的差异》打好基础。探究2：形如函数图象又是怎样的呢？探究3：函数的图象与性质。解析式定义域最值当时，函数在处有最小值当时，函数在处有最大值值域单调性在，单增；在，单减奇偶性奇函数渐近线和例1、求函数的值域。解：结合图象可知，在单调递减，在单调递增，所以，又因为，所以所以函数值域为设计意图：培养学生作图，理解和掌握数形结合的方法，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围。解：因为变形为对恒成立。所以因为在单调递减，在单调递增.设计意图：培养学生逻辑推理的核心素养，转化与化归、数形结合的数学思想。小结：通过对勾函数图象与性质的探究，你有哪些体会？作业：1、作函数的简图，讨论函数在时的单调性，并证明.设计意图：通过这个练习，让学生进一步熟悉双勾函数的图象，并体会数形结合的思想，然后通过函数单调性的证明，进一步证实性质的真实性。，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围。设计意图：是例二的补充，对前面不等式知识的进一步巩固，也融合了新知识，加深本节课知识的理解和应用答案：（1）图略；函数在单增，在单减。证明如下：，且，有=由得。又由，得，所以即。所以函数在单增。同理可证在单减。2、解：由题知：可变形为，。所以，因为在单调递减，在单调递增.且。所以。七、教学情况：本节课的教学设计，以立德树人为理念，整堂课学生参与度高，做到了学生为主，教