专题11解直角三角形（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.1解直角三角形（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】锐角三角函数正弦：sinA＝eq\f(∠A的对边,斜边)＝eq\f(a,c)余弦：cosA＝eq\f(∠A的邻边,斜边)＝eq\f(b,c)正切：tanA＝eq\f(∠A的对边,∠A的邻边)＝eq\f(a,b).【知识点二】特殊三角函数度数三角函数30°45°60°1【知识点三】解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：；(2)锐角之间的关系：；(3)边角之间的关系：，，.【知识点四】解直角三角形的应用(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用表示，则有.(3)方向角：平面上，通过观察点作一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为北向），则从点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角.(4)解直角三角形实际应用的一般步骤：a.弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；b.将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；c.选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；d.得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．【考点目录】【考点一】锐角三角函数；【考点二】特殊角三角函数值的计算；【考点三】解直角三角形；【考点四】锐角三角函数与相关知识综合；【考点五】三角函数与实际问题【考点一】锐角三角函数【例1】（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴上，连接并延长至点，连接，若满足，求所在直线的函数表达式．

【答案】【分析】此题考查待定系数法求一次函数的解析式，三角函数，相似三角形的判定和性质：根据及公共角证得，得到，根据三角函数值求得，得到，再利用待定系数法求出函数解析式，综合掌握所学知识是解题的关键．解：∵，∴

又∵∠C是公共角，∴，∴，∵，∴，即，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，设所在的直线方程为，将，代入得，，∴，∴所在的直线为．【举一反三】【变式1】（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点，连接交y轴于点B．若，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作轴于点D，利用相似三角形的判定和性质求得，利用平行线分线段成比例定理求得，再根据正切函数的定义即可求解．解：作轴于点D，则，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故选：C．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正切函数的定义，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【变式2】（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点，则（1）与是否垂直？（填“是”或“否”）．（2）．（3）．

【答案】是//【分析】（1）如图，作于，的延长线于，由题意知，，，由，，证明，则，则，进而结论得证；（2）由勾股定理得，，由，可得；（3）由题意知，，即，解得，，由勾股定理得，，计算求解即可．（1）解：如图，作于，的延长线于，

由题意知，，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：是；（2）解：由勾股定理得，，∵，∴，故答案为：；（3）解：由题意知，，即，解得，，由勾股定理得，，故答案为：．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，余弦，三角形内角和定理等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【考点二】特殊角三角函数值的计算【例2】（2023上·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考期中）如图，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图是晒衣架的侧面示意图，立杆、相交于点，、两点立于地面，经测量：，，．现将晒衣架完全稳固张开，扣链成一条线段，且．（1）求证：；（2）求扣链与立杆的夹角的度数．（精确到）（参考数据：，，）【答案】（1）见分析；（2）扣链与立杆的夹角【分析】（1）证，得，利用相似三角形的性质即可得证；（2）作交于，由等腰三角形的性质得，进而求得，从而即可得解．解：（1）证明：∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：如图，作交于，，∵，，，∴，，∵，∴．【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，平行线的判定以及解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023·江苏盐城·校考一模）是一个角的正弦值，则这个角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据特殊角的三角函数值计算．解：∵sin60°=，∴这个角是60°.故选C．【点拨】本题考查等腰直角三角形及特殊角的三角函数值，解答此题的关键是熟知特殊角的三角函数值及等腰直角三角形的性质．【变式2】（2023上·山东潍坊·九年级高密市立新中学校考阶段练习）．【答案】【分析】根据二次根式的运算法则，特殊角的三角函数值，以及零指数幂的概念，正确计算即可．解：原式．【点拨】本题主要考查了二次根式的运算法则，特殊角的三角函数值，以及零指数幂的概念，正确理解相关概念，按照正确的运算顺序进行计算，是解题的关键．【考点三】解直角三角形【例3】（2023上·湖南衡阳·九年级校联考期中）如图，在中，，，，，，交．求：（1）的长；（2）的值．【答案】（1）；（2）1【分析】（1）由锐角三角函数定义求出，再由勾股定理求出的长即可；（2）先利用勾股定理求得，从而得到是等腰直角三角形，可求得，再求得，即可由特殊角三角函数值得出答案．（1）解：，，，，，；（2）解：，，由（1）知，由勾股定理得：，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴．【点拨】本题考查了解直角三角形、特殊角三角函数值，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握解直角三角形的知识是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，四边形为矩形纸片，，现把矩形纸片折叠，使得点落在边上的点处（不与重合），点落在处，此时，交边于点，设折痕为．若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，设，由矩形的性质得，由折叠得，，则，因为，所以，，可求得，由勾股定理得，求得符合题意的值为3，则，，所以，于是得到问题的答案．正确地找到全等三角形的对应边并且用代数式表示线段、、的长是解题的关键．解：设，四边形是矩形，，，，由折叠得，，，，，，，且，，，，解得，（不符合题意，舍去），，，，故选：．【变式2】（2023上·河南南阳·九年级统考期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，以为直径的上有两点，，点，，在网格线的交点上，则的值是．

