13二次根式的乘除法

专题1.3二次根式乘除运算【学习目标】1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.2.理解并应用积的算术平方根和商的算术平方根的性质进行简单运算3.了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】知识点一、二次根式的乘法及积的算术平方根

1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：①多个二次根式相乘时二次根式的乘法法则也适用，即a∙b∙c……k=a∙b∙c……k（a≥0,b②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法则计算，即ma⋅nb=mna∙b  （a≥0,b≥0)2.积的算术平方根:

（≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.

要点诠释：归纳化简步骤①把被开方数分解因式(或因数)②把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积③如果因式中有平方式(或平方数)，应用a2=|a|，把这个因式(或因数)开出来,将二次根式化简知识点二、最简二次根式把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化（1）二次根式中被开方数不含有分母；（2）二次根式中被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.特别说明：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.知识点三、二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除。要点诠释：当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得2.商的算术平方根的性质:

（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

【典型例题】类型一、最简二次根式1.下列根式中，不是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】B．【解析】解：因为==2，因此不是最简二次根式．故选B．【总结升华】规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．【变式】化简（1）（2）【答案】(1)原式==;（2）原式=2.已知0<<,化简.【答案与解析】原式===【总结升华】成立的条件是>0;若<0,则.类型二、二次根式的乘除法3．计算(1)；(2)×；(3)3×÷2；(4)；【答案与解析】原式=．原式===×=×=；（3）原式＝（4)==×2=2.【总结升华】直接利用计算即可．【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正：

(1)；(2)×=4××=4×=4=8.【答案】(1)不正确．改正：=＝×=2×3=6；(2)不正确．改正：×=×===＝4.4.计算：（1）4÷（﹣）×．（2）计算：÷×．【答案与解析】解：（1）原式=﹣2÷×=﹣×=．（2）原式÷×==．【点拨】掌握乘除运算的法则，并能灵活运用.5．小东在学习了后，认为也成立，因此他认为一个化简过程：=是正确的．（1）你认为他的化简对吗？如果不对，请写出正确的化简过程；（2）说明成立的条件；（3）问是否成立，如果成立，说明成立的条件．【答案】（1）他的化简不对，正确化简过程见解析；（2）a≥0，b＞0；（3）a≤0，b＜0【分析】（1）根据二次根式的被开方数的非负性即可解答；（2）根据二次根式的被开方数的非负性和分母不为0即可解答；（3）根据二次根式的被开方数的非负性和分母不为0即可解答．解：（1）他的化简不对，正确的化简过程为：==2；（2）若成立，则a≥0，b＞0；（3）∵当﹣a≥0，﹣b＞0时，成立，当a≤0，b＜0时，成立．【点拨】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、二次根式的乘除法，熟知二次根式除法法则适用的条件是解答的关键．【变式】．已知：（1）求和的值（2）若，求x的值（3）若，求a的值【答案】（1），；（2）x=0.236；（3）a=2.36．【分析】（1），，再利用二次根式的乘法法则即可得出；（2），再利用二次根式的乘法法则即可得出答案；（3）由二次根式的乘法法则可将化为，由此可得a的值．解：（1），；（2）∵，故x=0.236；（3）由可得，即，故a=2.36．【点睛】本题考查二次根式的乘法法则．熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．二次根式的乘除运算（专项练习）1.下列计算正确的是（）A．×= B．x8÷x2=x4 C．（2a）3=6a3 D．3a5•2a3=6a6【答案】A．【解析】A、×=，正确；B、x8÷x2=x6，故此选项错误；C、（2a）3=8a3，故此选项错误；D、3a5•2a3=6a8，故此选项错误.2.当<0,<0时，化简得（）A．B.C.D.【答案】C【解析】原式===.3.在中，最简二次根式有（）A．1个B.2个C.3个D.4个【答案】A4.化简二次根式的正确结果是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】.5.下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A、不是最简二次根式，故本选项错误；B、不是最简二次根式，故本选项错误；C、不是最简二次根式，故本选项错误；D、是最简二次根式，故本选项正确；6.已知，化简二次根式的正确结果为（）.A.B.C.D.【答案】D【解析】因为，是被开方数，所以y<0,x<0.所以原式===7．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（

