2024学年第一学期位育中学期中考试试卷答案

2024学年第一学期位育中学期中考试试卷高三年级数学学科(考试时间120分钟，总分150分)一、填空题(本大题共有12题,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分,满分54分)1.已知集合A=(0,4),B=(1,5),则A∩B=.2.抛物线y²=8x的准线方程为.3.不等式x−1x+2≥0的解集为4.若正数a、b满足a+2b=1,则ab的最大值为.5.已知复数z=2−ii(i为虚数单位)，则.6.已知fx=2x,x<1log2x,x≥17.若不等式2kx²+2kx−3<0对一切实数都成立，则实数的取值范围是.8.已知点A(-2,3),B(1,-1),则OA在OB方向上的投影为.9.若1−x6=a0+a1x+IO.设无穷等比数列的公比q=−12,a1=1,11.日常生活中，较多产品的包装盒呈长方体形状，烘焙店的包装盒如图所示，在长方体ABCD−A₁B₁C₁D₁中,AB=3,BC=2,AA₁=1.店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中H−E−E₁−F₁−F−G−G₁−H₁−H的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳(不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度).则图A比图B最多节省的彩绳长度为.12.已知实数x₁,x₂,y₁,y₂满足:x12+y12=1，二、选择题(本大题共有4题,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分,满分18分)13.已知a∈R,则“”是”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为()A.B.C.y=x³+xD.y=−1x15.已知集合M={(x,y)|},若对于任意实数对x₁y₁∈M,存在x₂y₂∈M,使①M=④M=xy|y=sinx+1.其中是“垂直对点集”的序号的个数为(A.0B.1C.2D.316.数列中,是数列的前项和,若对任意正整数,总存在正整数,使得Sₙ=aₘ,则称数列为“P数列”，现有如下两个命题：①等比数列为“P数列”;②对任意的等差数列，总存在两个“P数列”和,使得aₙ=bₙ+cₙ。则下列选项中正确的是()A.①为假命题，②为真命题B.①为真命题，②为假命题C.①为真命题，②为真命题D.①为假命题，②为假命题三、解答题(本大题共有5题，满分78分)17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周上，点F在线段DE上.(1)求证:AF⊥BE;(2)若点E是的中点，求直线DE与平面ABD所成角的大小.【解析】：(1)联结BE,AE,则BE⊥AE,又∵DA⊥平面ABE,∴BE⊥DA,AE∩DA=A,

∴BE⊥平面ADE,AF⊂平面ADE,

∴BE⊥AF.

(2)据题知,EH⊥AB,平面ABCD∩平面ABE=AB18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知向量a=3sinx(1)求函数的单调增区间;(2)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若fA=1,b=4,△ABC的面积为【解析】：(1)因为a=(b则f得−π3+kπ≤−(2)因为f(所以sin⁡2A+π6=12,

又0<A<∵所以c=2,

a219.(本题满分14分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”。根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图：求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分位数；独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率；为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组:第一组[45,50),第二组[50,55),……,第六组[70，75），得到如图所示的频率分布直方图.其中第一组有2人,第二组有13人。求与的值.【解析】(1)40名工人完成生产任务所需时间按从小到大排列

为:

61,61,62,63,63,65,65,67,68,69,70因为40×75%=30

所以第75百分数为87+902=88.5;

（2）由题意可知，第一种生产方式中优秀的概率为2所以选出的两个人均为优秀的概率为110；；；；20.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.已知椭圆Γ：x26+(1)求Γ的离心率;(2)设点N(1,0),点M在Γ上,求|MN|的最大值和最小值;(3)设点T(2,1),点P为直线上的动点,过点P且与OT平行的直线与Γ交于A、B两点.试探究：是否为存在常数λ，使得|PA⋅PB|=λ|【详解】(1)设Γ的半长轴长为a，半短轴长为b，半焦距为c，

则a=6,b=3,则c=3,所以=c则|MN|=(x−1)2+y2=(x−1)2+3−x22=12易得kOT=12,则直线/为y−(3−a)=12(x−a),即y=12x+3−32a,

而|PT|2=(a−2)2+(3−a−1)2=2(a−2)2,(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.设函数的定义域为R,其导函数为。若存在区间及实数满足:对任意,都有恒成立,则称函数为上的“函数”。(1)判断函数是否为上的函数,并说明理由;(2)已知实数满足：函数y=x²+mx+1为上的函数,求的取值范围;(3)已知函数存在最大值.对于以下两个命题，P:对任意,都有与恒成立;Q:对任意正整数,满足函数都是上的函数;判断P是否为Q的充要条件，并说明理由.【解析】21.【答案】(1)设定义域为R的函数y=f(导,导函数为y=f′(x).

若区间及实数则称函数y=f(𝐸𝑀𝐵𝐸𝐷𝐸𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛.𝐾𝑆𝐸𝐸3\∗𝑀𝐸𝑅𝐺𝐸𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴𝑇∵,在时恒成立,

∴y=是上的M(2)函数.(3)若P成立,则对任意正整数n,有:f即y=f(x)为R上的M(n若Q成立,即对任意正整数n,有:f记函数y=f