中考初中数学-必考知识点分类全总结

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中考初中数学-必考知识点分类全总结

第一讲数与式(一)

1.实数的有关概念

(1)实数分类：实数还可以分为：正实数、零、负实数；

有理数还可以分为：正有理数、零、负有理数。

解题中需考虑数的取值范围时，常常用到这种分类方法。特别要注意0是自

然数。

(2)数轴

数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。

实数与数轴上的点是一一对应的，这种一一对应关系是数学中把数和形结合起

来的重要基础。

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

[a(a>0)

|a|=<0(a=0)

(3)绝小但<0)对值

绝对值的代数意义：

绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距

离。

(4)相反数、倒数

相反数以及倒数都是成对出现的，零的相反数是零，零没有倒数。"任意一对相

反数的和是零"和"互为倒数的两个数的积是1"的特性常作为计算与变形的技

15.

(5)三种非负数

同、a?、4<a>0)形式的数都表示非负数。"几个非负数的和(积)仍是非负

数"与"几个非负数的和等于零，则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于

化简求值。

(6)平方根、算术平方根、立方根的概念

(7)易错知识辨析

(1)近似数、有效数字如0.030是2个有效数字(3,0)精确到千分位；3.14x

105是3个有效数字；精确到千位.3.14万是3个有效数字(3,1,4)精确到

百位.

(2)绝对值国=2的解为尸垃;而|-2|=2，但少部分同学写成|-2|=±2.

(3)在已知中，以非负数a?、同、,320)之和为零作为条件，解决有关问题.

2.实数的运算

(1)实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算，整数指数幕的运算。

(2)有理数的运算法则在实数范围仍然适用；实数的运算律、运算顺序。

(3)加法及乘法的运算律可用于实数运算的巧算。

(4)近似数的精确度、有效数字、科学记数法的形式为。。(其中iWa|<io.n为

整数)。

(5)实数大小的比较：两个实数比较大小，正数大于零和一切负数；两个正

数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。常用方法：①数轴图示

法。②作差法。③平方法等。

第二讲数与式(二)

