2021年沪教版数学必修二同步第19讲压轴综合题（讲义）教师版

第19讲压轴综合题（讲义）

本节主要针对高一下学期的压轴题进行总结，综合性较强，也是高考的热门

考点。

一、单选题

1.（2020•上海市嘉定区第一中学高二月考）在AABC中，”是边A3上一定点，满足

AB=4HB，且对于边A3上任一点P，恒有方2丽・布，贝U（）.

A./ABC=9（yB.ZBAC=90°C.AB^ACD.AC=BC

【答案】D

【分析】以AB所在的直线为x轴，以A8的中垂线为了轴建立直角坐标系，设A8=4,

C（a,b）,P（x,0）,山题意写出丽，HC＜丽，正的坐标，山丽・斤2丽.豆C

结合向量的数量的坐标表示可得关于x的一元二次不等式，结合二次不等式的性质即可求

出。得值，进而可得正确答案.

【详解】

以AB所在的直线为％轴，以AB的中垂线为＞轴建立直角坐标系，

设AB=4，C（a,b）,P（x,0）,则5H=LA（-2,0）,B（2,0）,“（1,0）,

所以丽=（1,0）,丽=（2-x,0）,PC=（a-x,b）,HC=[a-\,b）,

PBPC=（2-x）（a-x）.HBHC^a-l＞

因为丽•定2丽•衣对于边AB上任一点P都成立，

所以（2-司（"一%""1在[-2,2]上恒成立，

即f—（a+2）x+a+120在[—2,2]I二恒成立即（x—l）（x—a-1）20,Vxe[―2,2]

若I<x42,则x—a-120恒成立，故aVx-l恒成立，故。40,

若-2?x1，则x-a—1W0恒成立，故aix-l恒成立，故。2(),

故a=0即点。在A3的垂直平分线上，所以AC=BC,

故选:D

【点睛】关键点点睛：本题关键想到建立直角坐标系将丽.定之丽.正转化为坐标，

设，设AB=4，C(a,。)，尸(x,0),写出各点坐标即可写出而，HC,方，的坐

标，可得(2-x)(a—x)之a—1恒成立，利用二次函数的性质求出a=0,可得点。在A5

的垂直平分线上即AC=BC

2.(2021•湖北高三期末)已知复数4和Z2满足区一8-1用=石％-4—6，,

|z「Z21=3,则国的取值范围为()

A.[0,13]B.[3,9]C.[0,10]D.[3,13]

【答案】A

【分析】设4=x+yi,x,yeR,由忸一8—144=石区一4一6，[可得

(x-3)2+()'-4尸=25,设Z2=/〃+〃/；加,〃eR,则点(x,y)和点(九〃)距离为3,作图图

象即可得解.

【详解】设4=x+yi,x,yeR,

则|z「8-14]=石区—4一6?[表示点(X,y)到点(8,14)的距离是到点(4,6)距离的加倍.

则J*-8)2+(y-14)2=国d)2+(y—6)2.

化简得:(x-3)2+(y-4)2=25,

即复数4在复平面对应得点为以(3,4)为圆心，5为半径的圆上的点.

设Z2=m+应,根,"GR,因为[Z]-Z2|=3,所以点(x,y)和点(加,〃)距离为3,

所以复数Z2在复平面对应得点为以(3,4)为圆心，2为半径的圆即以(3,4)为圆心，8为半

径的圆上构成的扇环内(含边界)，如图所示:

区|表示点(九〃)和原点(0,0)的距离，由图可知同的最小为0,最大为10+3=13.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用复数得几何意义，坐标化，设

z^x+yi.x.yeR,得。一3)2+(丁-4)2=25,进而可以利用数形结合解决问题，属于难

题.

3.(2020•浙江)已知复数z满足回=1,且有z"+z=l，求2=()

15/3.口V31.3V2..挪不什

A.一±---1B.---±—iCr.---±---11).制，4、对

222~222

【答案】A

【分析】根据题意可设z=cos6+isin。(i为虚数单位)；然后再利用棣莫佛公式，可得

/、/、一fcosl7^+cos0=\

(cos176>+cos6()+z(sin176>+sin0)=1,再根据复数的概念，可得《..八八，

'sin17y+sin0=0

利用三角函数同角关系，即可求出e的值，进而求出结果.

