中学初中数学二次函数知识点

中学初中数学二次函数知识点汇总

黄冈中学

中考数学二次函数知识点20年中考真题考点知识点记忆口诀收集整

理了1990年-20XX年20年中考数学试题真题与模拟题，穷尽一切二次函

数知识点与考点，仔细体会下每一知识点与考点之真实意图

理解记忆，记忆中理解

1.定义：一般地，如果y

2.二次函数yax2ax2bxc(a,b,c是常数，a0),那么y叫做x

的二次函数.的性质

2(1)抛物线yax的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.

2(2)函数yax的图像与a的符号关系.

①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当a0时抛

物线开口向下顶点为其最高点.

2(3)顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yax

(a0).

3.二次函数yax2bxc

2的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.用配方法可化

成：Vaxhk的形式，其中24.二次函数丫ax

b

2abxc2h,k4acb

4a.

k；③yaxh；④225.二次函数由特殊到一般，可分为以下几

种形式：①yax；②yax2

yaxhk2；⑤yax2bxc.

1

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0

时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴(或重合)的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相

同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：

yax2bbxcax2a24acb4a2,，顶点是

4acbb(),对称轴是直线x.2a4a2ab2

(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为

yaxhk的形式，得到顶点为(h,k),

对称轴是直线xh.

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图

形，所以对称轴的连线的垂直平分

线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一

失.

9.抛物线yax22bxc中，a,b,c的作用

2(1)a决定开口方向及开口大小，这与yax中的a完全一样.

(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax

xb

2a2bxc的对称轴是直线，故：①b0时，对称轴为y轴；②b

a0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③b

a0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.

2（3）c的大小决定抛物线yaxbxc与y轴交点的位置.

2当x0时，yc,...抛物线yaxbxc与y轴有且只有一个交点

（0,c）：

①c0,抛物线经过原点；②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴

交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称

轴在y轴右侧，则

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

ba0.

2

11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：yax

2

bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

2

（2）顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择

顶点式.

（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标xl、x2,通常选用交点式：

yaxxlxx2.12.直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线

yax

2

bxc得交点为(0,c).

2

(2)与y轴平行的直线xh与抛物线yax(3)抛物线与x轴的交

点二次函数yax

ax

2

2

bxc有且只有一^1V交点(h,ah

2

bhc).

bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标xl、x2,是对应一元二次方

程

bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元

二次方程的根的判别

式判定：

①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切；③没有

交点0抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，

两交点的纵坐标相等，设纵

坐标为k,则横坐标是ax

2

bxck的两个实数根.

2

(5)一次函数ykxnk0的图像1与二次函数yax

vkxnvax

2

bxca0的图像G的交点，由方

程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时1与G有两个交

点；②

bxc

*a1

*•11心•)

•t

HuML*,

-

♦a♦4♦，4■3・0'，

HUR»It

3««•

3

方程组只有一组解时1与G只有一个交点；③方程组无解时1与G

没有交点.（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yax

由于xl、x2是方程ax

xlx2

ba

2

2

bxc与x轴两交点为Axl,0,Bx2,0,

bxc0的两个根，故

,xlx2

ca

2

ABxlx2

xlx2

xlx24x1x2

2

4cb

aa

2

b4ac

a

2

a

一次函数与反比例函数

考点一、平面直角坐标系（3分）1、平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标

系。

其中，水平的数轴叫做X轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做

y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点0(即公共的原点)叫做直角坐

标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成

的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念

点的坐标用(a,b)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有

“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，

当ab时，(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。考点二、不同位置

的点的坐标的特征(3分)1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一

象限x0,y0

点P(x,y)在第二象限x0,y0点P(x,y)在第三象限x0,y0

点P(x,y)在第四象限xO.y02、坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x轴上y0,x为任意实数点P(x,y)在y轴上x0,

y为任意实数

点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x,y同时为零，即点P坐标为

(0,0)3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、

三象限夹角平分线上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上

x与y互为相反数

4

4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征

点P与点P'关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数

点P与点P'关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数

点P与点p'关于原点对称横、纵坐标均互为相反数

6、点到坐标轴及原点的距离

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：

(1)点P(x,y)到x轴的距离等于y

(2)点P(x,y)到y轴的距离等于x

(3)点P(x,y)到原点的距离等于x2y2

考点三、函数及其相关概念(3〜8分)