一、整式的概念

地项式——单项式的次数系数

多项式——多项式的次数项数系数——升降扉排列

(1)整式中只含有一项的是单项式，否则是多项式，单独的字母或常数是单项

式；

(2)单项式的次数是所有字母的指数之和；多项式的次数是多项式中最高次项

的次数；

(3)单项式的系数，多项式中的每一项的系数均包括它前面的符号

(4)同类项概念的两个相同与两个无关：

两个相同：一是所含字母相同，二是相同字母的指数相同；

两个无关：一是与系数的大小无关，二是与字母的顺序无关；

(5)整式加减的实质是合并同类项；

(6)因式分解与整式乘法的过程恰为相反。

2.整式的运算

1)单项式：数字与字母的积组成的的代数式叫做单项式,单独的一个数或者一个

字母也是单项式，如5,a,-3a,ab/2是单项式，而a+b和小不是单项

式。

①单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。如-3a的系数-3,

ab/2的系数1/2

注意：单项式的系数一定不能忽略符号！

②单项式的次数：单项式中的所有字母的指数的和叫做单项式的次数。如-2a

的次数为1，-xy2的次数是3,ab/5的次数是2

2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。如a+b、?、x+1等等

多项式的项：多项式中每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫

做常数项。例如多项式2x3-31-1中有三项，分别是2x3、-3/和-1，其中_1

是常数项。

多项式的次数：多项式的次数由多项式中次数最高的项的次数决定，次数最

高的项的次数就是该多项式的次数，例如：多项式2x3-3x2-1的次数是3,

4a%+3ab2-1的次数是5

多项式的降（升）幕排列：把一个多项式按照某一字母的指数从大到小（或

从小到大）的顺序排列起来，叫做把多项式按照这个字母的降（升）幕排

歹I」。

3.同类项与合并同类项

1）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常

数项也是同类项。例如，分与-3分,m2n3与小2都是同类项,而°庐舟不是同

类项。

注意：几个单项式是同类项的条件只有两介：1所含字母相同2相同字母的

指数分别相同。同时具备这两个条件的单项式是同类项，缺一不可

几个单项式是否是同类项，与他们的系数无关，与字母的排列顺序无

咨

2）合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项

合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指

数不变。

注意：不是同类项不能合并

4.去括号与添括号

1）去括号法则：括号前面是+,去掉+,括号里各项不变号；括号前面是-,去掉

-,括号里各项改变符号

注意：去括号法则的理论实质是乘法法的分配率。例如十（a+b-c）

=(+1)(a+b-c)=a+b-c;-(a+b-c)=(-1)(a+b-c)=-a-b+c

2）添加括号法则：括号前面添+,括号里面的各项符号不改变;括号前面添-，

括号里面的各项符号都改变；

5.整式的加减运算

整式的加减就是合并同类项。

整式的加减的步骤与方法：1.去括号2.合并同类项

6.整式的乘法运算

1）幕的乘法运算

L同底数幕的乘法法则：同底数幕相乘，底数不变，指数相加，即

a'"-hn=a"14"（m、n都是正整数）

ii.幕的乘方法则：幕的乘方，底数不变，指数相乘，即

（a"'）"=amn（m、n都是正整数）

iii.积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相

乘,即（ab）m=a"V（m是正整数）

2）单项式与单项式的乘法法则：几个单项式相乘，把它们的系数、相同字母的鬲

分别相乘，其余字母连同它的指数不变作为积的因式：例如

-3a-2a2b=（-3x2）«-a'-b=-6«h

3）单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律，用单项

式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加

4)多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先把一个多项式的每一项

乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即

(a+b)(m+〃+/)=aim+〃+/)+h(m+〃+/)=am+an+R+bm+bn+bl

5)乘法公式

i.平方差公式：两数和与两数差的积，等于他们的平方差，即(“+/>)(“-»―

右图是平方差公式的几何背景示意图：

ii.完全平方公式：两数和的平方等于它们的平方和加上它们乘积的2倍，两数

差的平方等于它们的平方和减去它们乘积的2倍，即("+”="：+2"+力

(a-b)~=-2ab+b~

下图为两数和与两数差的完全平方公式的几何意义示意图：

7.整式除法

1)同底数鬲的除法法则：同底数鬲相除，底数不变，指数相减，即：

a』』"",其中"0,加>〃,且m、n都是正整数;

当用=”时,，+/=b=/=1

2)零指数幕：规定"不等于零的任何实数的零次幕都等于1",即J=股，0)

3)负整数指数鬲：规定任何不等于零的实数的-n(n是正整数)次幕，都等于这

个数的n次幕的倒数，即「=二("0)

a

aab

注意：弟入零指数幕和负整数幕以后，指数的范围由正整数扩大到整数，这里

需要强调的是指数范围扩大后，幕的性质仍然成立，但必须注意，当指数是零

或负整数时工【不能为零

4)单项式除以单项式法则

两个单项式相除，把它们的系数、同底数幕分别相除以后，作为商的因式；对

于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。例如：

-21a帆1+3而=(-21+3卜(心<0,(/>’-rb)c=-lab2c

5)多项式除以单项式法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商

相力口IBP+bm+cm)^m=am-i-m+bmm+cm-i-in=a+b+c

注意：多项式除以单项式，所得的商仍是多项式，并且商的项数和原多项式的

项数相同。

8.因式分解

多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积•分解因式要进行到每一

个因式都不能再分解为止.分解因式的常用方法有：

(1)提公因式法

如多项式am卜hm+cm=tn(a+〃+c).

其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个

多项式.

