高中一轮数学4.3利用导数求极值最值

4.3利用导数求极值最值(精练)

【题组一无参函数的极值(点)】

1.(2021•陕西汉中市)设％是函数/(x)=3cosx+sinx的一个极值点，则tan<9=()

A.-3B.—C.-D.3

33

【答案】C

【解析】•.•由已知可得_f(e)=-3sin6+cose=0,Atan6>=1.故选：C.

2.(2021•浙江)函数y=(x2-l)'+l在x=—1处()

A.有极大值B.无极值C.有极小值D.无法确定极值情况

【答案】B

【解析】y=(x2-l)3+l,则"3俨—l»2x,

令y'>0,解得x>0，令y'<0,解得x<0,令y'=O,%=0或%=土1,

所以函数在(0,+8)单调递增；在(9,0)单调递减，

所以在x=-1处无极值.故选：B

x-1

3.(2021•全国专题练习)已知函数/(%)='e一，则()

A.“X)在(0,+8)上为增函数B./(X)在(0,+8)上为减函数

C.“X)在(0,+8)上有极大值D./(X)在(0,+8)上有极小值

【答案】A

【解析】=(XH0),令g(x)=xe*—e*+l,则g(x)=xe\

X

因此在(一8,0)上，g'(x)<0,g(x)单减；在(0,+8)上，g'(x)>0,g(x)单增；

又g(0)=0,因此g(x)>g(O)=O,即八x)>0,

故在(—8,0)及(0,+8)上，单增，/(X)无极值，故选：A

4.(2021•全国高三专题练习)函数/(x)=x2(e川—1)(e为自然对数的底数)，则下列说法正确的是()

A./(x)在上只有一个极值点B.f(x)在/?上没有极值点

C./(幻在％=0处取得极值点I).“X)在X=-l处取得极值点

【答案】C

【解析】由题意，/'(X)=2x(，+i-1)+x2er+,=x(xex+i+2e旬一2),

.•.若/'(x)=0,即x=0或『+2*-2=()，

令g(x)=1+2ex+'-2,则gf(x)=ex+I+xex+l+2ex+I=ev+l(x+3),

，当x>—3时，g'(x)>0；当x<-3时，g'(x)<0；

Ag(x)在(-8,-3)上递减，在(-3,+8)上递增；又g(-l)=-l<0,而g(0)=2e—2〉0,故g(x)在(一1,0)

上存在一个零点.

.••/(X)在〃上至少存在两个极值点，分别为x=0、x=xoe(-l,O).

故选：C

5.(2021•安徽池州市)若函数/(x)=x3池x,则()

A.既有极大值，也有极小值B.有极小值，无极大值

C.有极大值，无极小值D.既无极大值，也无极小值

【答案】B

/_i\

【解析】依题意，f(x)=3x21nx+x2=x2(3]nx+l)；令/'(x)=O,解得方，故当xe0,/5时,

A-c

(1A

/'(x)<0,当xe”,+8时，f\x)>0,故当.〃《时，函数/*)有极小值，且函数无极大值，

\7

故选：B.

Y2

6.(2021•江苏)若函数/袅)=二的极大值点与极大值分别为a,b,则()

e'

A.a<h<abB.a<ah<b

C.b<ah<aD.ab<b<a

【答案】C

2,x•£x—x~•c'x,(2—x)

【解析】VJ(x)=-7-^2----=-二—，

'1•/'(x)=O=x=O或x=2,

/，U)>0=>0<x<2,/'(x)<0nx<0或x>2,

/(x)在(0,2)单调递增，在(-8,0),(2,+o。)单调递减，

4

...x=2为极大值点，且/(2)=七，

e'

c,4°,4,8

a=2,o=—,/.a=2,b=—,ab=—,

ee-e"

h<ab<a,故选：C.

7.(2021•江西上饶市)函数/(x)=2sinx-x(x>0)的所有极大值点从小到大排成数列｛凡｝,设S”是

数列｛见｝的前"项和，则COS$2021=()

11

A.1B.—C.--D.0

22

【答案】B

【解析】在/(x)=2sinx-x,先在xeR时讨论时极值点.

