高考总复习文数（人教版）阶段复习检测9概率

阶段复习检测(九)概率教师用书独具时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某位同学进行投球练习，连投了10次，恰好投进了8次，若用A表示投进球这一事件，则A的()A．概率为eq\f(4,5) B．频率为eq\f(4,5)C．频率为8 D．频率接近0.8解析：选B投球一次即进行一次试验，投球10次，投进8次，即事件A的频数为8，所以A的频率为eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)．2．(2018·衡水模拟)一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．两次都不中靶 D．只有一次中靶解析：选C“至少有一次中靶”即为“一次中靶“或“两次中靶”，根据互斥事件是不能同时发生的这一定义知应选C．3．(2018·广东七校联考)一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)解析：选D一枚硬币连掷2次可能出现正正、反反、正反、反正四种情况，而只有一次出现正面的有两种，∴P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).故选D．4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为()A．0.95 B．0.97C．0.92 D．0.08解析：选C记抽验的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而抽验的产品是正品(甲级)的概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92．5．(2018·重庆一中月考)设x∈[0,4]，则x2≤4的概率是()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)解析：选D由x2≤4解得－2≤x≤2.因为x∈[0,4]，取交集得x∈[0,2]，所以x2≤4的概率是eq\f(2－0,4－0)＝eq\f(1,2)．6．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则a＜b的概率为()A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)解析：选D各取一个数，共有15种结果，a＜b的结果只有3种，其概率为eq\f(3,15)＝eq\f(1,5)．7．(2017·商丘二模)已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1、2、3三个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A．eq\f(7,9) B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,9) D．eq\f(2,3)解析：选D求导数可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要满足题意需x2＋2ax＋b2＝0有两不等实根，即Δ＝4(a2－b2)＞0，即a＞b.又a、b的取法共有3×3＝9(种)，其中满足a＞b的有(1,0)、(2,0)、(2,1)、(3,0)、(3,1)、(3,2)，共6种，故所求的概率为eq\f(6,9)＝eq\f(2,3)，故选D．8．在平面直角坐标系中，从下列五个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1，1)、D(0,2)、E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是()A．eq\f(2,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(4,5) D．1解析：选C从5个点中取3个点，列举得ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE共有10个基本事件，而其中ACE、BCD两种情况三点共线，其余8个均符合题意，故能构成三角形的概率为eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).故选C．9．已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此实验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为()A．5.3 B．4.7C．4.3 D．5.7解析：选CS＝10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(114,200)))＝4.3，故选C．10．(2018·临川二中一模)同时抛掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率是()A．eq\f(1,18) B．eq\f(1,12)C．eq\f(1,9) D．eq\f(1,6)解析：选C同时抛掷两个骰子，基本事件总数为36，记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件A，则事件A包含的基本事件有(1,5)、(2,6)、(5,1)、(6,2)，共4个，故P(A)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9)．11．(2018·广东七校联考)如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC的内角A、B分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC内的概率为()A．eq\f(3＋\r(3),16π) B．eq\f(3＋\r(3),4π)C．eq\f(4π,3＋\r(3)) D．