(2)运用公式法，即用

a:-b^<a*bXa-b).日中在中

a'±2ab+b'=(a±”'，与田如宋•

a'1b*=(a1bXa'+ab+b')

(3)十字相乘法

对于二次项系数为I的二次三项式V、必+4,寻找满足ab=q,a+b=p的a,

?

b,如有，则/+pr+”(x+v4b):对于般的一次二项式外f-l)X+C(a/0)、寻找满足

a〔a2=a,C1C2=c,a1C2+a2cl=b的a］，a2,J,C2,如有，贝!J

ax'+hx4-c=(<7rv+(1)(<?,v+c:).

(4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因

式在各组之间进行.

分组时要用到添括号：括号前面是"+”号，括到括号里的各项都不变符号；括

号前面是号，括到括号里的各项都改变符号.

二、分式的概念

1.分式的定义：整式A除以整式B,可以表示成，的形式。如果除式B中含有字

母，那么称［为分式，其中A称为分式的分子，B为分式的分母。

D

对于任意一个分式，分母都不能为零。

2.分式的约分

3•分式的通分

4.分式的性质

(1)牛*…)(2)已知分式g,分式的值为正：a与b同号；分式的值为负：

onob

a与b异号；分式的值为零：a=0且b/0;分式有意义：b.0o

(3)零指数"。=1("0)

(4)负整数指数a，=；(aHO.p为正够数).

ap

ronmtn

a.a=a,

(5)整数幕的运算性质E—a-(a，OK

—=a/

(ab)n=anbn

上述等式中的m、n可以是0或负整数.

三、根式的有关概念

1.平方根：若x2=a(a>0)，则x叫做a的平方根，记为±6。

注意：①正数的平方根有两个，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数

没有平方根；

2.算术平方根：一个数的正的平方根叫做算术平方根；

3.立方根：若x3=a(a>0)，则x叫做a的立方根，记为小。

4.最简二次根式

被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次

根式，叫做最简二次根式。

5.同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式。

知识点7二次根式的性质

①6(a±0)是一个非负数；②(〃尸=心20)

[a(a>0)I

③(A)'=|a|=«0(a=0)(3)J^=-p(a>0,h>0)

⑤-Jab=4a-4b(a>0,h>0)

知识点8二次根式的运算

(1)二次根式的加减

二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分

别合并.

(2)二次根式的乘法

二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即

7a17b=7ab(a>O.b>0)

二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行.

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个

二次根式互为有理化因式.

(3)二次根式的除法

二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化

因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分).把分母的根号化去，叫做分母有

理化.

第三讲方程

知识要点

一、方程有关概念

1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个

未知数的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增

根。

二、一元方程

1、一元一次方程

(1)一元一次方程的标准形式：ax+b=O(其中x是未知数，a、b是已知

数，awO)

(2)一元一次方程的最简形式：ax=b(其中x是未知数，a、b是已知数，a

W0)

(3)解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系

数化为1。

(4)一元一次方程有唯一的一个解。

2、一元二次方程

(1)一元二次方程的一般形式：ax2+/«+c=0(其中X是未知数，a、b、c是

已知数，awO)

(2)一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法

(3)一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不

用配方法。

(4)一元二次方程的根的判别式：A=b、4“,

当△>0时。方程有两个不相等的实数根；

当△=()时0方程有两个相等的实数根；

当A<0时。方程没有实数根，无解；

当ANO时o方程有两个实数根

(5)一元二次方程根与系数的关系：

若是一兀二次方程尔+加+C=0的两个根，那么：X+工,=-2,X,-X,=-

aa

(6)以两个数“三为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：

2

x-(x,-bx2)x-bxlx2=0

三、分式方程

(1)定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

(2)分式方程的解法：

一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。

特殊方法：换元法。

(3)检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不

为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍

去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。

第四讲方程组

四、方程组

1、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。

2、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组

3、一次方程组:

(1)二元一次方程组：

一般形式：+y=q(q.a,你A.W不全为0)

解法：代入消元法和加减消元法

解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。

(2)三元一次方程组：

解法：代入消元法和加减消元法

4、二元二次方程组：

(1)定义：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组以及由两

个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组。

(2)解法：消元，转化为解一元二次方程，或者降次，转化为二元一次方程

组.