【详解】因为目=1,设z=cos8+isin6(i为虚数单位);

由棣莫佛公式，可得

z17+z=cosl7e+isinl7e+cose+isine=(cosl7e+cose)+i(sinl7e+sin。),

所以(8sl76+8se)+i(sinl76+sin夕)二1

cos178+cos0=1fcos176=1—cos6

所以《八，即《

sin176+sin0=0[sin176=-sin6

因为(sinl7，『+(cos17，1二1，

所以(sin17e『+(cos17夕『=(_sin+(l-cos9)2=1；

化简可得sir?^+cos2。一2cos，=0，即1-2cos6=0

所以cos0=—,所以sin0-±V1—cos20-±——；

22

所以z=』±i-

22

故选:A.

【点睛】本题主要考查了复数模的运算，熟练掌握复数模的运算性质，是解决本题的关键.

二、填空题

4.(2021•上海高一单元测试)在小钻C中，-+-=4cosC,cos(A-B)=-,])lij

ab6

cosC=.

【答案】I

【分析】根据余弦定理化简2+g=4cosC,得到cosC=£；由题意，在比上取。,

ab2ab

使得BD=AD,连接49,找出4-6,设Q=x,在△/加中两次利用余弦定理将cos(A-

皮及cost表示出，分别求出x建立关于a,b的方程，化简变形后利用整体换元求出答

案.

【详解】由题意知，—+-=4cosC

abf

由余弦定理得，:+方=4'区嗫

化简可得/+〃=202,则cosC=J,

2ab

又AABC中不妨设日>6,・・">〃.在以上取〃使得㈤=被连接力〃

设BD=x,IJllJAD=x,DC=a-x,AC=b9

在中，cosZDAC=cos（A-B）=—,

6

由余弦定理得：（a-x）2=x2+b2-2A-b--,

6

即：（b-6a）x-3h2-3a2<

解得：x=即--3J①

b-6a

b1+（Q-X）~-x2

又在△』加中，由余弦定理还可得cosC=

2♦〃❷（。一x）

2b1+（Q-X）2-x29

.「Cac-

..COSL=--------=,化简得x=,②

2ab2a2-c2

由①②可得3“2="_o'2又八"2c2,

联立可得ab（〃+-3（片+h2y+24a2b2,BPab（2c2）--3（2c2）-+24a2/72,

2（2、22

c2

两边同时除以4a2〃，得£•=—3—+6,令——=t，则12产+，_6=0，解得t=；

2abIab,2ab3

或-之,

4

c22

又由题意cosC>0,t二COSC=--------=—

2ab3

【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查了运算化简的技巧，考查利用几何图形解决

问题的能力，属于难题.

5.(2021♦上海高一单元测试)函数/(x)=sin2x+2cosx在区间--—,0上的最大值

为1，则。的值是.

TT

【答案】一£

2

【分析】利用同角三角函数平方关系，易将函数化为二次型的函数，结合余弦函数的性

「2-

质，及函数/(x)=sin2x+2cosx在一1乃，。上的最大值为1，易求出。的值.

【详解】•/函数/(1)=5访21+2。5%=一(：0521+2。05%+1=—(。05%-1)2+2

「2

又•・,函数/(x)=sin2x+2cosx在一个冗、。上的最大值为1,

/.cosx<0,

-2；

又・・・X£-］兀、9,

27r

且丁=85%在彳口—号,。］上单调递增,

所以cos8=0

即”一C.

2

JT

故答案为：一■—

2

【点睛】本题考查的知识点是三角函数的最值，其中利用同角三角函数平方关系，将函数

化为二次型的函数，是解答本题的关键，属于中档题.

6.(2021•上海高一专题练习)如图AABC中，ZACB^90°,NC4B=30°,BC=\,

M为AB边上的动点，D为垂足，则MD+MC的最小值为；

3

【答案】一

2

【分析】以C为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出MD+MC的值，然后利用

换元法求解出MD+MC对应的最小值即可.