【答案】/【分析】连接，解直角三角形求出，根据圆周角定理得出，据此求解即可．解：如图，连接，

为的直径，，，，，，故答案为：．【点拨】此题考查了圆周角定理，求正弦值，解题的关键是掌握圆周角定理．【考点四】锐角三角函数与相关知识综合【例4】（2023上·福建泉州·九年级统考期中）某校无人机兴趣小组为学校“五四青年节庆祝活动”提供空中摄像支持，提前在学校操场上试飞无人机．如图1，为了测算无人机飞行高度，兴趣小组进行了如下操作：无人机从C处垂直上升到D处，在此处测得操场两端A，B的俯角分别为，，且A，B，C在同一水平线上，已知操场两端米．

（1）求无人机飞行的高度（结果保留根号）；（2）如图2，无人机由点D沿水平方向飞行至点F，当时，求飞行的距离（结果精确到1米，）．【答案】（1）米；（2）205米【分析】（1）根据题意，得到，，得到米，根据计算即可．（2）过点A作交于点H，证明四边形是矩形，解，即可．（1）解：∵，，，∴，，∴，∴，∴米，在中，，解得：米，答：无人机飞行的高度为米．（2）解：过点A作交于点H，∵，∴四边形是矩形，，米，

∴，∴，∵，∴，在中，（米），

在中，（米），

∴（米），答：无人机飞行的距离约为205米．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图是的高，，，，则的长为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由含30度角的直角三角形的性质可求出，结合勾股定理可求出．再根据正切的定义得出，即可求出，最后计算即可．解：∵是的高，，∴，∴，∴．∵，即，∴，解得：，∴．故选C．【点拨】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形．利用数形结合的思想是解题关键．【变式2】（2023·广东湛江·校考一模）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解式为．

【答案】【分析】过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，设A点坐标为（a，），根据锐角三角函数可得，然后利用相似三角形的判定可证△DBO∽△COA，列出比例式可用a表示点B的坐标，利用待定系数法即可求出结论．解：过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D

设A点坐标为（a，）其中a＞0∴OC=a，AC=∵在Rt△AOB中，∠OAB=30°，∴tan∠OAB=∵∠BDO=∠OCA=∠AOB=90°∴∠DBO＋∠BOD=90°，∠COA＋∠BOD=90°∴∠DBO=∠COA∴△DBO∽△COA∴即解得：BD=，OD=∴点B的坐标为（，）设经过点B的反比例函数解式为将点B的坐标代入，得解得：k=∴经过点B的反比例函数解式为．故答案为：．【点拨】此题考查的是求反比例函数的解析式、相似三角形的判定及性质和锐角三角函数，掌握利用待定系数法求反比例函数的解析式、相似三角形的判定及性质和锐角三角函数是解决此题的关键．【考点五】三角函数与实际问题【例5】（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）计算或解方程：（1） （2）解方程：．【答案】（1）；（2），．【分析】（1）先计算负指数幂，零指数幂，绝对值，特殊角三角函数值，然后计算二次根式的乘法，合并同类二次根式即可；（2）移项，提公因式分解因式，然后解一次方程即可．（1）解：；（2）解：或，．【点拨】本题主要考查了特殊角的三角函数，零指数幂，负指数幂，绝对值，一元二次方程，解决问题的关键是熟练掌握特殊三角函数值，零指数幂意义，负指数幂意义，绝对值代数意义，分解因式法解一元二次方程．【举一反三】【变式1】（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，在点处，看建筑物顶端的仰角为，向前走了6米到达点即米，在点处看点的仰角为，则的长用三角函数表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根据题目条件，利用外角的性质，得出是等腰三角形，在中，利用的正弦即可表示出的长度．解：，，，，由题可知，为直角三角形，在中，，即：，，故选：D．【点拨】本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利用三角