第五讲不等式和不等式组

知识要点：

1、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

2、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。

3、不等式的解集在数轴上的表示：

(1)x>a:数轴上表示a的点画成空心圆圈，表示a的点的右边部分来表示；

(2)x<a:数轴上表示a的点画成空心圆圈，表示a的点的左边部分来表示；

(3)x>a:数轴上表示a的点画成实心圆点，表示a的点及表示a的点的右边部

分来表示；

(4)x<a:数轴上表示a的点画成实心圆点，表示a的点及表示a的点的左边部

分来表示。

在数轴上表示大于3的数的点应该是数3所对应点的右边。画图时要注意方向

(向右)和端点(不包括数3,在对应点画空心圆圈)。如图所示:

II,1,1,2.

-10I2345

同样，如果某个不等式的解集为XW-2,那么它表示x取-2左边的点

画实心圆点。如图所示：

总结：在数轴上表示不等式解集的要点：

小于向左画，大于向右画；无等号画空心圆圈，有等号画圆点。

4、不等式的性质:

(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不

变；

(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；

(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

5、一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1,系数不等于

0的不等式，叫做一元一次不等式。

6、解一元一次不等式的一般步骤：

(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)未知数的系

数化为1。

通过这些步骤可以把一元一次不等式转化为x>a(x2a)或x<a(x«a)的形

式。

7、一元一次不等式组：由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫

做一元一次不等式组。

8、不等式组的解集：不等式组中所有的不等式的解集的公共部分叫做这个不等式

组的解集。

不等式组（a忆口

数轴表示解集

<b）诀

x>a同大取

(1)—(!>—A---------►

x>babx>b

大

x<a同小取

(2)k

<b—H-x<a

小

x>a大小取

(3)看A

x<b9a<x<b

中

两边无

(4)

x>b无解

ab解

9、解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组。

10、解一元一次不等式组的一般步骤：先分别解不等式组中的各个不等式，然后再

求出这几个不等式解集的公共部分。

11、应用一元一次不等式（组）的知识解决简单的数学问题和实际问题。

第六讲函数

知识要点：

1、平面直角坐标系与点的坐标

一个平面被平面直角坐标分成四个象限，平面内的点可以用一对有序实数来表示

平面内的点与有序实数对是一一对应关系，各象限内点都有自己的特征，特别要注

意坐标轴上的点的特征。点P(X、y)在X轴上。y=0,X为任意实数，

点P(x、y)在y轴上，。x=0,y为任意实数，点P(x、y)在坐标原点。x

=0,y=0o

2、对称点的坐标的特征

点P(x、y)关于x轴的对称点Pi的坐标为(x,-y);关于y轴的对称轴点

P2的坐标为(-x,y);

关于原点的对称点P3为(-x,-y)

3、距离与点的坐标的关系

点P(a,b)到x轴的距离等于点P的纵坐标的绝对值，即|b|

点P(a,b)到y轴的距离等于点P的横坐标的绝对值,BP|a|

点P(a,b)到原点的距离等于：百万

4、与函数有关的概念

函数的定义，函数自变量及函数值；函数自变量的取值必须使解析式有意义当

解析式是整式时，自变量取一切实数，当解析式是分式时，要使分母不为零，当解

析式是根式时，自变量的取值要使被开方数为非负数，特别地，在一个函数关系

中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围

的公共部分。

5、已知函数解析式，判断点P(x,y)是否在函数图像上的方法，若点P(x,y)

的坐标适合函数解析式，则点P在其图象上；若点P在图象上，则P(x,y)的

坐标适合函数解析式.