【详解】如图所示，设M（x,y）,所以=

根据条件可知:A（0,⑹,8（1,0）,所以"百-瓜，

冗

设1=r8$。，y=rsin6>,6e0,—,re（0,+oo）,

所以百rcos6+rsin®二G，所以r=

J5cos8+sin。

所以MD+MC=x+yjx1+y2=r(l+cos6)=J---------

V3cos+sin

d

1-tantan—+—

222

1+tan

所以当tan&=3时，MD+MC有最小值，最小值为

232

3

故答案为：一.

2

八J,

【点睛】本题考查利用坐标法以及换元法求解最值，着重考查逻辑推理和运算求解的能

力，属于较难题

(D利用换元法求解最值时注意，换元后新元的取值范围；

2tan—1-tan"—

(2)三角函数中的一组'‘万能公式"：sin<9=------%,cos0=----------

1+tan2—l+tan?一

22

7.(2021•上海高一单元测试)设数列｛4｝是首项为0的递增数列，函数

/,(x)=|sin-(x-a„)|,xe[a,«„1满足：对于任意的实数mG[0,1),f(x)=m总有

nn+1n

两个不同的根，则J的通项公式是

n(n-l)7r

[答案]———

2

【分析】利用三角函数的图象与性质、诱导公式和数列的递推公式，可得

-4=〃%，再利用“累加”法和等差数列的前n项和公式，即可求解.

【详解】由题意,因为4=0,当〃=1时，/(x)=|sinx|,x€[(),%],

又因为对任意的实数me[0,1),力(x)=m总有两个不同的根，所以4=乃，

所以<(x)=sinx,xe[0,扪，④=万，

\\X

又上(入)=|5足5(工一〃2)1=|5访5(工一兀)|=cos—[肛％]，

对任意的实数相力*)二根总有两个不同的根，所以火=3万，

\\X

又力(x)=|sin§(x-a3)l=lsin5(x-3万)|=cos-,xe[3^,a4],

对任意的实数力。)=%总有两个不同的根，所以4=6万，

由此可得见+i一。“=〃万,

/、/、，/八〃(〃一1)%

卜力以Cln=q+(%—%)+,,•+(4〃—Q〃_1)=1+7T+•,,+(71—1)7T=--------,

所以4=幽”

故答案为止巫.

2

【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及诱导公式，数列的递推关系

式和“累加”方法等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

8.(2021•上海高一单元测试)已知/(X)是定义在R上的奇函数，且xVO时，/(X)单

调递增，已知/(-1)=0,设8(%)=5足2%+/^€«%-2，?7,集合

M=<w|对任意xw0仁，有g(x)V。},集合

N=</〃|对任意xe0,],有y[g(x)]vo},则Afp|N=.

【答案】(4-272,+oo)

【分析】由己知可得：x<-4时，〃x)<0,0<x<lH't,/(x)<0,将/[g(x)]<0

转化成g(x)<-1或0<g(x)<1,即可将McN转化成：

71=1"2|对任意工£0,—,有g(x)<T},即可转化成：-----<m

IL2」J12-cosx」1rax

对任意xe0,y成立，令r=2-cosx,整理得：一弓+[+4<m,再利用基本

-」L'，」max

不等式即可得解.

【详解】因为/(X)是定义在R上的奇函数，XV0时，/(力单调递增，且/(-1)=0

所以x<-l时，/(x)<0,0<x<l时，/(x)<0,

所以/[g(x)]<。可化为：g(x)<T或0<g(x)<l,

所以集合N=＜加|对任意xe0,y,有/'[g(x)]vO”可化为:

冗,

集合N=，/%|对任意%£0,—,有g(x)v-l或0vg(x)＜l＞,

-rjr1、

所以A/nN=A=＜，川对任意xe0,—,有g(x)＜-4＞

即：si/x+mcosx—2加＜一1对任意尤£°，,恒成立.

即：---------＜加对彳王忘XE0,—怛成u,即：---------＜m

2-COSXL2J12-COSX」max

G2

记y=41£21_£,令f=2-cosx,则f«L3],且cosx=2-r,代入得：

2-cosx

y=—1：+，+44—2后?+4=—2夜+4,当且仅当0时，等号成立.