\71

由己知/r(x)=2cosx-l,由2cosx-l=0得cosx=—,x=2左乃+一或工=2%)——,keZ,

233

JTTTTTJT

易知当2A万<x<2k7r+—(k^Z)时、/z(x)>0,当2k)+—<工<2(%+1)万---(k^Z)时、

3333

rr

f'(x)<0,所以/(X)的极大值点是=2k7T+-,k&Z,

X3

TTTT

所以4=2(〃—1)»｛a,J是等差数列，公差d=2»,首项为

S7,„,=2021、工+必心、2万=673乃+二+“(〃—1)万，是偶数，

323

t1c/2"、.-71711

所以COSd2021=COS(7+—)=COS(2%-y)=COSy=—.

故选：B.

8.(2021•安徽省太和中学高三)设函数〃力=卜2-3)/,则()

A.“X)有极大值，且有最大值

B./(力有极小值，但无最小值

C.若方程/(x)=a恰有一个实根，则a＞与

D.若方程/(x)=a恰有三个实根，则0<。<?

e

【答案】D

【解析】由题意f\x)=(x2+2x-3)ex=(x-l)(x+3)ex,

...当x<-3或x>l时，f'(x)>0,当—3<x<l时，f(x0<0,

〃x)在(7,-3)和(1,”)上递增,在(-3,1)上递减.

/(X)圾大1fl=f(—3)=—,/(x)极小m=/⑴=-2e,

e

》<-6或；1>6时，f(x)>0,时，/(x)fO,x.•+<»时，/(X)f+8,

•••/(I)也是最小值.f(x)无最大值.

作出y=/(x)的图象，和直线》=。，如图，

当a=l或a>乌时，/(无)=。有一个根，当0<a<g时，/(x)=a有三个根.

ee

故选：D.

1

9.(2021•安徽师范大学附属中学)函数f(x)=5x29-21nx+x的极值点是.

【答案】1

i21

【解析】/(x)=—/—21nx+x的定义域为(0,+oo),f'(x)=x——+l=-(x+2)(x-l),

2xx

所以令f'(x)>0,解得x>l,令f'(x)<0,解得x<I,

1,

所以x=1为/(x)=-x2-2\nx+x的极值点.

故答案为：1.

10.(2021•湖北武汉市•华中师大一附中)写出一个定义在R上且使得命题“若/'(1)=0,则1为函数

“X)的极值点”为假命题的函数/("=.

【答案】(x—1)3(答案不唯一)

【解析】由题意，/。)=0且1f(%)在x=l处不存在变号零点，例如/。)=(%—1)3,则/1)=3(>-1)2,

所以/'(1)=0,且r(x)=3(x—l)22O,符合题意.故答案为：(x—1)3(答案不唯一)

11.(2021•陕西宝鸡市)设x是函数/(x)=cosx+3sinx的一•个极值点，则cos29+sin?6=

【答案】—

【解析】因为/'(x)=-sinx+3cosx,x=8是函数/(x)=cosx+3sinx的一个极值点

所以/"(。)=-sin6+3cos6=0,所以sine=3cos0

cos26+sin26cos26_cos20_1

所以cos26+sin，0=

cos'6+sin20cos2+sin20cos?6+9cos*10

故答案为：—

【题组二图像与极值(点)】

1.(2021•全国课时练习)已知函数/(x)的导函数为尸(X),函数g(x)=(x-l)/'(x)的图象如图所示,

则下列结论正确的是()

A./(X)在(-8,-2),(1,2)上为减函数

B./(X)在(一2,1),(2,心)上为增函数

C./(x)的极小值为/(一2),极大值为/(2)

D./(X)的极大值为/(一2),极小值为了(2)

【答案】D

【解析】根据函数g(x)=(x-l)/'(x)的图象可知：

当尤>2时.，g(x)>0,即(x—l)/'(x)>0n,f'(x)>0,因此当x>2时，函数/(》)单调递增；

当l<x<2时.，g(x)<0,即(x—l).f'(x)<0n/'(x)<0,因此当l<x<2B寸，函数F(x)单调递减，显

然当x=2,函数有极小值，极小值为了(2)；

当一2<x<l时，g(x)>0,BP(x-1)/'(x)>0=>/'(x)<0,因此当一2<x<l时，函数f(x)单调递减;

当x<—2时，g(x)<0,即(x—l)/(x)<0n/'(x)>0,因此当刀<—2时，函数，(x)单调递增，显然

当x=—2,函数有极大值，极大值为了(—2),

由上可以判断D是正确的.