6、列函数解析式解决实际问题

设x为自变量，y为x的函数,先列出关于x,y的二元方程，再用x的代数式

表示y,最后写出自变量的取值范围，要注意使自变量在实际问题中有意义。

7、一次函数与正比例函数的定义：

y=kx+b（k,b是常数，kA0）那么y叫做x的一次函数，特别地当b=0

时，一次函数y=kx+b就成为y=kx（k是常数，心0）这时，y叫做x的正比例

函数。

8、一次函数的图象和性质

一次函数丫=kx+b的图象是经过点（0,b）和点（-3°）的一条直线，k

值决定直线自左向右是上升还是下降，b值决定直线交于y轴的正半轴还是负半轴

或过原点。

9、两条直线的位置关系

设直线，1和，2的解析式为y=Kx+bi和y2=k2x+b2则它们的位置关系由系数

关系确定

klHlQo㈠与，2相交，

ki=k2,b1^b2G>与f2平行

10、k的求法

待定系数法

11、反比例函数的定义

开?如：y=;或y=kx-（k是常数且k/0）叫做反比例函数，也可以写成xy=k

（k/0）形式，它表明在反比例函数中自变量x与其对应的函数值y之积等于已知

常数匕

12、反比例函数的图像和性质

反比例函数的图像是双曲线，它是以原点为对称中心的中心对称图形，同时又是

直线y=x或y=-x为对称轴的轴对称图形，当k>0时，图像的两个分支分别在

一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，当k<0时，图象的两个分支分

别在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。

13、反比例函数中比例系数k的几何意义。

过双曲线上任意一点P作x轴、y轴的垂线PA、PB所得矩形的PAOB的面积

为因。

14、二次函数的定义

形如：y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，awO)那么y叫做x的二次函数，它常用

的三种基本形式。

一般式:y=ax2+bx+c(awO)

顶点式：y=a(x-h)2+k(aw0)

交点式：y=a(x-Xi)(x-x2)(awO,x*X2是图象与x轴交点的横坐

标)

15、二次函数的图象与性质

二次函数y=ax2+bx+c(a/0)的图象是以(-产券)为顶点，以直线y

=-?为对称轴的抛物线。

2a

在a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，即x<一；时，y随x的增大而

2a

减小；在对称轴的右侧，即当X>-；时，y随着x的增大而增大。

2a

在a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，即x<-2时，y随着x的增大

2a

而增大。在对称轴的右侧，即当X>时，y随着X的增大而减小。

2a

当2>0,在*=；时，y有最小值，y最小值=专生,

2a4a

当a<0,在x=4时，y有最大值，y最大值=坦萨.

16、二次函次图象的平移

二次函数图象的平移只要移动顶点坐标即可。

17、二次函数y=ax?+bx+c的图象与坐标轴的交点。

(1)与丫轴永远有交点(0,c)

(2)在b2-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点，A(X】，0)、B(x2,0)

这两点距离为

AB=|X!-x2|,(Xi、X2是ax2+bx+c=0的两个根)。

在b2-4ac=0时，抛物线与x轴只有一个交点。

在b2-4ac<0时，则抛物线与x轴没有交点。

18、求二次函数的最大值

常见的有两种方法：(1)直接代入顶点坐标公式(-?.・•)0

2a4a

(2)将y=ax?+bx+c配方，利用非负数的性质进行数值分析。

两种方法各有所长，第一种方法过程简单，第二种方法有技巧。

19抛物线y=ax'+bx+c中，“也C的作用

(1)“决定开口方向及开口大小，这与中的“完全一样.

(2)/，和“共同决定抛物缰蝌由的位置.由于抛物线+及+’的对称轴是直线、乙故:

2a

①方=。时，对称轴为,轴;②4(即“、方同号)时对称轴在,轴左侧；

a

③5(即“、〃异号附对称轴在,轴右侧.

a

(3)c的大小决定抛物线尸尔+bx+，与j轴交点的位置.

当工=。时，”C,••・抛物线y=ax'+c与轴有且只有一个交点(0,，):

①。=0,抛物线经过原点；②c>0,与V轴交于正半轴；③与,轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在,轴右侧，则

b

-a<o.