1、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量

叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个

值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表示法及其优缺点

(1)解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符

号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

(2)列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，

这种表示法叫做列表法。

(3)图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一般步骤

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连

接起来。

考点四、正比例函数和一次函数（310分）

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，如果ykxb（k,b是常数，k0）,那么y叫做x的一次

函数。

特别地，当一次函数ykxb中的b为。时，ykx（k为常数，

k0）o这时，y叫做x的正比例函数。

2、一次函数的图像

所有一次函数的图像都是一条直线

5

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数ykxb的图像

是经过点（0,b）的直线；正比例函数ykx的图像是经过原点（0,0）的

直线。

4、正比例函数的性质，，一般地，正比例函数ykx有下列性质：

(1)当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；

(2)当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

6

5、一次函数的性质，，一般地，一次函数ykxb有下列性质：

(1)当k>0时，y随x的增大而增大(2)当k<0时，y随x的增大而减小

6、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式ykx(k0)中

的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式ykxb(k0)

中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。考点五、反比例

函数(3~10分)1、反比例函数的概念

一般地，函数y

kx

（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成

ykx

1

的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也

是一切非零实数。

2、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第

一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变

量x0,函数y0,所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线

的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

kx

4、反比例函数解析式的确定

确定及谀是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y

中，只有一个待定系数，因此只需要

一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解

析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义

如下图，过反比例函数y

kx

（k0）图像上任一点P作X轴、y轴的垂线PM,PN,则所得的矩形

7

PMON的面积S=PMPN=yxxy。y

kx

,xyk,Sko

二次函数

考点一、二次函数的概念和图像（3~8分）1、二次函数的概念

一般地，如果yax

yax

2

2

bxc（a,b,c是常数，

a0）,那么y叫做x的二次函数。

bxc（a,b,c是常数，

a0）叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于x

b2a

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征:

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。3、二次函数图像的画法五

点法：

(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶

点M,并用虚线画出对称轴(2)求抛物线yax

2

bxc与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的

交点C,再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，

并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C

及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出

比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点，画出二

次函数的图像。

考点二、二次函数的解析式(10~16分)

二次函数的解析式有三种形式：

(1)一般式：yax

2

bxc(a,b,c是常数，

2

a0)a0)

2

(2)顶点式：ya(xh)k(a,h,k是常数，(3)当抛物线yax

2

bxc与x轴有交点时，即对应二次好方程ax

2

bxc0有实根xl和x2

2

存在时，根据二次三项式的分解因式ax

bxca(xxl)(xx2),二次函数yax

bxc可转

化为两根式ya(xxl)(xx2)。如果没有交点，则不能这样表示。

考点三、二次函数的最值(10分)如果自变量的取值范围是全体实

数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当x

b2a

时，y最值

4acb

4a

2

o

b2a

如果自变量的取值范围是xlxx2,那么，首先要看

b2a

4acb

4a

2

是否在自变量取值范围xlXx2内,

若在此范围内，则当x=

时，y最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在xlXX2范

8

2

围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当xx2

时，y最大ax2bx2c,当xxl

22时，y最小axlbxlc；如果在此范围内，y随x的增大而减

小，则当xxl时，y最大axlbxlc,

2

当xx2时，y最小ax2bx2c。

2、二次函数yax

2

bxc（a,b,c是常数，

a0）中，a、b^c的含义：a表示开口方向：a>0

时，抛物线开口向上，，，a<0时，抛物线开口向下

b与对称轴有关：对称轴为*=

b2a

9

表示抛物线与y轴的交点坐标：（0,c）

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。c

因此一元二次方程中的b4ac,在二次函数中表示图像与x轴是否

有交点。

当>0时，图像与x轴有两个交点；

当=0时，图像与x轴有一个交点；

当<0时，图像与x轴没有交点。

补充：

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，

以寻求解题方法）

为（

B

如图：点A坐标为（xl,yl）点B则AB间的距离，即线段AB

2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提

高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）

3、直线斜率：

ktany2ylb为直线在y轴上的截距

x2xl2

4、直线方程：一般两点斜截距

一最最常用，记牢

1,一般一般直线方程ax+by+c=O2,两点由直线上两点确定的直线

的两点式方程，简称两点式：3,点斜知道一点与斜率yylk（xxl）

4,斜截斜截式方程，简称斜截式：y=kx+b（kNO）

5,截距由直线在轴和轴上的截距确定的直线的截距xy

10

式方程，简称截距式：

xa

yb

1

记牢可大幅提高运算速度

5、设两条直线分别为，11：y若11

//12

klxbl

12

yk2xb2

,则有11〃12klk2且blb2o

12klk21

若1

kxOyObk

2

1

6、点P(xO,yO)到直线y=kx+b(即：kx-y+b=O)的距离：d

kxOyOb

k

2

(1)