所以＞皿=一2夜+4，

所以—2夜+4＜M，

所以MPIN=(4—2及,+oo)

【点睛】本题主要考查了奇函数的应用及函数单调性的应用，还考查了交集运算及参变分

离法解决恒成立问题，还考查了换元法、转化思想及利用基本不等式求最值，属于难题.

9.(2021•上海高一单元测试)将函数/(x)=2sin2x的图象向右平移9(0＜夕＜〃)个

单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|/(xj-g(x2)|=4的%、々，有归一引的最小

冗

值为=，则夕=______.

6

【答案】g或寻

33

【分析】先求解g(x)的解析式，根据|/(西)一8(/)|=4可知一个取得最大值一个是最小

值，不妨设/(石)取得最大值，g(w)取得最小值，结合三角函数的性质|石-々|的最小

兀

值为高，即可求解夕的值：

6

【详解】山函数〃x)=2sin2x的图象向右平移。，可得g(x)=2sin(2x—20)

不妨设/(石)取得最大值，g(£)取得最小值，

式3乃

2%|=—+2kjr,2x1—2(p―—F2k.兀,keZ.

可得2(菁_9)+20="

-xj的最小值为g,即％-马=±g.

66

,71八

/.±一+2/=冗

,口冗42乃

得/=二或丁

33

故答案为王或多.

【点睛】本题主要考查由函数y=Asin(@x+>)的解析式，函数y=Asin(&)x+。)的图

象变换规律，属于中档题.

10.(2021•上海高一单元测试)已知函数

/(x)=5sin(2x—弓，xe[O,5句，若函数尸(x)=/(x)—3的所有零点依次

记为王,尤2，刍，…，X"且玉<七<…<X"T<X"，riGN：若

83

玉+2x2+2X34---F2玉―2+2%7+xn=—7t,则。=.

【答案】]71

rrn0K7E

【详解】由题意，令2x—。=2+攵肛左eZ,解得■#eZ.

2422

•.•函数/(x)的最小正周期为7=夸=万，，x«O,5句

当％=0时，可得第一个对称轴8=工+且，当4=9时，可得x="工+’<5".

4242

函数/(x)在[0,5句上有9条对称轴

根据正弦函数的图象与性质可知：函数/(x)=5sin(2x-6)与y=3的交点有9个点，即

“十7te、”十3乃6,c,n6、

玉，工2关卜尤=不+,对称，12，工3关于X="^+万"对不小，…，即X]+元2=2x(W+5),

c3nc,17冗。\

x2+x3=2x(—+-),…，xn_]+xn=2x(-^—+—).

cccc83

%1+2%2+2/+•••+2X〃_2+2x〃_]+Xn=71

.、尸e3九。177r0.83〃

..2x(—H--+—+—+…+---+—)=----

4242422

•“十

71

故答案为《.

点睛：本题考查了三角函数的零点问题，三角函数的考查重点是性质的考查，比如周期

性，单调性，对称性等，处理抽象的性质最好的方法结合函数的图象，本题解答的关键是

根据对称性找到七1与五的数量关系，本题有一个易错点是，会算错定义域内的交点的个

数，这就需结合对称轴和数列的相关知识，防止出错.

11.(2020•上海市复兴高级中学高三期中)已知3，B，"是非零向量，|£-4=26，

(c-«)(c-ft)=-2,X为任意实数，当£-3与£的夹角为?时，评砌的最小值是

【答案】；

【分析】设方=£，而="PC=C'c(x,y),利用口一4=26可以设4卜6,0)

8(60)利用仅一£)•伍词=—2即可求出点0的轨迹为单位圆，p—砌=附+4司,

|c-A«|的最小值是点C到直线PA的距离，从而求得答案.

【详解】设方=£,PB=b-PC=c^。(羽丁)

因为归一］=|百一丽卜|祠=26,

y

A（->/3,0）,8（石,0）,

因为£-石与£的夹角为?，所以丽与两夹角为工，所以N5AP=（,

所以|oR=|Q4|tan60'=3,所以P（-3,0）,

因为传_@}k_石）=_2得：所AC-BC=（无+g,y）・（x_b,y）=%2+y2_3=_2,

所以f+y2=i,所以点。的轨迹为单位圆，

|c-Aa|=|PC-APA|=|PC+AAP|

所以苗-/1£|的最小值是点C到直线PA的距离.