20.直线与抛物线的交点

(1)V轴与抛物线F=ax1+bx+c得交点为(o、C)

(2)与一轴平行的直线“〃与抛物线y=ax'+bx+c有且只有一个交点(%，/+从+

(3)抛物线与、轴的交点

二次函数心一+公+c的图像与,轴的两个交点的横坐标L、与，是对应一元二次

方程

"X4-bx+C=。的两个翔根抛物线与,轴的交点情况可以由对应的■元二次方程的根

的判另斌判定：

①有两个交点=A>0=抛物线与、轴相交；

②有一个交点顷点在、,轴上)。A=0o抛物线与、轴相切；

③没有交点cA<0O抛物线与.1轴相离.

(4)平行于、轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵

坐标相等，设纵坐标为£,则横坐标是M+bx+c=A的两个实数根.

⑸一次函数」=0)的图像/与二次函数r二尔+6+G，。)的图像G的交点,由方

程组

\y=LX+"的解的数目来确定:

[y=ax~+hx+c

①方程组有两组不同的解时O/与G有两个交点;

②方程组只有一组解时=/与G只有一个交点；③方程组无解时=/与G没有交

点.

(6)抛物线与、轴两交点之间的距离：若抛物线尸小+/>、•+,•与、轴两交点为

4卬01凤J,o),由于七、4是方程a—+/wc+c=0的两个根,故田+三二一山丫2二£

aa

1/~hY_4c-Jh1-4acVA

,4B=|x,-V?|=g-x：y»丐J~=一丁=可

21.二次函数与一元二次方程的关系:

(1)一元二次方程y=ax2+/>x+c就是二次函数%,M+bx+c当函数y的值为0时的情况.

(2)二次函数y-aC+bx+c的图象与,轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交

点、没有交点；当二次函数「=ax2+bx+c的图象与、轴有交点时，交点的横坐标

就是当r=0时自变量,的值，即一元二次方程/+及+”。的根.

(3)当二次函数),=尔+辰+,的图象与,轴有两个交点时，则一元二次方程P=小+加+c

有两个不相等的实数根；当二次函数「=江+岳+c的图象与、轴有一个交点时，则

一元二次方程尔+〃x+c=0有两个相等的实数根；当二次函数广分+历+’的图象与

X轴没有交点时，则一元二次方程分+6+”。没有实数根

第七讲统计与概率

知识要点：

1、调蛰收集数据过程的一般步骤

调查收集数据的过程一般有下列六步：明确调查问题、确定调查对象、选择调杳

方法、展开调查、记录结果、得出结论.

2、调查收集数据的方法

普查是通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本方式来收集

数据的.

3、统计图

条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图.这三种统计图各

具特点：条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；折线统计图可以直观地反

映出数据的数量变化规律；扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占

的份额.

4、总体、个体、样本、样本容量

我们把所要考查的对象的全体叫做总体，把组成总体的每一个考查对象叫做个

体.从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本.样本中包含的个体的个数叫

做样本容量.

5、简单的随机抽样

用抽签的办法决定哪些个体进入样本.统计学家们称这种理想的抽样方法为简单

的随机抽样.

6、频数、频率

在记录实验数据时，每个对象出现的次数称为频数.每个对象出现的次数与总次

数的比值(或者百分比)称为频率.

7、绘制频数分布直方图的步骤

①计算最大值与最小值的差；②决定黜巨和组数；③决定分点；④画频数分布

表；⑤画出频数分

布直方图.

8、平均数

在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数.

9、中位数

将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数(或正中间两个数据的平均

数)叫做这组数据的中位数.

10、众数

在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数.

11、加权平均数.

在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个数乘以

它相应的权重后所得的平均数叫做这组数据的加权平均数.

12、极差

一组数据中的最大值减去最小值所得的差称为极差.

13、方差：

我们可以用"先平均，再求差，然后平方，最后再平均"得到的结果表示一组数

据偏离平均值的情况，这个结果通常称为方差.

计算方差的公式：设一组数据是，，乂必—球是这组数据的平均数。则这组数据

的方差是：

S2=5卜1一天『+(x2—又尸+(x?-X)2+…+(Xn-X)2]

14、标准差：

一组数据的方差的算术平方根，叫做这组数据的标准差.