2

1

对于点P(xO,yO)到直线滴一般式方程

.常用记牢

ax+by+c=0滴距离有

中考点击考点分析:

形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角

坐标系等，一般占2%左右.一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必

考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占5%左右.反

比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实

际问题的联系，突出应用价值，3—6分；二次函数是初中数学的一个十分

重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中.要求：能通过对实

际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点

法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像

的顶点、开口方向和对称轴，并能解决实际问题.会求一元二次方程的近似

值.

分析近年中考，尤其是课改实验区的试题，预计20XX年除了继续考查

自变量的取值范围及自变量与因变量之间的变化图像，一次函数的图像和性

质，在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解.同时将注重考查

二次函数，特别是二次函数的在实际生活中应用.

11

初中数学助记口诀(函数部分)

特殊点坐标特征:坐标平面点(x,y),横在前来纵在后；(+,+),(-,+),(-

)和(+,-)，四个象限分前后；X轴上y为0,x为0在Y轴。

对称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X轴对称y相反,Y

轴对称,x前面添负号；原点对称最好记,横纵坐标变符号。

自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次累底数不

为零，整式、奇次根全能行。函数图像的移动规律:若把一次函数解析式写

成y=k(x+0)+b、二次函数的解析式写成y=a(x+h)2+k的形式，则用下

面后的口诀“同左上加，异右下减”。

一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线，图像经过仁象限；正比例

函数更简单，经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率

定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变

化规律正相反；k的绝对值越大，线离横轴就越远。

二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、

顶点和交点，它们确定图象现；开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号

较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中

为0,牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对

称轴，纵标函数最值见。若求对称轴位置，符号反,一般、顶点、交点式，不

同表达能互换。

反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点，双曲线相背离的远;k

为正，图在一、三(象)限,k为负，图在二、四(象)限；图在一、三函数减，两

个分支分别减。图在二、四正相反，两个分支分别添;线越长越近轴，永远与

轴不沾边。

正比例函数是直线，图象一定过圆点，k的正负是关键，决定直线的象

限，负k经过二四限，x增大y在减，上下平移k不变，由引得到一次线，

向上加b向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键。

反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在

减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y的顺序可交

换。

二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴

看，△的符号最简便，x轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，

顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。

1.一元一次不等式解题的一般步骤：

去分母、去括号，移项时候要变号；

同类项、合并好，再把系数来除掉；

两边除(以)负数时，不等号改向别忘了。

2.特殊点坐标特征：

坐标平面点(x,y),横在前来纵在后；

和(+,-)，四个象限分前后;

X轴上y为0,x为0在Y轴。

3.平行某轴的直线：

平行某轴的直线，点的坐标有讲究，

直线平行X轴,纵坐标相等横不同；

直线平行于Y轴，点的横坐标仍照旧。

12

4.对称点坐标：

对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆,

X轴对称y相反，Y轴对称,X前面添负号；

原点对称最好记,横纵坐标变符号。

5.自变量的取值范围：

分式分母不为零，偶次根下负不行；

零次辱底数不为零，整式、奇次根全能行。

6.函数图像的移动规律：

若把一次函数解析式写成y=k(x+0)+b,

二次函数的解析式写成y=a(x+h)2+k的形式，

则用下面后的口诀：

“左右平移在括号,上下平移在末稍，

左正右负须牢记,上正下负错不了”。

7.一次函数图像与性质口诀：

一次函数是直线，图像经过任象限；

正比例函数更简单，经过原点一直线；

两个系数k与b,作用之大莫小看，

k是斜率定夹角，b与Y轴来相见，

k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反;

k的绝对值越大,线离横轴就越远。

8.二次函数图像与性质口诀：

二次函数抛物线，图象对称是关键；

开口、顶点和交点，它们确定图象限;

