专题07有理数的乘除（4大考点8种题型）（原卷版）

专题07有理数的乘除（4大考点+8种题型）思维导图核心考点与题型分类聚焦考点一：两数相乘的符号法则考点二：有理数乘法法则考点三：有理数相乘的符号法则考点四：有理数除法法则题型一：两个有理数的乘法运算题型二：多个有理数的乘法运算题型三：有理数乘法的实际应用题型四：有理数乘法运算律题型五：倒数题型六：有理数的除法运算题型七：有理数除法的应用题型八：有理数乘除混合运算考点一：两数相乘的符号法则正乘正得正，正乘负得负，负乘正得负，负乘负得正．（同号得正，异号得负）考点二：有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数与零相乘，都得零．考点三：有理数相乘的符号法则几个不等于零的因数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．考点四：有理数除法法则（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；（2）零除以任何一个不为零的数，都得零．（3）甲数除以乙数（零除外）等于甲数乘以乙数的倒数，即（）．题型一：两个有理数的乘法运算【例1】．（2023下·上海·六年级专题练习）计算：．【变式1】．（2023下·上海·六年级专题练习）计算：．【变式2】．（2021下·上海徐汇·六年级上海市西南模范中学校考期中）．【变式3】．（2023下·上海松江·六年级统考期末）计算：．题型二：多个有理数的乘法运算【例2】．（2021下·上海松江·六年级校考阶段练习）绝对值小于的所有有理数的积是．【变式1】．（2023上·云南·七年级统考阶段练习）计算：(1)；(2)．【变式2】．（2023下·上海·六年级专题练习）．【变式3】．（2023上·河南开封·七年级校考阶段练习）如图，小明有5张卡片，上面分别写着不同的数．他想从中取出3张卡片，使这3张卡片上的数字乘积最大，应如何抽取？最大值是多少？【变式4】．（2023上·河北沧州·七年级校考阶段练习）嘉嘉玩一个摸球游戏，在一个密闭的容器中放入五个小球小球分别标有如下数字，现从容器中摸取四个小球，然后把摸到的球上的数字进行加、减、乘中的某一种运算．

(1)若取出的四个小球上分别标有，，，，求：；(2)若这四个数字的积不为0，求这四个数的积；(3)若这四个数字的和最大，求没有取出的小球上标的数字．题型三：有理数乘法的实际应用【例3】．（2023上·山东淄博·六年级统考期中）某校食堂买了5袋白菜，以每袋千克为标准，超过的千克数记为正数，称重后的记录分别为（单位：千克），，，，请大家快速准确地算出5袋白菜的总质量是（

）A．千克 B．2千克 C．千克 D．千克【变式1】．（2023上·江苏苏州·七年级校考阶段练习）小明同学有5张写着不同数字的卡片：、、0、、，他从中任取三张卡片，计算卡片上数字的乘积，其中最小的乘积是．【变式2】．（2023上·湖北省直辖县级单位·七年级天门市九真中学校联考阶段练习）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，，，，13，，，．(1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？(2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？(3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？【变式3】．（2023上·广西河池·七年级统考期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量：星期一二三四五六日送餐量（单位：单）(1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单?(2)求该外卖小哥这一周一共送餐多少单?(3)若每送一单能获得4.2元的酬劳，请计算外卖小哥这一周的收入．【变式4】．（2023上·江苏无锡·七年级校考阶段练习）出租车司机李师傅国庆节第一天下午的营运是在一条南北走向的公路上进行的，如果向南记作“”，向北记作“”，他这天下午行车情况如下：（单位：千米，每次行车都有乘客），，，，，，，．(1)将最后一名乘客送到目的地时，他在出发地什么方向？距下午出发地多远？(2)若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车行驶的路程在3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，那么李师傅这天下午收到乘客所给车费共多少元？(3)若李师傅的出租车仪表盘上显示的百公里耗油为8升（汽车每行驶耗油8升），每升汽油8元，不计汽车的损耗，那么李师傅这天下午是盈利了还是亏损了？盈利（或亏损）多少钱？题型四：有理数乘法运算律【例4】．（2024上·吉林四平·七年级统考期末）计算：．【变式1】．（2023下·上海静安·六年级上海市回民中学校考期中）【变式2】．（2023下·上海浦东新·六年级上海市民办新竹园中学校考期中）【变式3】．（2021下·上海普陀·七年级校考期中）计算：．【变式4】．（2021下·上海虹口·六年级校考期中）计算：．【变式5】．（2023下·上海·六年级专题练习）计算：．【变式6】．（2023上·广西南宁·七年级校考阶段练习）观察应用：利用运算律可以进行简便计算【例1】；【例2】．参考上面例题，用简便方法进行计算：(1)(2)【变式7】．（2023上·广西南宁·七年级校考阶段练习）学习有理数乘法后，老师让同学们计算：，看谁算得又快又对，有两位同学的解法如下：小丽：原式；小军：原式．小晨经过思考后也给出了他的解法：原式①②③．(1)请补全小晨的解题过程：①__________