用公式可表示为：

s=-x);+(x,-x)?+-+(x„-x)']

15、确定事件

那些无需通过实验就能够预先确定它们在每一次实验中都一定会发生的事件称为

必然事件.那些在每一次实验中都一定不会发生的事件称为不可能事件.必然事

件和不可能事件统称为确定事件.

16、随机事件

无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件称为不确定事件或随机事件.

亿瞬

表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率.

18、概率的理论计算方法有:①树状图法；②列表法.

第八讲图形的认识

1、生活中的立体图形

⑴生活中的常见立体图形有：球体、柱体、锥体，它们之间的关系如下所示

伊I柱

柱体棱柱/器

I五棱柱

［圆锥

立体图形,锥体枝锥fI四.校格锥

1卜五棱锥

球体

⑵多面体：由平面围成的立体图形叫做多面体

2、由立体图形到视图

（1）视图：①直棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图（主视图、左视图、俯视图）

②简单的几何体与其三视图、展开图

③由三视图猜想物体的形状

⑵通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）.

俯视图反映物体的长和宽，主视图反映了它的长和高，左视图反映了宽和高.所

以主视图和俯视图的长度相等，且互相对正，即"长对正"主视图与左视图的高

度相等，且互相平齐，即"高平齐"俯视图与左视图的宽度相等，即“宽相等"

3、立体图形的展开图

圆柱的侧面展开图是一个矩形，一边长为母线的长，另一边是底面的周长.

圆锥的侧面展开图是一个扇形，其中扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是底面圆

的周长

正方形的展开图的形状比较多

知识点4、平行投影和中心投影

平行投影：在平行光线的照射下，物体所产生的影称为平行投影.

(1)在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例.

⑵物体在阳光下的影长与方向随时间的变化而变化

⑶太阳光可以看作是一束平行光线

中心投影：在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.

①在点光源的照射下，不同物体的物高与影长不成比例.

②在灯光下，不同位置的物体，影子的长短和方向都是不同的，但是任何物体上

的一点与其影子的对应点的连线一定经过光源所在的点.

5、线段、射线、直线

(1)连接两点的所有线中，线段最短.

线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端的距离相等

(2)射线、线段可以看作直线的一部分

6、角

由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角

1周角=2平角=4直角=360度

互余和互补：如果两个角之和是一个直角，那么这两个角互余

如果两个角之和是一个平角，那么这两个角互补

7、垂直

(1)两条直线相交的四个角中有一个为直角时，称这两条直线互相垂直，交点

叫垂足.

(2)在同一平面内，经过直线外(上)一点，有且只有一条直线与已知直线垂

直.

(3)直线外这个点到垂足间的线段叫做点到直线的距离.

8、平行线

⑴平行线:在同一平面内,不相交的两条直线.

⑵两条直线被第三条直线所截，出现的三种角：同位角，内错角，同旁内角.

直线m截直线a,b成如图所示的8个角，在图中：

同位角:z1和N5,z2和N6,z3和N7,z4和N8;

内错角：N3和N5,z4和N6;

同旁内角：N3和N6,N4和N5.

⑶平行公理经过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.

（4）平行线的判定方法：

同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行;同旁内角互补，两直线平

行.

另外，平行于同一直线的两条直线互相平行.垂直于同一直线的两条直线互相平

行.

⑸平行线的性质：

两直线平行，同位角相等.两直线平行，内错角相等.两直线平行，同旁内角

互补.

过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线.