过点。作O”_LP4于点H,交单位圆于点G，

所以力”=色咽=回也，

△A"，22

即典2=叵两。叫,解得：|。〃|=3,

222

Q1

所以口_之@=\GH\^\OH\-\OG\=^-l=~,

故答案为：；

【点睛】本题主要考查了向量模的几何意义，运用坐标法可以使向量问题更简单，属于难

题.

12.（2020•上海市实验学校高二期中）在AABC中，BD^^DC,荏=丽，点尸

为△AOC内（包括边界）任意一点，若丽=/1而+〃而，则4-2〃的取值范围为

【答案】[-8,-1]

【分析】记丽=—2西，可得出乔=4丽—2〃方，设直线EF交BG于点N,设

_______EF\

EN=mEB+tiEG，证明出加+〃=1,设EF=&EN，可得出九一2〃=%=—扁，

一\E局P\'求出局\EP的\最大值和

然后过点F作BG的平行线交CE于点P,进而得出攵

最小值，进而可得出久-2幺的取值范围.

【详解】记而=一2而，从而丽=4丽+〃丽=4而一2M的,

在直线BG上任取一点N,设丽=加丽+〃旃，

由于丽〃的，则存在实数x,使得丽=》的，即丽一丽=x（函一函）,

:.EN=（l-x）EB+xEG=niEB+nEG,则m+n=\—x+x=l,

设直线EE交直线BG于点N,过点F作直线BG的平行线交直线CE于点P,

\EF\\EP\____

则标彳=向4，设EF=kEN，^\EP=kEM.

且彷=%函=4（加丽+〃的），EpAEB-2/JEG=kmEB+knEG,

___uuui4—kin.、

由于丽、EG不共线，则〈八,，:.九一2jLi=km+kn=k（m+n）=k,

—2〃=kn

一_.7\EP\

由于EP与.EM方向相反，则k<0且％=

\EM\

过点A作宜线BG的平行线交CE于点Q，

\EP\|EP||E4|

当点尸与点。重合时，此时局取得最小值，此时局=局

=1，即Amax=T

\EP\

当点尸与点。重合时，此时阈取得最大值,

设直线AQ交于点5,直线AQ交。G于点T，

易证AAET三ABEG,可得|EG|=|,

,ED=-2EG＞可得|七。|=2|£6|=2|£71,所以，T为线段ED的中点,

\DS\_\DT\_1

-.AS//BG,\BD\~\DG\~3

♦.•丽=；岚，则|£>C|=2忸=6|D5|,

取的中点U，连接UE,则UE〃AS，且忸U|=；忸必，从而依。|=8忸

幽幽

vAS//BG,则EU〃BG,所以,

\EM\\BU\

\EP\

所以’后的最大值为8,即端=.

综上所述，4-2〃的取值范围是卜8,—1].

故答案为：[-

【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求含参代数式的取值范围，考查了等和线性质

的应用，考查数形结合思想以及计算能力，属于难题.

13.（2020•上海浦东新区•华师大二附中高二月考）已知点。在以。为圆心的圆弧A3

2—.—.—.

上运动，且NA08=§万，若OC=xQ4+yO3,则2x+3y的取值范围为.

【答案】[2,2咨]

【分析】设刀为直角坐标系的X轴，建立平面直角坐标系.记反与函夹角为

0\0<0<^\,求出三个向量坐标,进而利用同角三角函数的平方关系,可得到

2x+3y=Z字sin（。+夕）（其中tane=乎），结合三角函数的图象和性质，可得答案.