故选：D

2.(2021•甘肃兰州市•兰州一中)设三次函数/(x)的导函数为/彳X),函数y=V'(x)的部分图象如

下图所示，则()

A.〃x)的极大值为〃3),极小值为/(一3)

B.的极大值为〃一3),极小值为“3)

C./(x)的极大值为6)，极小值为/卜6)

D.“X)的极大值为/(一6),极小值为/(G)

【答案】A

【解析】观察图像知，当x<—3H寸，y=4'(x)>0，，/'(力<0，单调递减；

当一3cx<0时，，y=xf'(x)<0,.,./,(x)>0,/(%)单调递增；

故当》=一3时，函数取得极小值为了(—3)；

当0<x<3时，y=xf'(x)>0,f'(x)>0,7(九)单调递增;

当x>3时，y=?'(x)<0,；./'(x)<0,/(x)单调递减：

故当x=3时，函数取得极大值为/(3)；

故选：A

3.(2021•全国课时练习)若函数y=/(x)可导，则"7'@)=0有实根”是“/(X)有极值”的().

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】/'(x)=O,但/'(无)在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时/(%)在零点处无极值，

但/(力有极值则/'(x)在极值处一定等于0.所以“广。)=0有实根”是“人幻有极值”的必要不充分条

件.故选：A

4.(2021•浙江高二课时练习)设/(力=；/+COSX,则函数/(x)()

A.有且仅有一个极小值B.有且仅有一个极大值

C.有无数个极值D.没有极值

【答案】A

【解析】.f'(x)=x-sinx,7"(x)=l-cosxNO/'(x)单调递增且/'(0)=0,

...当x<0时，/'(x)<0，函数.f(x)单调递减，

当龙>()时，/'(x)>0,函数、(九)单调递增,

故“X)有唯一的极小值点.故选：A.

5.(2021•全国课时练习)如图是f(x)的导函数/(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()

【答案】A

【解析】由导函数f、(x)的图象知

在、=一2处F(-2)=0,且其两侧导数符号为左正右负，*=-2是极大值;

在x=-l处f(-1)=0,且其两侧导数符号为左负右正，了=-1是极小值;

在了=一3处F(2)=0,且其两侧导数符号为左正右负，x=2是极大值；

所以Ax)的极小值点的个数为1,

故选：A

10.(2021•全国课时练习)下列说法正确的是()

A.当/(玉))=0时，则/(玉))为f(x)的极大值

B.当/(%)=0时，则/(玉,)为/(x)的极小值

C.当/(%)=0时，则/(玉,)为“X)的极值

D.当/(%)为了(幻的极值且尸(不)存在时，则有/''(Xo)=O

【答案】D

【解析】不妨设函数Ax)：/则可排除ABC

由导数求极值的方法知当/(%)为f(x)的极值且尸(飞)存在时，则有/(%)=0故选：D

11.(2021•陕西西安市)设函数f(x)在R上可导，其导函数为了'(X),且函数y=(l-x)/'(x)的图像如

题(8)图所示，则下列结论中一定成立的是

A.函数/(%)有极大值/(2)和极小值/(I)

B.函数/(x)有极大值/(-2)和极小值/⑴

C.函数/(%)有极大值/(2)和极小值/(-2)

D.函数Ax)有极大值/(一2)和极小值/(2)

【答案】D

【解析】耳一2,1-耳0,(1-力,/(大)>0则7(力>0函数/(丹增；

一-—x)/'(x)<0则/'(x)<0函数/(x)减；

1<%<2,1-%(0,(1-1)/'(》))0则/'(%)<0函数/(%)减；

%>2,1—兀<0,(1—1)/'(》)<0则/'(x)>0函数/(%)增；选D.

【题组三已知极值(点)求参数】

1.(2021•江苏苏州市)已知函数/(力=%3-2〃谓+加2%在产1处取得极大值，则加的值为()

A.1B.3C.1或3D.2或一2

【答案】B

22

【解析】由题意得：f'(x)=3x-4mx+m,因为在尸1处取得极大值,

所以/'(I)=3-4m+irr-0,解得m=1或加=3,

当加=1时，f(x)=3x2-4^+1=(%-1)(3%-1),

令/'(x)=0,解得x或x=l,

当xe(-8,g),(l,+oo)时，f'(x)>0,/(x)为增函数，

当时，f'(x)<0,/(幻为减函数，

所以在x=l处取得极小值，不符合题意，故舍去，

当机=3时，f'(x)=3X2-12X+9=3(X-1)(X-3),

令/'(x)=0,解得x=l或x=3,

当XW(YO,1),(3,+8)时，f\x)>0,/(X)为增函数，

当x«l,3)时，r(x)<0,f(x)为减函数,

所以在x=l处取得极大值，故机=3满足题意

综上加=3.