②__________

③__________．(2)用你认为最合适的方法计算：．题型五：倒数【例5】．（2021下·上海闵行·六年级校考期中）的倒数是【变式1】．（2021下·上海·六年级校考阶段练习）倒数的绝对值是．【变式2】．（2021下·上海闵行·六年级统考期中）如果与互为倒数，那么．题型六：有理数的除法运算【例6】．（2021下·上海徐汇·六年级上海市西南模范中学校考期中）．【变式1】．（2023下·上海宝山·六年级校考阶段练习）计算：．【变式2】．（2023上·江苏盐城·七年级校考阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算．(1)根据倒数的定义我们知道，若，则______．(2)计算．(3)根据以上信息可知：．【变式3】．（2022下·上海普陀·六年级校考期中）计算：．【变式4】．（2023上·浙江杭州·七年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题．(1)当时，则______；当时，则______．(2)已知，是有理数，当时，试求的值．(3)已知，，是非零有理数，满足且，求的值．题型七：有理数除法的应用【例7】．（2023上·四川成都·七年级校考期中）小张第一次用480元购买了8套儿童服装，以一定价格出售．如果以每套儿童服装80元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下（单位：元）：，，，，，，0，．请通过计算说明：(1)小张卖完这八套儿童服装共卖了多少钱？(2)这八套儿童服装平均每套盈利了多少元？【变式1】．（2023上·山东菏泽·七年级校考阶段练习）汽车厂抽检一批标准尺寸为的零件，要求误差不大于．现抽取8个进行检测，检测数据如下：．(1)这里的正负表示什么？(2)估计产品合格率为多少？(3)你从这些数据中能得到什么信息？【变式2】．（2023上·山东威海·七年级统考期中）气象统计资料表明：高山上的温度每升高100米，平均气温下降．已知山脚的温度是．(1)若这座山的高度是2千米，求山顶的温度；(2)小明在上山过程中看到温度计上的读数是，此时他距山脚有多高？题型八：有理数乘除混合运算【例8】．（2021下·上海·六年级校考阶段练习）计算：．【变式1】．（2023下·上海·六年级上海市进才实验中学校考期中）任何一个正整数n都可以进行这样的分解：（p，q是正整数，且），如果在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定，例如：18可以分解成，这时就有，综合以上信息，给出下列关于的说法：①；②；③；④若n是一个整数的平方，则=1，其中正确的说法有（只填序号）【变式2】．（2023上·浙江杭州·七年级校考期中）定义一种新运算：，如，则．【变式3】．（2023下·上海·六年级专题练习）．【变式4】．（2023下·上海徐汇·六年级上海市西南位育中学校考阶段练习）若“!”是一种数学运算符号，并且，，，…，则【变式5】．（2023下·上海宝山·六年级校考期中）【变式6】．（2021下·上海普陀·七年级校考期中）计算：【变式7】．（2021下·上海闵行·六年级校考期中）计算：．【变式8】．（2021下·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）计算：．【变式9】．（2023下·上海·六年级上海市进才实验中学校考期中）一、单选题1．（2023上·广西南宁·七年级校考阶段练习）下列运算结果为负数的是（

）A． B． C． D．2．（2023上·广西南宁·七年级校考阶段练习）下列各式化简正确的是（

）A． B． C． D．3．（2023上·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期末）计算：的结果为（

）A． B． C． D．4．（2023上·广东东莞·七年级统考期末）若，，那么这两个数（

）A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负 D．符号不能确定5．（2024上·福建龙岩·七年级龙岩初级中学校考阶段练习）下列说法不正确的是（

）A．0小于所有正数 B．0没有倒数C．0既不是正数也不是负数 D．0没有绝对值6．（2023上·山东临沂·七年级校考阶段练习）若，则的值为（）A．1 B．或1 C． D．或1二、填空题7．（2023上·江苏徐州·七年级校考阶段练习）一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数是．8．（2023上·河南郑州·七年级校考期中）在这三个数中，任取两个数相除，其中商最小的是．9．（2023上·山东菏泽·七年级校考阶段练习）计算：．10．（2023上·四川达州·七年级统考期末）若有理数a，b满足，且，则．11．（2024上·北京海淀·七年级北京市师达中学校考阶段练习）数轴上原点右边厘米处的点表示的有理数是32，那么，数轴上原点左边18厘米处的点表示的有理数是．12．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考阶段练习）计算的值为．13．（2023上·江苏徐州·七年级校考阶段练习）在一种游戏中规定，则．14．（2023上·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是．15．（2023上·新疆阿克苏·七年级校考阶段练习）若a的相反数是1，则a与2022的乘积为．三、解答题16．（2024上·辽宁抚顺·七年级统考期末）计算：(1)；(2)．17．（2023上·四川眉山·七年级期末）计算：．18．（2023上·河南南阳·七年级校考阶段练习）计算下列各题(1)(2)19．（2024上·北京丰台·七年级北京十八中校联考期中）计算：20．（2024上·陕西西安·七年级交大附中分校校考阶段练习）中秋节是我国的传统节日，临近中秋月饼的销量大幅增加，某月饼加工店为满足市场需求，计划每天销售月饼800块，实际每天的销量与计划相比有出入，下表是某一周的销量情况（超出为＋，不足为－，单位：块）：日期十一十二十三十四十五十六十七增减(1)销量最多的一天比销量最少的一天多销