【详解】设方为直角坐标系的x轴,建立平面直角坐标系如下图所示，记说与砺夹角

为《0"咛）

则反=(cose,sin。),函=(1,0),砺=,代入4=》砺+)，而，有

<227

(y百/

(cos0,sin0)=(x,0)+,——-,

I22J

.ya上y.Q.百•c,a26.aI1

••x--=cost/,———=sin6/，••x=——sin6/+cost/,y=----sine/•U

2233

2尤+3y=2^7sin(6+e)(其中tan(p=

),

0«。4—°«。+°S-^-+°,而sin(p=，sin[0+2万)3757V57

->-

338lF'

当6+0=工时，2x+3y取最大值宜豆，当6+。=。，即。=0时，2x+3y取最小值

23

2,

2x+3y的取值范围为［2,

【点睛】本题考查向量的线性关系,运用三角函数的恒等变换和性质求最值,关键在于建立

合适的平面直角坐标系,将所求的式子转化为关于角的三角函数,属于中档题.

14.(2019•上海市建平中学高二期中)设复数4=-l—i,Z2=3+3i,若

z=&sin6+i(亚cos6+2),6wR,则|z-zj+|z—的最小值为.

【答案】4&

【分析】根据题意，将|z-zj+|z-z2|转化为两点间的距离公式,求得动点的轨迹方程,可

知动点的轨迹为一个圆.再由点到直线距离公式可判定圆与两个定点形成的直线相切，进而

可知两点间距离即为|z-zJ+|z-Z2|的最小值.

【详解】因为4=一1一八Z2=3+3i,z=0sin9+i(J^cos9+2)

则|z-zj+jz—z2]

=|(&sine+l)+(亚cos6+3)+sin6-3)+(痣cos。一1计

=J(瓜ne+iy+(0cos8+3『+J(&sin夕一3『+(夜cos8-

设4(—1,—3),8(3,1),P(夜sin。,及cos。)，OeR,

由参数方程可知,动点P的轨迹方程为/+V=2

所以上一马|+,一22|表示点A与点B到圆V+y2=2上任意一点的距离之和

设直线A6的方程为y=依+/代入4(-1,一3),B(3,l)可得

-4=-"+hk=T

1=35'解方程可得

0=—2

所以直线A3的方程为x-y-2=0

|-2|p-

圆心(0,0)到直线A8的距离为d=-J===V2

因为d=r=5/2

所以直线AB与圆相切，设切点为M

则当P与M重合时，|AP|+忸P|取得最小值

所以（卜-小2-22%="+忸”=/

=7（3+1）2+（1+3）2=472

故答案为4夜

【点睛】本题考查了复数的几何意义，将模长转化为两点间距离公式,利用数形结合的思想

解决最短距离，属于中档题.

15.（2020•全国高一课时练习）（后一if“、.

【答案】-2237（l+6i）

【分析】利用（"+1丫=8,（行1）（6二）（后-1）］.即得解.

【详解】/_「/1）（盘）（61）『:卢即"）

''V3i-1V3i-1（V3i-l）（V3i+l）

二巴等U叫+网

故答案为：—2237（1+

【点睛】本题考查了复数的事指数运算，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于

中档题.

三、解答题

16.（2021•上海高一单元测试）用a,Ac分别表示AA6c的三个内角A3,C所对边的边

长，R表示AABC的外接圆半径.

（1）A=2,a=2,B=45。，求A3的长；

（2）在AAbC中，若NC是钝角，求证：a2+b2<4/?2;

（3）给定三个正实数其中hVa,问满足怎样的关系时•，以。功为边长，

R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？

在△MC存在的情况下，用a,"A表示

【答案】（1）c=娓+近（2）见解析（3）见解析

【分析】（1）先根据正弦定理得力，再根据余弦定理求A8的长；

（2）先根据余弦定理得M+kcc?,再根据正弦定理放缩证明结果；

（3）先根据正弦定理讨论三角形解的个数，再根据余弦定理求仁

【详解】（1）由正弦定理得人=2/?sin8=2x2x注=2&

2

所以/=a2+c2-2accos—8=4+c2-2\/2c/.c-V6+y/2（负舍）;

4

（2）因为。2+。2一。2=2a〃cosC，NC是钝角，

所以〃+。2一。2<。.症+/<c2=（2RsinC）2<（2R）2=4R2

22

因此/+b<4/?；

（3）当时，AABC不存在，

当a>2R>。时，AABC不存在，

当a=2R>。时，存在一个△ABC，此时A=工,c=二P'