第九讲解直角三角形和三角函数

知识要点：

1三角形的边、角关系

①三角形任］可两边之和大于第三边;

②三角形任何I两边之差小于第三边；

③三角形三个内角的和等于180°;

④三角形三个外角的和等于360°;

⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

⑥三角形一个外角大于彳E可一个和它不相邻的内角。

2三角形的主要线段和外心、内心

①三角形的角平分线、中线、高；

②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心

到各顶点的距离相等；

③三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到

三边的距离相等；

④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三

边且等于第三边的一半。

3等腰三角形

等腰三角形的识别：

①有两边相等的三角形是等腰三角形；

②有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；

③三边相等的三角形是等边三角形；

④三个角都相等的三角形是等边三角形；

⑤有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形。

等腰三角形的性质：

①等边对等角；

②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；

③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；

④等边三角形的三个内角都等于60°.

4直角三角形

直角三角形的识别：

①有一个角等于90。的三角形是直角三角形;

②有两个角互余的三角形是直角三角形；

③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这

个三角形是直角三角形。

直角三角形的性质:

①直角三角形的两个锐角互余；

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

③勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

5全等三角形

定义、判定、性质

6相似三角形

定义

相似角陷[两对应边的比相等,夹角相等

,用判定方法,两个对应角相等

I[:.条对应边的比相等

I对应边的比j

相似三角形的性4对应高的比产—

I周长比1!

1（面积比=相似比平方

7锐角三角函数与解直角三角形

⑴勾股定理：直角三角形两直角边“、卜的平方和等于斜边，的平方。卜+』

⑵如下图，在RfABC中,zC为直角，则NA的锐角三角函数为（NA可换成n

B）：

表达

定义取值范围关系（A+B=90）

\式

0<sinJ<1

正

,乙4的时边sinA=cosB

-斜边QA为锐

弦

角）cosA=sinB

,/4的铭边sin2A+cos2A=1

皿=斜边

余0<cosA<1

弦（NA为锐

角）

lan/I>0

tanA-cotB

正,的对边

tan力-----，…为锐

NA的铭边(NA

切cotA-tanB

角)

倒数)

cotA

cotJ>0

余.///的邻边

cotA-----------------tan/I-cotJ=I

//的对边(NA为锐

切

角)

⑶任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正

弦值。

sinA-cosB由/#/A-900、sinA=cos(900-J)

cosA=sinB得NB二—cosA=sin(900-A)

⑷任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正

切值。

tanA-cotB由/4+N6=9(T、tanA=cot(90°A)

得/B=9(T-/A>

cotJ=tan5cotA-tanfOO1'-A)

（5）0。、30。、45。、60。、90。特殊角的三角函数值（重要）

三角函数0°30°45°60°90°

sina

cosa

-

lana

-

coter

（6）正弦、余弦的增减性：

当0。%«90。时，sin”随”的增大而增大，cos“随”的增大而减小。

⑺正切、余切的增减性：

当0°<0<90。时，tan“随〃的增大而增大，cot“随〃的增大而减小。

（8）解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）-所有未知的边和

角。

依据：①边的关系②角的关系：A+B=90。；③边角关系：三角函

数的定义。（注意：尽量避免使用中间数据和除法）

（9）应用举例：

①仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

②坡面的铅直高度八和水平宽度/的比叫做坡度（坡比）。用字母，表示，即

坡度一般写成1：，"的形式，如i=1:5等。

把坡面与水平面的夹角记作“（叫做坡角），那么:%⑶,八

（io）从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3,

OA、OB、OC、0D的方向角分别是：45。、135。、225°.

（io）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90。的水平角，叫做方向角。如图

4,0A、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏

东45。（东南方向），

南偏西60。（西南方向），北偏西60°（西北方向）。

第十讲四边形

知识要点：

1：图形的变换与镶嵌

.--------------------rl轴对称I------------------------------

图

图rl生活中的对称现象H工

案

形------------------------------H中心对•称|-------------------

欣

变

赏

换

-T生活中的平移与旋转用1一二：

1王韬一干科学吧旎转规律卜便转作国_与

与

设

耀

汁

横------------------------r|同一型号能锹嵌的图|-----------

U生活中的锹原HY

-----------------------U正多边形的组丁丁嵌------------

2:四边形的定义、判定及性质T

q内用和

车

高夕卜角和

情