故选：B

2.(2021•四川凉山彝族自治州)若/是函数/(x)=e、一也一’的极值点，则％()

XX

A.—+lnxo=OB.xo-lnxo=O

xo

1,八

C.x0+Inx0=0D.--Inx0=0

xo

【答案】C

【解析】因为函数〃x)=ex—平―J,

所以r(x)=，+竽，

因为不是函数/(x)=e*-叱一，的极值点，

XX

所以/'(Xo)=e"+鬟=0,即々(e'。=-lnx0,

两边取以e为底的对数得：x0+21nx0=ln(-lnx0),

即x0+Inx0=-ln%)+111(-1117))，

令g(%)=%+ln%,即g(x°)=g(—Mx。)，

因为g'(Xo)=l+，>O,

所以g(x。)在(O,+8)上递增，

所以Xo=Tnx(),即Xo+lnXo=O,

故选：c

3.(2021•浙江)已函/(力=，-以+4)/-三/+ax2+i,若“X)在尤=2处取得极小值，贝山的

取值范围是()

A.B.(0,e2)C.(一8,1]D.(一oo,/)

【答案】D

【解析】0^)/(x)=(x2-4x+4)ex--x3+ar2+l,所以/"(x)=(/-2x)(e*-a),

当aVO时，/—a>0,所以/(%)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，满足题意；

当0<a〈l时，在x«0,+8)上e*—a>0,所以/(%)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，满

足题意；

当1<。</时，/(%)在(111。,2)上单调递减，在(2,一)上单调递增，满足题意；

当a=e2时，/(力在(0,+向上单调递增，不满足题意；

当a>e2时.，”X)在(0,2)上单调递增，在(2,Ina)上单调递减，不满足题意.故a的取值范围为(―]),

故选:D.

4.(2021•湖南师大附中)己知函数/(x)=J?+3/n/+zu+/在x=_i处取得极值0,则加+〃=()

A.4B.11C.4或11D.3或9

【答案】B

即I3—=0m—\

【解析】因为/'（工）=3/+6m氏+〃，山题有〃-1)=。’pl2八，解得V〃=3或

-14-37H-n+m=0

m=2m=lc/、2

C,检验：当<“一3时/'(x)=3x+6x+3=3(x+l)20,不合题意,舍掉;

n=9

—2

当《一:时，/'（x）=3d+12x+9=3（x+3）（x+l）,令尸（x）＞0,得％＜_3或犬＞一1；令/（x）＜0

n=y

得—3＜x＜—1.

所以/（X）在（—8,-3）,（―L+O））上单调递增，在（—3,—1）上单调递减，符合题意，则〃z+〃=2+9=ll.

故选：B.

5.（2021•四川成都市）在AABC中，a,b,。分别为NA，DB,NC所对的边，若函数

/(x)=+"2+(/+c?-ac)x+l有极值点，则COS2JB+COS3的取值范围是()

【答案】B

【解析】由/'(%)=》2+次+(“2+02一")，根据/(x)有极值点，

贝ijf\x)^x12+2bx+(a2+c?-ac)=0有两个不同的实数根.

222

所以D=4b-4(a+c-ac)>0,g|J/+c2—及<ac

〃2+2_序]1

由余弦定理可得cos8=巴士~由0<3<〃，所以一1<COSB<-,

lac22

cosIB+cosB-2cos2B+cosB-1=2|cosB+—9

I4J8

1(]vQToA

由一1<COSB<-,贝ij2cosB+---6--,0

2I4j8L8)

所以cos2B+cosB的范围是一，°)

故选：B

6.（2021•安徽宣城市）若函数/。）=/_3/+12%+1（。＞0）存在两个极值点玉，%，则2a）+/（X2）

的取值范围是()

A.(-oo,18)B.(9,18]C.(-oo,16]D.(-oo,16)

【答案】A

【解析】函数，。)=/-3内：2+12元+1(a>0),

/'(%)=3》2一66+12=3，-2奴+4),

由函数/(X)存在两个极值点尤1,

(尤)=0有两个不等实数根，

.,.A=4tz2-16>0>a>Q,

解得a>2.

且芯+工2=2。，芯工2=4.