2

当2A>a=b时，存在一个△ABC，

此时c=2acosB=2aV1-sin2B=2tzjl-=2ajl一，

当2R>a>b时，存在两个△ABC，

cosC=一cos（A+3）=sinAsin8-cosAcosB

当A为锐角时，

cosC=sinAsin8-Jl-sin2Ajl-sin2B=———

2R2RV4/?2V4H2

r-27~2,77I212n>—y]4R"—(2~yl4/?"—b'

c=\a~+b'-labcosC=da2+b~-lab-------------------------------

\4R2

=]।①砌"-J4H2-a力4R2_白]

-v+2F

当A为钝角时,

cosC-sinAsinB+Jl-sin?/ijl-sin?Bahf

2R2R+yl一帮1-4F

I~2~2~~~I2ic,ab+74R--a~\J4-R~—h~

c=\a"+h"-labcosC=Ja-+-lab------------；---------

V4R2

(2।、ab[ab+d4R2-7“心—H]

=V+市

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及其应用，考查综合分析论证与求解能力，属较难

题.

17.(2021•上海高一专题练习)对于定义域为"的函数y=/(x),部分x与>的对应关

系如表：

X-2-1012345

y02320-102

(1)求/｛/[/(O)]｝：

(2)数列｛玉｝满足玉=2,且对任意〃wN*，点(x“,X"+i)都在函数y=/(x)的图象

上，求玉+々+巧+....+七”

(3)若y=/(%)=Asin(0x+0)+h,其中24>0,0</<肛0<0<乃,0<人<3,求此

函数的解析式，并求/(1)+/(2)+•••+f(3n)(neN*).

【答案】(1)2；(2)4〃；(3)见解析

【分析】(1)由内往外计算即可；

(2)由已知，通过计算易得数列｛玉｝是以4为周期的周期数列，先计算％+々+%+匕

的值，利用玉+电+x3+.......+x4ll=n(%+々+W+X4)即可得到答案；

(3)代入表中数据即可得到y=/(x)的解析式，再分〃为奇数、偶数讨论求和即司;

【详解】(1)由表中数据可得/｛/"(0)]｝=/(/(3))=/(-1)=2.

(2)玉=2,由于x“+|=/'(无“)，则々=/(%)=/(2)=0,七=/(工2)=/(0)=3,

%4=/(工3)=/(3)=-1,%5=/'(匕)=/'(-1)=2,所以玉=毛，…，依次递推可得数列

卜“｝的周期为4,又玉+X2+X3+X4=4,所以玉+々+£+....+.,=4〃.

/(-I)=2

/⑴=2

(3)山题意得《，山/(-1)=/'(I),得sin(<w+°)=sin(-<y+Q),即

/(0)=3

/(2)=0

sin(ycos^=0,又0＜啰(不，则sin。。。，从而cose=0,而0＜。＜万，所以

f(0)=A+b=3

Acosco+3-A=2

(p=—,故，/(2)=Acos2a)+b=0,消b,得，

2A(2cos2<y-l)+3-A=0

f(i)-Acosa)+h-2

所以2A2-4A+2-2A2+3A=0,解得A=2,6=l,cos<y=！，又0<。<乃,

2

兀jrjrjr

所以<y=§,所以/(x)=2sin(y%+—)+1=2cosyx+l,

此函数有最小正周期6,且/(6)=/(0)=3,

/(D+/(2)+”3)+/(4)+/(5)+/(6)=6,

当〃=2左，左eN*时，/(I)+/(2)+-••+/(3n)=

/(l)+/(2)+L+/(6^)=^[/(l)+/(2)+L+/(6)]=6Z=3〃；

当〃=2%—1,左eN*时，/(1)+/(2)4-----1-f(3n)=

/(D+/(2)+L+f(6k)-f(6k-2)-f(6k-1)-f(6k)=M/(l)+/(2)+L+/(6)]-5

=6k-5=3”-2.

【点睛】本题考查三角函数与数列的综合应用，涉及到求三角函数的解析式、周期数列的

和，是一道中档题.

18.(2021•上海高一单元测试)设函数

f(x)=5cos8sinx—5sin(x-6)+(4tan8—3)sinx-5sin8为偶函数.