）A．6 B． C．12 D．【答案】A【分析】首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值．【详解】∵，∴，∴的整数部分，∴小数部分，∴．故选：．【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键．8．如图．从一个大正方形中裁去面积为m2和cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为（

）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【答案】D【分析】直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．【详解】解：∵两个小正方形面积为8cm2和18cm2，∴大正方形边长为：，∴大正方形面积为（5）2=50，∴留下的阴影部分面积和为：50818=24（cm2）故选：D．【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确得出大正方形的边长是解题关键．9．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据最简二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．10．若，则代数式的值为（

）A．7 B．4 C．3 D．【答案】C【分析】先将代数式变形为，再代入即可求解．【详解】解：．故选：C【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x的值直接代入计算．11．估计的值应在（

）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间【答案】B【分析】根据二次根式的混合运算进行化简，进而估算即可求解．【详解】解：原式＝，，，故选B．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无数的估算，正确的计算是解题的关键．12．已知x=1+，y=1，则代数式的值为（）A．2 B．±2 C．4 D．【答案】A【详解】∵x=1+，y=1，∴==2，故选A.二.填空题13.计算：=．【答案】12．【解析】=3×÷=3=12．14.等式成立的条件是．【答案】a≥3.【解析】由题意得，，解得：a≥3．15．计算：(1)=_______；(2)=________.【答案】（1）；（2）6.16.化简：（1）=_________,(2)=___________.【答案】(1);(2).【解析】（1）.原式=;(2).原式=.17.若=0，则=_______________.【答案】1【解析】因为=0，所以2x≥0，x2≥0，所以x=2;则原式=.18.有如下判断：（1）(2)=1(3)(4)（5）（6）成立的条件是同号.其中正确的有_____个.【答案】2个【解析】只有（1），（3）正确.19．若的整数部分是a，小数部分是b，则的值是___________．【答案】【分析】首先根据的取值范围得出a，b的值进而求出即可．【详解】解：∵，的整数部分是a，小数部分是b，∴a=1，b=∴故答案为：【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，得出a，b的值是解题关键．20．化简；（1）_____________；（2）___________；（3）_____________；【答案】

，

，

．【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则计算，然后利用二次根式性质化简即可；（2）先把被开方式因式分解，利用二次根式性质化简，化简结果也可即可；（3）利用乘方的逆运算分出一次幂与10次幂即，再利用积的乘方逆运将底数用平方差公式化简后再与一次幂因式相乘．【详解】解:（1）；（2）；（3）故答案为（1）；（2）；（3）．【点睛】本题考查二次根式的乘法乘方混合运算，掌握二次根式性质，二次根式乘方与乘法运算法则是解题关键．三、综合题21.先化简，再求值：，其中.【解析】原式=当时，原式=.22．已知，求的值．【答案】【分析】根据非负数的意义求出、的值，再把进行变形，最后把、的值代入计算即可求出值．【详解】解：∵∴，，解得：，，∵，当，时，原式．【点睛】本题考查非负数的性质，代数式的化简求值，二次根式的性质，绝对值的性质．理解和掌握绝对值，二次根式的性质是解题的关键．23．当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程：(1)的解法是错误的；(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；(3)当时，求的值．【答案】(1)小亮(2)(3)2【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可求出答案．（2）根据二次根式的性质化简即可求出答案．（3）根据的范围判断与的符号，然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简即可求出答案．【详解】（1）原式，，∵，∴，∴原式，故小亮的解法错误，故答案为：小亮．（2），故答案为：．（3）∵，，，∴原式，．【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．24．若最简二次根式与可以合并．(1)求的值；(2)对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“※”如下：※＝，如：3※2＝＝．请求※[※（－2）]的值．【答案】(1)6(2)【分析】（1）根据同类二次根式的性质列出等式即可求解a；（2）代入a的值，根据新定义的运算法则即可求解．【详解】（1）∵最简二次根式与可以合并，∴，∴，（2）当时．【点睛】本题考查了同类二次根式的性质、新定义下的实数的运算等式，理解新定义的运算法则是解答本题的关键．25．先阅读，后解答：，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______．(2)（4）