eq\f(16π,3＋\r(3))解析：选B由正弦定理eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)＝2R(R为圆的半径)⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BC＝20sin60°，,AC＝20sin45°))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BC＝10\r(3)，,AC＝10\r(2).))那么S△ABC＝eq\f(1,2)×10eq\r(3)×10eq\r(2)sin75°＝eq\f(1,2)×10eq\r(3)×10eq\r(2)×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝25(3＋eq\r(3))．于是，豆子落在三角形ABC内的概率为eq\f(S△ABC,圆的面积)＝eq\f(253＋\r(3),102π)＝eq\f(3＋\r(3),4π)．12．(2018·广州一模)任取实数a，b∈[－1,1]，则a，b满足|a－2b|≤2的概率为()A．eq\f(1,8) B．eq\f(1,4)C．eq\f(3,4) D．eq\f(7,8)解析：选D如图所示，则事件|a－2b|≤2所表示的区域为图中的阴影部分所表示的区域，易知直线a－2b＝－2分别交直线a＝－1与y轴于点Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，F(0,1)．所以|BE|＝eq\f(1,2)，|BF|＝1．所以S△BEF＝eq\f(1,2)|BE|·|BF|＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,4)，易得△DHG≌△BEF．因此S△DHG＝S△BEF＝eq\f(1,4)，故阴影部分的面积S＝S四边形ABCD－2S△BEF＝22－2×eq\f(1,4)＝eq\f(7,2)．由几何概型的概率公式可知，事件|a－2b|≤2的概率P＝eq\f(S,S四边形ABCD)＝eq\f(\f(7,2),22)＝eq\f(7,2)×eq\f(1,4)＝eq\f(7,8)，故选D．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．从1、2、3、4、5这5个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和为5的概率是________．解析：根据题意，从5个数中一次随机取2个数，其情况有(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)，共10种情况．其中这2个数的和为5的有(1,4)、(2,3)，共2种情况．则取出2个数的和为5的概率P＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)．答案：eq\f(1,5)14．从长度分别为1、2、3、4的四条线段中任意取三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．解析：从长度分别为1、2、3、4的四条线段中任取三条的不同取法有4种，但要能构成三角形必须满足较小的两条线段长度和大于最长的线段的长度，这里只有取2、3、4这一种方法满足题意，故概率为eq\f(1,4)．答案：eq\f(1,4)15．志愿者纷纷前往灾区救援，现从四男三女7名志愿者中任选2名(每名志愿者被选中的机会相等)，则2名都是女志愿者的概率为________．解析：从7人中选2人有21种情况，选出2名女志愿者的情况有3种，所以概率为eq\f(3,21)＝eq\f(1,7)．答案：eq\f(1,7)16．(2018·辽宁铁岭一中模拟)如图所示的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________.甲乙98853129●5解析：依题意，记题中的被污损数字为x，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x＋5)≤0，x≥7，即此时x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P＝eq\f(3,10)＝0.3．答案：0.3三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)某中学在高二年级开设大学先修课程《线性代数》，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名．为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核．(1)求抽取的5人中男、女同学的人数；(2)考核前，评估小组打算从抽取的5人中随机选出2名同学进行访谈，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率．解：(1)抽取的5人中男同学的人数为5×eq\f(30,50)＝3，女同学的人数为eq\f(20,50)×5＝2．(2)记3名男同学为A1、A2、A3,2名女同学为B1、B2，从5人中随机选出2名同学，所有可能的结果有A1A2、A1A3、A1B1、A1B2、A2A3、A2B1、A2B2、A3B1、A3B2、B1B用C表示“选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件，则C中的结果有6个，它们是A1B1、A1B2、A2B1、A2B2、A3B1、A3B2．所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率P(C)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)．18．(12分)(2018·广东三校联考)高三某班有两个数学课外兴趣小组，第一组有2名男生，2名女生，第二组有3名男生，2名女生．现在班主任老师要从第一组选出2人，从第二组选出1人，请他们在班会上和全班同学分享学习心得．(1)求选出的3人均是男生的概率；(2)求选出的3人中有男生也有女生的概率．解：(1)记第一组的4人分别为A1、A2、a1、a2；第二组的5人分别为B1、B2、B3、b1、b2．