(1)求tan。的值：

(2)若/(x)的最小值为-6,求Ax)的最大值及此时x的取值；

(3)在(2)的条件下，设函数g(x)=X/(s)-/+其中2＞0,0＞0.已知

y=g(x)在x=£处取得最小值并且点(竺,3-3/l]是其图象的一个对称中心，试求

2+。的最小值.

3

【答案】(1)-；(2)最大值为0,此时x的取值为x=2br,左@Z；(3)6+7

4

【分析】(1)根据/(幻是偶函数，转化为(4tan6—3)sinx=0对一切xeR恒成立求

解.

(2)由(1)得到/(x)=5sin(9(cosx-l),根据/(x)最小值为一6，则cosx=-l，

3

得到sin，=],然后再求最大值.

TT

(3)由(2)得到g(x)=3/lcos<yx-3>l+3sin0x+3，根据8(%)在*="处取最小

6

值，点(与’3-3九)是其图象的一个对称中心，，由8(-?)=8(^]=3-3;1求解.

【详解】

(1)因为/(x)=5cosxsine+(4tan8-3)sinx-5sine,f(x)是偶函数,

所以(4tan(9-3)sinx=0对一切xeR恒成立，

3

所以tan6=—.

4

(2)由(1)知/(x)=5sin6(cos尤-1),

因为其最小值为-6,

3

所以sin^=—,cosx=-l,

所以/(x)=3(cosx-1),

当8sx=1时，f(x)取得最大值0,此时x=2匕T,ZGZ；

(3)由⑵知：g(X)=/l/(3X)-/(3X+J|)，

=32cos3/1-3cosa>x+—+3,

I2

=3Acosiox+3sin+3-3/1,

TT-^-,3-321是其图象的一个对称中心,

因为g(x)在冗=二处取最小值，目一点

6

cc23nc.2(071八

32cos------b3sm-------=0,

33

4,CO7T,10)71,(.2Gt,,0)71,2(071

所以％=tan----=-tan------=tanKTT-------,则-----=k兀--------,

33I3J33

即<y=A(kGZ),

又因为1>0,。>0,

所以/tan等…年=60=3/-2(/eN*),

当G=1时,^(x)=3>/3cosx+3sinx+3-373=6sinx+—1+3-3石,

g(§=6sin仁+(卜3-36=9一3百，g。)在片高处取得最大值，不符合题意;

当勿=4时，g(x)=3百cos4x+3sin4x+3-3百=6sin(4x+q)+3-3省,

g(令=6sin[4x^+q)+3-30=3-3月，g(x)在x=^■取不到最小值,，不符合

题意；

当①=7时，g(x)=3百cos7x+3sin7x+3-3\/^=6sin(7x+^)+3—3百,

^(^-)=6sin^7x^4-yj+3-3V3=-3-3>/3,g(x)在工=7处取得最小值，

g(-^-)=6sin(7x?-+1]+3-36二3-3百,g(x)的图象关于点(羊,3-36)中

心对称，

所以4+G的最小值为y/3+7.

【点睛】本题主要考查三角函数性质的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于难题.

1T

19.（2020•徐汇区•上海中学高二期中）如图，Z.xOy=—,定义平面坐标系为仿

射坐标系，在该仿射坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：［、或分别为与x轴、y

umiuLI

轴正方向同向的单位向量，若。P=xq+ye?。/eR），则规定点P的斜坐标为（x,y）.

（1）求以。为圆心，半径为1的圆在该仿射坐标系中的方程；

（2）已知点A的斜坐标为（1,2）,点8的斜坐标为（—2,0）,求直线AB在该仿射坐标系中

的方程.

【答案】（1）x2+y2+xy-\=0；（2）2x—3y+4=0

【分析】（1）先设出直角坐标卜沿％轴，V轴的方向向量，再根据仿射坐标系的定义，写

出OP.转化为直角坐标，并利用坐标变换以及圆在直角坐标下的方程即可求出；

（2）利用向量共线即可求出.

【详解】解：（1）设在直角坐标系下，沿x轴，V轴的方向向量分别为

7T

又・・•在仿射坐标系中，ZxOy=-f

3

e、=i,e2

22

又・.・OP=