河南省信阳市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学

20232024学年普通高中高一（下）期末教学质量检测数学试题本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知，是平面，，是直线，下列命题中不正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则3.已知向量，，若与共线且反向，则实数值为（）A.4 B.2 C. D.或44.甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次，命中环数频率分布条形图如下．设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（）A.， B.，C.， D.，5.已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.6.已知，，，则的最小值是（）A. B. C. D.7.已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（）A. B.1 C.2 D.38.已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为（）A.0 B. C. D.3二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.一个平面截正方体所得的截面图形可以是（）A.等边三角形 B.正方形 C.梯形 D.正五边形10.若，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.11.在锐角中，设，，分别表示角，，对边，，，则下列选项正确有（）A.B.的取值范围是C.当时的外接圆半径为D.若当变化时，存在最大值，则正数的取值范围为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．12.若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是______.13.已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数零点有__________个.14.已知正方体的棱长均为2．以中点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为________________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知．（1）求与的夹角；（2）若在方向上的投影向量为，求的值．16.在中，内角的对边分别为的面积为S，已知，且．（1）求；（2）求的取值范围．17.为迎接冬季长跑比赛，重庆八中对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识测试，统计人员从高二学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并制成如图所示的频率分布直方图．（1）估计这100名学生的平均成绩；（2）若在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106，据此估计在内的所有学生测试成绩的平均数和方差．18.已知函数，求：（1）的最小正周期及最大值；（2）若且，求的值；（3）若，在有两个不等的实数根，求的取值范围.19.在直角梯形ABCD中，，（如图1），把△ABD沿BD翻折，使得平面BCD，连接AC，M，N分别是BD和BC中点（如图2）．（1）证明：平面平面AMN；（2）记二面角A—BC—D的平面角为θ，当平面BCD⊥平面ABD时，求tanθ的值；（3）若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得（如图3），令PQ与BD和AN所成的角分别为和，求的取值范围．

20232024学年普通高中高一（下）期末教学质量检测数学试题本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果.【详解】，复数在复平面内对应的点的坐标是，位于第四象限．故选：D2.已知，是平面，，是直线，下列命题中不正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】A【解析】【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】对于A：若，，则或与异面，故A错误；对于B：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故若，，则，故B正确；对于C：垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故若，，则，故C正确；对于D：根据面面垂直的判断定理可知，若，，则，故D正确；故选：A3.已知向量，，若与共线且反向，则实数的值为（）A.4 B.2 C. D.或4【答案】A【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示求出，再结合反向共线即可得解.【详解】由向量，共线，得，解得或，当时，，，与同向，不符合题意，当时，，，与反向，符合题意，所以实数的值为4.故选：A4.甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次，命中环数的频率分布条形图如下．设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】观察给定图表，利用众数的意义运动员命中环数的集中与分散程度判断即可.【详解】根据图表知，甲､乙命中环数的众数均为7环，则；甲运动员命中的环数比较分散，乙运动员命中的环数比较集中，则．故选：A5.已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出和，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由，得，又点及附近点从左到右是上升的，则，由，点及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得，联立解得，，而，于是，，若将函数的图像向右平移个单位后，得到，则，而，因此，所以当时，取得最小值为.故选：A6.已知，，，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由两角和的余弦展开式化简可得的值，再由两角和的正切展开式、基本不等式可得答案.【详解】由，得，因为，，所以，且，，当且仅当取等号.故选：C.7.已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（）A. B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果.【详解】解法一：分别取的中点，则，可知，设正三棱台的为，则，解得，如图，分别过作底面垂线，垂足为，设，则，，可得，结合等腰梯形可得,即，解得，所以与平面ABC所成角的正切值为；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，因为，则，可知，则，设正三棱锥的高为，则，解得，取底面ABC的中心为，则底面ABC，且，所以与平面ABC所成角的正切值.