设“从第一组选出2人，从第二组选出1人”组成的基本事件空间为Ω，则Ω＝{(A1，A2，B1)，(A1，A2，B2)，(A1，A2，B3)，(A1，A2，b1)，(A1，A2，b2)，(A1，a1，B1)，(A1，a1，B2)，(A1，a1，B3)，(A1，a1，b1)，(A1，a1，b2)，(A1，a2，B1)，(A1，a2，B2)，(A1，a2，B3)，(A1，a2，b1)，(A1，a2，b2)，(A2，a1，B1)，(A2，a1，B2)，(A2，a1，B3)，(A2，a1，b1)，(A2，a1，b2)，(A2，a2，B1)，(A2，a2，B2)，(A2，a2，B3)，(A2，a2，b1)，(A2，a2，b2)，(a1，a2，B1)，(a1，a2，B2)，(a1，a2，B3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)}，共有30个．设“选出的3人均是男生”为事件A，则事件A含有3个基本事件．∴P(A)＝eq\f(3,30)＝eq\f(1,10)，∴选出的3人均是男生的概率为eq\f(1,10)．(2)设“选出的3个人有男生也有女生”为事件B，则事件B含有25个基本事件，∴P(B)＝eq\f(25,30)＝eq\f(5,6)，∴选出的3人中有男生也有女生的概率为eq\f(5,6)．19．(12分)一个袋中装有5个形状、大小完全相同的球，其中有2个红球，3个白球．(1)从袋中随机取出两个球，求取出的两个球颜色不同的概率；(2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求两次取出的球中至少有一个红球的概率．解：(1)2个红球记为a1、a2,3个白球记为b1、b2、b3．从袋中随机取两个球，其中一切可能的结果组成的基本事件有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共10个．设事件A为“取出的两个球颜色不同”，A中的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共6个，故P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)．(2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，b1)，(b2，b2)，(b2，b3)，(b3，a1)，(b3，a2)，(b3，b1)，(b3，b2)，(b3，b3)，共25个．设事件B为“两次取出的球中至少有一个红球”，B中的基本事件有(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b3，a1)，(b3，a2)，共16个．所以P(B)＝eq\f(16,25)．20．(12分)(2018·西安二模)甲、乙两人进行两种游戏，两种游戏规则如下：游戏Ⅰ：口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1、2、3、4、5，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．游戏Ⅱ：口袋中有质地、大小完全相同的6个球，其中4个白球，2个红球，由裁判有放回地摸两次球，即第一次摸出记下颜色后放回再摸第二次，摸出两球同色算甲赢，摸出两球不同色算乙赢．(1)求游戏Ⅰ中甲赢的概率．(2)求游戏Ⅱ中乙赢的概率，并比较这两种游戏哪种游戏更公平，试说明理由．解：(1)∵游戏Ⅰ中有放回地依次摸出两球的基本事件有5×5＝25(个)，其中甲赢有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,3)，(3,5)，(5,5)，(3,1)，(5,1)，(5,3)，(2,2)，(2,4)，(4,4)，(4,2)，共13个基本事件，∴游戏Ⅰ中甲赢的概率为P＝eq\f(13,25)．(2)设4个白球为a、b、c、d,2个红球为A、B，则游戏Ⅱ中有放回地依次摸出两球基本事件有6×6＝36(个)，其中乙赢有(a，A)，(b，A)，(c，A)，(d，A)，(a，B)，(b，B)，(c，B)，(d，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，共16个基本事件，∴游戏Ⅱ中乙赢的概率为P′＝eq\f(16,36)＝eq\f(4,9)．∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(13,25)－\f(1,2)))＜eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)－\f(1,2)))，∴游戏Ⅰ更公平．21．(12分)(2018·珠海模拟)为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩，从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩(单位：分)作样本，如图是样本的茎叶图.甲班乙班19421034112332125(1)分别计算甲、乙两个班级数学成绩的样本平均数．(2)从甲、乙两个班级数学成绩的样本中各随机抽取1名同学的数学成绩，求抽到的成绩之差的绝对值不低于20的概率．解：(1)甲班数学成绩的样本平均数为：eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,5)(91＋102＋114＋122＋123)＝110.4．乙班数学成绩的样本平均数为：eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,5)(94＋103＋112＋113＋125)＝109.4．(2)根据题意，从甲、乙两个班级数学成绩的样本中各随机抽取1名同学的数学成绩分别设为x和y，构成一对有序数组(x，y)，则基本事件的总数为25，设事件A：抽到的成绩之差的绝对值不低于20，则事件A包含的基本事件为(91,112)，(91,113)，(91,125)，(102,125)，(114,94)，(122,94)，(123,94)，(123,103)，共有8个．所以P(A)＝eq\f(8,25)．从甲、乙两个班级数学成绩的样本中各随机抽取1名同学的数学成绩，抽到的成绩之差的绝对值