开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关

联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0,牢记心中莫混

乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值

见。若求对称轴位置，符号反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

9.反比例函数图像与性质口诀：

反比例函数有特点,双曲线相背离的远；

k为正，图在一、三（象）限；k为负，图在二、四（象）限；

图在一、三函数减，两个分支分别减；图在二、四正相反,两个分支分别

添;线越长越近轴，永远与轴不沾边。

函数学习口决：正比例函数是直线，图象一定过原点，k的正负是关

键，决定直线的象限，负k经过二四限，x增大y在减，上下平移k不变，

由引得到一次线，向上加b向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选

定系数是关键；

反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在

减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y的顺序可交

换；

二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴

看，△的符号最简便，x轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，

顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。

13

10.求定义域:

求定义域有讲究，四项原则须留意。负数不能开平方，分母为零无意

义

o指是分数底正数，数零没有零次幕。限制条件不唯一，满足多个不等

式

o求定义域要过关，四项原则须注意。负数不能开平方，分母为零无意

义

o分数指数底正数，数零没有零次廨。限制条件不唯一，不等式组求解

集

O

11.解一元一次不等式:

先去分母再括号，移项合并同类项。系数化“1”有讲究，同乘除负要

变向。先去分母再括号，移项别忘要变号。同类各项去合并，系数化

“1”注意了。同乘除正无防碍，同乘除负也变号。

12.解一元一次不等式组：

大于头来小于尾，大小不一中间找。大大小小没有解，四种情况全来

了。同向取两边，异向取中间。

中间无元素，无解便出现。

幼儿园小鬼当家，（同小相对取较小）敬老院以老为荣，（同大就要取较

大）军营里没老没少。（大小小大就是它）大大小小解集空。（小小大大哪有

哇）

13.解一元二次不等式：首先化成一般式，构造函数第二站。判别式

值若非负，曲线横轴有交点。a正开口它向上，大于零则取两边。代数式

若小于零，解集交点数之间。方程若无实数根，口上大零解为全。小于零

将没有解，开口向下正相反。13.1用公式法解一元二次方程要用公式解

方程，首先化成一般式。调整系数随其后，使其成为最简比。确定参数

abc,计算方程判别式。判别式值与零比，有无实根便得知。有实根可套

公式，没有实根要告之。

14.用常规配方法解一元二次方程：

左未右已先分离，二系化“1”是其次。一系折半再平方，两边同加没

问题。

14

左边分解右合并，直接开方去解题。该种解法叫配方，解方程时多练

习。

15.用间接配方法解一元二次方程：已知未知先分离，因式分解是其

次。调整系数等互反，和差积套恒等式。完全平方等常数，间接配方显优

势

【注】恒等式

16.解一元二次方程：方程没有一次项，直接开方最理想。如果缺少

常数项，因式分解没商量。b、c相等都为零，等根是零不要忘。b、c同

时不为零，因式分解或配方，也可直接套公式，因题而异择良方。

17,正比例函数的鉴别：判断正比例函数，检验当分两步走。一量表

示另一量，有没有。

若有再去看取值，全体实数都需要。区分正比例函数，衡量可分两步

走。一量表示另一量，是与否。

若有还要看取值，全体实数都要有。

18.正比例函数的图象与性质：

正比函数图直线，经过和原点。K正一三负二四，变化趋势记心间。

K正左低右边高，同大同小向爬山。K负左高右边低，一大另小下山峦。

19.一次函数：

一次函数图直线，经过点。

K正左低右边高，越走越高向爬山。K负左高右边低，越来越低很明

显。

K称斜率b截距，截距为零变正函。20.反比例函数：

反比函数双曲线，经过点。

K正一三负二四，两轴是它渐近线。K正左高右边低，一三象限滑下

山。K负左低右边高，二四象限如爬山。

21.二次函数：

二次方程零换y,二次函数便出现。全体实数定义域，图像叫做抛物

线。抛物线有对称轴，两边单调正相反。

15

A定开口及大小，线轴交点叫顶点。顶点非高即最低。上低下高很显

眼。如果要画抛物线，平移也可去描点，提取配方定顶点，两条途径再挑

选。列表描点后连线，平移规律记心间。左加右减括号内，号外上加下要

减。二次方程零换y,就得到二次函数。图像叫做抛物线，定义域全体实

数。A定开口及大小，开口向上是正数。绝对值大开口小，开口向下A负

数。抛物线有对称轴，增减特性可看图。线轴交点叫顶点，顶点纵标最值

出。如果要画抛物线，描点平移两条路。提取配方定顶点，平移描点皆成

图。列表描点后连线，三点大致定全图。若要平移也不难，先画基础抛物

线，顶点移到新位置，开口大小随基础。

【注】基础抛物线

22.列方程解应用题：

列方程解应用题，审设列解双检答。审题弄清已未知，设元直间两办

法。列表画图造方程，解方程时守章法。检验准且合题意，问求同一才作

答。

23.两点间距离公式：

同轴两点求距离，大减小数就为之。与轴等距两个点，间距求法亦如

此。平面任意两个点，横纵标差先求值。差方相加开平方，距离公式要牢

记。

16

二次函数知识点：1.二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc

(a,b,c是常数，a

00)的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类

似，二次项系数a,而b,c可以

为零.二次函数的定义域是全体实数.

2.二次函数yax2bxc的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是

2.⑵a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数