/.X；+x；=(玉+/J—2玉%2=4a2-8

则

f(X])+/(x,)=X；-3dX|~+12X|+1+x：—+12x,+1

=(X[+工2)(x：—X|X2+)—3a(x；+x£)+]2(x+x2)+2

=2a(4。--8—4)—3a(4a~—8)+24a+2

=-4a+24a+2>

令g(a)=-4t?+24a+2,ae(2,+a)).

.•"'(。)=-12/+24<0,

・•.g(a)在ae(2,+oo)上单调递减.

g(a)<^(2)=-4x8+24x2+2=18.

/U,)+/(x2)的取值范围是(一8,18).

故选：A.

7.(2021•浙江高三月考)已知a力eR,若％=a不是函数/(x)=(x—a)2(x-»(e*T—1)的极小值点,则

下列选项符合的是（）

A.\<b<aB.b<a<\C.a<\<bD.a<h<\

【答案】B

【解析】令〃x)=(x-a)2(x-b)(ei-1)=0,得玉=b,X3=1.

卜面利用数轴标根法画出/(x)的草图，借助图象对选项4B,C,〃逐一分析.

对选项屈^\<b<a,由图弋尹*Z►x可知x=。是/(x)的极小值点，不合题意；

对选项尺^b<a<\,山图、可知x=一不是"幻的极小值点,符合题意;

对选项a^a<\<b,由图可知尤=a是/Xx)的极小值点，不合题意；

对选项〃：若a<匕W1，由图一》可知是〃x)的极小值点，不合题意；

故选：B.

8(2021•全国高三其他模拟)已知函数/(x)=*-1：+lnx),若函数/(x)有三个极值点，则实数Z的

取值范围为()

A.[4e,2/)U(2e2,M)B.[0,4e]

C.(4e,2e2)U(2e2,-H»)D.[0,4e)

【答案】C

【解析】/(x)=/一[g+ln龙)(x>0«H0),求导，得/(尤)=(1'*),

令/'(x)=0，得x=l,或2e2x-Ax=0.

要使fix)有三个极值点，则/'(%)=0有三个变号实根，

即方程Ze?'-京=0有两个不等于1的变号实根.

2“2r2e2x

2e2x-far=0<=>k=——,令g(x)=——,(x>0),

xx

则g，(x)=QI"l,令g'(x)=0,得x=；.

易知g(x)min=g(g)=4e，且x->0*，g(x)f+oo；Xf+co,g(x)->+OO.

所以，当火>4e时，方程g(x)=o即2e2*一日=0有两个变号实根,

又所以左4g⑴，即人工2e2.

综上，Z的取值范围是（4e,2/）U（2e2,+8）.

故选：C.

【题组四无参函数的最值】

1.（多选）（2021•江苏泰州市）函数尸的导函数/（X）的图象如图所示，以下命题错误的是（）

C.y=f（x）在区间（-3,1）上单调递增

D.尸f（*）在x=0处切线的斜率小于零.

【答案】BD

【解析】根据导函数图象可知当（-8,-3）时，/（%）＜0,在xe（-3,+8）时，f\x）＞0,

.••函数了=/（了）在（-8,一3）上单调递减，在（-3,+s）上单调递增，故C正确；

则-3是函数尸/"（X）的极小值点，故A正确；

•.•在（-3,+s）上单调递增，-1不是函数尸f（x）的最小值点，故B不正确；

•.•函数y=f（外在x=0处的导数大于0,.•.切线的斜率大于零，故D不正确；

故选:BD

2.（多选）（2021•广东潮州市•高三二模）己知函数y=/（x）的导函数y=/'（x）的图象如图所示，则

下列结论正确的是（）

B./(e)</p)</(c)

c.X=c时，/(x)取得最大值D.x=d时，/(x)取得最小值

【答案】AB

【解析】由/'(x)图象可知：当XG(-oo,c)U(e,+°°)时，/'(力>0；当xw(c,e)时,/(%)<0;

.••/(%)在(一8©,(%+<»)上单调递增，在(c,e)匕单调递减；

对于A,-：a<b<c,/./(a)</(/?)</(c),A正确；

对于B,'：c<d<e，.•./(e)</(J)</(c),B正确；

对于C,由单调性知/(c)为极大值，当龙〉e时，可能存在/(七)>/(c),C错误；

对于D,由单调性知/(e)</(d),D错误.

故选：AB.