故选：B.8.已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为（）A.0 B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】设，求得，得到，以与交点为原点，建立平面直角坐标系，设，求得，进而求得的最大值为.【详解】由，可得，设，可得，所以，因为，所以，以与交点为原点，以所在的直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，设，且，则，，，当时，.故选：D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.一个平面截正方体所得的截面图形可以是（）A.等边三角形 B.正方形 C.梯形 D.正五边形【答案】ABC【解析】【分析】结合截面图形的性质逐项判断即可.【详解】对于A，截面是正三角形，如图甲所示，故A正确；对于B，截面可能是正方形，如图乙所示，故B正确；对于C，截面可能为梯形，如图丙所示，故C正确；对于D，截面有可能是五边形，如图丁所示，但截面五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等，截面五边形不可能是正五边形，故D错误；故选：ABC.10.若，，则下列结论正确是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由已知可得，由幂函数性质可判断A;由对数函数性质可判断B;由幂函数性质可判断C;由不等式的性质可判断D.【详解】对于A：∵，幂函数在上单调递增，且，∴，故选项A错误；对于B：∵，∴函数在上单调递减，又∵，∴，∴，即，故B正确；对于选项C：∵，则，幂函数在上单调递减，且，∴，∴，故选项C正确；对于选项D：由选项B可知：，∴，∵，∴，∴，故D错误.故选：BC.11.在锐角中，设，，分别表示角，，对边，，，则下列选项正确的有（）A.B.的取值范围是C.当时的外接圆半径为D.若当变化时，存在最大值，则正数的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】由对进行化简得，在利用正弦定理可以推出；再由为锐角三角形化简出的取值范围，且根据正弦定理化简出可判断出的取值范围；同样根据，加上，求出，再利用正弦定理即可求出的外接圆半径；由的取值范围，且对进行化简得，且，当取到最大值时转化成求出的取值范围.【详解】对于A：，且，即，由正弦定理得：，即，或（舍去），，故A正确；对于B：由正弦定理，则，锐角三角形，则，即，，所以，故B不正确；对于C：且，，所以，由正弦定理，求得，即的外接圆半径为；故C正确；对于D：，且，，即；要使得有最大值，即有最大值，此时，当有最大值时，即时，有最大值为，此时，，又，，，∴的取值范围为，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题B选项的关键是利用正弦定理得到，再求出角的范围即可判断；D选项的关键是充分利用辅助角公式得到其范围.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．12.若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据正切型函数的单调性可得，即可求解.【详解】在上为严格增函数，则，由于，则,故，因此，解得，故答案为：13.已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有__________个.【答案】4【解析】【分析】转化为函数的图象与的图象的交点个数即可求解.【详解】函数是偶函数，说明函数的图象关于轴对称，说明的周期是2，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与的图象，如图所示：如图所示，共有4个不同的交点，即有4个零点.故答案为：4.14.已知正方体的棱长均为2．以中点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为________________．【答案】【解析】【分析】根据题意，由条件可得球与侧面的交线为一段圆弧，即可得到结果.【详解】取中点，中点，中点，中点，由题意可得，，，在平面内取一点，使得，则，且，所以以中点为球心，为半径的球面与侧面的交线是以为圆心，为半径的圆弧，且，则，则圆弧的长为.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知．（1）求与的夹角；（2）若在方向上的投影向量为，求的值．【答案】（1）（2）10【解析】【分析】（1）根据数量积的运算和性质计算可得；（2）先求投影向量，然后利用数量积有关性质计算即可.【小问1详解】，，即，，，.【小问2详解】，.16.在中，内角的对边分别为的面积为S，已知，且．（1）求；（2）求的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理计算可得，再根据弦化切计算即可；（2）利用正弦定理结合（1）化简得，再结合角的范围及三角函数的性质计算即可.【小问1详解】因为，所以，在中，由余弦定理，得，因为，所以，所以，所以，因为，所以．【小问2详解】在中，由正弦定理，得，所以因为，所以，所以，所以，即的取值范围为．17.为迎接冬季长跑比赛，重庆八中对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识的测试，统计人员从高二学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并制成如图所示的频率分布直方图．（1）估计这100名学生的平均成绩；（2）若在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106，据此估计在内的所有学生测试成绩的平均数和方差．【答案】（1）69.5分（2）平均数80，方差112【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图直接求平均数即可；（2）利用平均数和方差公式直接计算求解即可.【小问1详解】由图表可知，这100名学生的平均成绩为分【小问2详解】在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，区间的学生频率为，在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106，区间的学生频率为，所以在内的所有学生测试成绩的平均数为，方差为18.已知函数，求：（1）的最小正周期及最大值；（2）若且，求的值；（3）若，在有两个不等的实数根，求的取值范围.【答案】（1）函数的最小正周期为，最大值为；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，利用正弦函数的有界性可求得函数的最大值；（2）求出的取值范围，由可得出，可得出，进而可求得角的值；（3）令，由可求得，由可得出，问题转化为直线与函数在上的图象有两个交点，数形结合可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】（1），所以，函数的最小正周期为，最大值为；（2），则，，可