项.二次函数的基本形式

1.二次函数基本形式：yax2的性质:

结论：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

总结：

2.yax2c的性质：

结论：上加下减。同左上加，异右下减总结:

斤口方R

•，•”,・・g大口t•He>

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17

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3.yaxh

2

的性质:

*

结论：左加右减。同左上加，异右下减

总结：

.即t，：科口*.I.MSIgtI

4.

yaxh2

k

的性质:

总结:

18

1.平移步骤：

⑴将抛物线解析式转化成顶点式y(2)保持抛物线y

ax

2

axhk

2

,确定其顶点坐标h,k；

的形状不变，将其顶点平移到h,k处，具体平移方法如下:

向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位

【或左(h<0)]

2.平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.

概括成八个字“

同左上加，异右下减”.

2

三、二次函数y

2

axhk

与y

axbxc

2

的比较

axbxc

2

请将y2x4x5利用配方的形式配成顶点式。请将y配成

yaxhk

2

o

总结：

从解析式上看，y

2

axhk

2

与y

axbxc

2

是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前

2

者，即

b4acb

yax

2a4a

2

,其中h

b2a

»k

4acb4a

四、二次函数y

axbxc

2

图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数vax2bxc化为顶点式

ya(xh)2k,确定其开口方向、

对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我

们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0,c、以及0,c关于对称轴

对称的点2h,c、与x轴的交点xl,0,x2,0(若与x轴没有

交点，则取两组关于对称轴对称的点).

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，

与y轴的交点.

19

五、二次函数y

1.

axbxc

2

的性质

b

2

b4acb

,当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x,顶点坐标为

4a2a2a

b2a

当x

b2a

时，y随x的增大而减小；当x

2

b2a

时，y随x的增大而增大；当x

时，y有最

小值

4acb4a

b4acb,,顶点坐标为x

4a2a2a

2.当a

0

时，抛物线开口向下，对称轴为

b2a

b

2

.当x

b2a

时，y

随x的增大而增大；当x

时，y随x的增大而减小；当x

b2a

时，y有最大值

4acb4a

2

六、二次函数解析式的表示方法

1.一般式：yax2bxc(a,b,c为常数，a2.顶点式：y

a(xh)k

2

0

););

(a,h,k为常数，a

0

3.两根式：ya(xxl)(xx2)(a0,xl,x2是抛物线与x轴两交

点的横坐标).

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有

的二次函数都可以写成交点式，

只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以

用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.

七、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1.二次项系数a

二次函数y

(1)当a⑵当a

00

axbxc

2

中，a作为二次项系数，显然a

0

时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口

越大；时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，

开口越大.

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方

向，a的大小决定开口的大小.2.一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.⑴在a0

的前提下，

当b

0

时，时，

b2ab2a

0

,即抛物线的对称轴在y轴左侧；ab同号，即抛物线的对称轴就是y

轴；

同左上加

当b

00

当b0时，⑵在a

0

b2a

0

即抛物线对称轴在y轴的右侧.a,b异号

异右下减异右下减

的前提下，结论刚好与上述相反，即

当b

0

时，时，

b2ab2a

0

,即抛物线的对称轴在y轴右侧；a,b异号，即抛物线的对称轴就是y

轴；

当b

00

当b0时，

b2a

0

,即抛物线对称轴在y轴的左侧.ab同号

同左上加

总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.

总结:

同左上加异右下减

3.常数项c

⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点

的纵坐标为正；⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物

线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴

下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来，c决定了抛物线与y

轴交点的位置.

总之，只要a,b,c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.

二次函