3.(多选)(2021•山东潍坊市•高三三模)已知函数/(x)=2sinx-sin2x,则下列结论正确的是()

A.“X)的周期为2兀B.的图象关于对称

C.“X)的最大值为乎D.“X)在区间在(5,上单调递减

【答案】ACD

【解析】由于/(%4-2^-)=2sin(%+2^?)-sin2(x+2TT)=2sinx-sin2x=/(x),故A正确;

由于/(乃-x)=2sin(乃一x)—sin2(7r-x)=2sinx+sin2xw/(x),

即y=/(%)的图象不关于尤=5对称，故B错误；

/z(x)=2cosx-2cos2x=2cosx-2(2cos2x-1)=Tcos2x+2cosx+2

=-4(cosx-l)(cosx+g)

2f2,

当XE一1"+2攵乃■1+2Z1,/sZ时,/(x)>0,函数单调递增;

22%

当工£一万+2左肛一1"+2左乃或xwq-+2左肛乃+2左4，&wZ时，/r(x)<0,函数〃x)单调递减;

由C项分析可知，/(尢)在[了,行")上单调递减，故1)正确；

故选：ACD.

4.(2021•全国高考真题)函数〃x)=|2x-l|-21nx的最小值为.

【答案】1

【解析】由题设知：/(x)=|2x—1|—21nx定义域为(0,+8),

...当0cx时，/(x)=l-2x-21nx,此时/(x)单调递减；

1?

当一时，/(x)=2x-l-21nx,有/'(x)=2--<0,此时单调递减;

2x

2

当X>1时，/(x)=2x—l-21nx,有尸(x)=2——>0,此时/(x)单调递增；

x

又/(%)在各分段的界点处连续，

...综上有：O<xW10寸，f(x)单调递减，x>l时，单调递增；

/(x)>/(l)=l

故答案为：1.

5.(2021•江西高三二模)已知函数/(x)=x2—21nx,则/(%)在口句上的最大值是—

【答案】"2

【解析】由题意可知，XG[l,e],

er,、2、22x2—22(x—l)(x+l)

Q/(x)=x-2mx,f(JC)=2x——=--------=-----------------.

XXX

当xe[l,e]时,f'(%)>0,

12

函数/(X)在区间［l,e］上单调递增，则/(x)max=f(e)=e-2.

故答案为：e2-2

6.(2021•湖南)函数/(x)=xsinx+cosx(0^k2］)的最小值为.

■一,・3)

【答案】——

2

【解析】/(x)=sinx+xcosx-sinA：=xcosx,.•.当XEO,g时，/(x)>OJ(x)单调递增，当

“£惇』时，f(x)<°，/(x)单调递减，当工€仁，2万)时，f(x)>O"(x)单调递增，

/(O)=1,/佟)=T，・•・/(X)的最小值为一学

\2y22

【题组五已知最值求参数】

1.(2021•湖南)已知x=2是〃x)=21nx+以2—3尤的极值点，则/(x)在1,3上的最大值是()

9517

A.21n3—B.---C.-2In3---D.2In2—4

2218

【答案】A

2

【解析】由题意，/'(%)=一+2依一3且/'(2)=0,

x

1印，，/、21,%2-3x+2(x-l)(x-2)

・・。二彳，贝ij/(x)=—+x—3=---------=-----------,

2xxx

・••当lvxv2时，/\x)<0,/(x)单调递减；当％<1或x>2时，/Xx)>0,/(x)单调递增;

.•.在1),(2,3］上，“X)单调递增；xe(l,2),/(x)单调递减；

95

V/(3)=2In3-->/(l)=--,

19

f(x)在［一,3］上最大值是2In3一一.

32

故选：A.

2.(多选)(2021・云南)已知函数/(力=%3+3%2-9》+1,若/(力在区间(左,2］上的最大值为28,

则实数"的值可以是()

A.-5B.-4C.-3D.-2

【答案】AB

【解析】因为/(力=/+3%2-9%+1,所以/(%)=3f+6=-9,

令/(x)=3%2+6x—9=°，解得％=—3,x2=1,

所以/(九)在(-8,-3)和(1,转)时,/(x)>0,f(x)在(―3,1)时，/(x)<0,

所以函数/(x)在(-8,-3)和(l,4w)上单调递增，函数“X)在(—3,1)上单调递减，

则“X)在［，2］内单调递增，所以在［1,2］内，“2)最大；

/(X)在(—3,1)时单调递减，所以在［—3』内，〃一3)最大；

“X)在(—,—3)时单调递增，所以在(，》,—3)内，/(—3)最大；

因为"2)=3,/(—3)=28,且/(X)在区间化2］上的最大值为28,

所以a<—3,即4的取值范围是(—,一3),

故选：AB.

3(2021•江西)已知函数/(幻=(/+。),有最小值，则函数丁=/'(6的零点个数为()

A.0B.1C.2D.不确定

【答案】C

【解析】由题意,f'(x)=(x2+2x+a)e',

因为函数/(x)有最小值，且炉>0,

所以函数存在单调递减区间，即/'(x)<0有解，

所以/+2x+a=0有两个不等实根，

所以函数〉=/'(月的零点个数为2.

故选：C.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的最值，考查了运算求解能力，属于基础题.

4.(2021•四川眉山市)若曲线/(x)=lnx+gx在点毛))处的切线方程为丫="+。,

则R+b的

最小值为。

11

A.-1B.---C.一D.1

22

【答案】C

【解析】由/(x)=lnx+」x,则切点为

2\2

11.11

求导/0)=—+大，则切线斜率攵=一+不，

x2%，

I11]1

切线方程为丁=---(X—x0)+lnx0+—x0,即y=—I—x4~inXQ—1

【X。2J2

贝ijZ+Z?=--FInXQ—(XQ>0)

/2

令"(x)=』+lnx-L(x>0),则/(x)=L—二=,令〃，(x)=0,得x=l

x2XXXT

当Ovxvl时，u(x)<0,"(x)单调递减；当JV>1时，uf(x)>0,〃(x)单调递增；

故当x=l时，函数”(X)取得最小值M(1)=L,即攵+。的最小值为!

故选：C

5.(2021•西藏拉萨市•高三二模(理))设函数/(x)=e、一2%,直线丁=办+人是曲线y/(x)的

切线，则2a+h的最大值是()

A.e-1B.-1C.2e-4D.e2-4

【答案】D

[解析】由题得f(x)=ex-2.设切点(z,/(0)，

则/(r)=e'_2r,/'(r)=e'_2；

则切线方程为y-(e'-2t)^(e'-2)(x-t)

即y=(d-2)x+d(l-r)

又因为y=改+6是曲线y=F(x)的切线

所以a=d—=f),

则2a+力=-4+3e'-fe'.

令g(')=Y+3d-te1.

则g'⑺=(2T)e'.

则有，>2时，g'⑺<0,g（。在（2,+<x>）上递减;

f<2时，8'«）<0,8（。在（2,+00）上递增,

所以r=2时，g⑺取最大值g（2）=T+3e2-2/=T+e2

即2。+力的最大值为《2-4.

故选：D.

2

XI7T1

6.（2021•全国高三专题练习（理））已知函数〃x）=sin2x+:---3在0,—上单调递减，则

l266

实数加的最小值是（）

A.-V3V•---------D.6

2

【答案】D

2

sin12x+?X7t

【解析】由/（x）=-------nvc在0,-匕单调递减,

26

得f'(x)-2cos|2x+看

-x-m<0XG0,—

6

即2cos[2x+?-x<m,

令g(x)=2cos12x+2J-xXG0,a5，则g'(x)=-4sin12x+V)—l,

71

当IE0,-时,-<2x+-<~,则244sin2x+^44,

6662I6J6

所以—5K4sin12x-i—)—14—3,即g'(x)<0,

4r~

所以g(x)在xe0,-是单调递减函数，g(x)<g(0)lllax

得〃后，〃7的最小值为JL

故选：D.

7.(2021•上海)函数/(»=3彳-丁在[0,〃”上最大值为2,最小值为0,则实数优取值范围为()

A.[1,V3]B.[1,+8)C.(1,6]D.(l,4w)

【答案】A

【解析】.•.•/(x)=3x-x3,.,./'(x)=3-3X2=3(1+X)(1-X),

令/'(x)=。，则x=l或一1(舍负)，

当O,,x<l时，f\x)>0.单调递增；当％>1时，/'")<0,『(X)单调递减.

•函数/(X)在[0,河上最大值为2,最小值为0,且/(())=/(百)=0,f(1)=2，

l<m<>/3■故选：A.

8.(2021•青海)函数y=(x—2)/+加在[0,2]上的最小值是2-e,则最大值是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】y'=ex+(x-2)ex=(x-l)ex.

因为xw[0,2],

所以