高中数学多选题知识归纳总结附解析

一、函数的概念与基本初等函数多选题

ln(x-2),x>2

1.设函数/(幻={1/,g(x)=x2-(m+1)x+n?2-2,下列选项正确的有

|x+l|,x<2

()

A.当m>3时，仃(x)]=m有5个不相等的实根

B.当m=0时，g[g(x)]=m有4个不相等的实根

C.当OVmVl时，f[g(x)]=m有6个不相等的实根

D.当m=2时，g[f(x)]=m有5个不相等的实根

【答案】BCD

【分析】

作出函数/(%)的图象，利用函数/(制的图象和函数g。)的图象分析可解得结果.

【详解】

作出函数/(x)的图象：

当机>3时，/(%)=6有两个根：4<-4,%>2+e',方程/(x)=4有1个根，方程

/3)=，2有2个根，所以A错误；

②当加=0时，g(x)=x2-x-2,0g(x)]=0,令g(x)=L

由g«)=0，得4=2,t2=-L

由4=2=J—2n9=邛^,

=

由&=一1="2-X-2=上x4~所以B正确；

③令g(x)=f,•••/«)=/〃，因为0<相<1,所以/(，)="有3个实根根:山4，

设4<‘2<’3，所以F-1=桃G+1="I，ln(q-2)=m,

(、2八2c/加+1、23m*_2〃?-9、3加2-2/%-9

g(x)=x—z(加+1)工+m--2=(x------)+----------->------------,

244

3m2-2m-9.3m2-2m-9-3m2-2m+5

t.------------------=-m—1-------------=-------------,

1444

因为一3机2一2m+5在(°」)上递减，所以一362_26+5>-3-2+5=0，

—3m"-2tn+5八,—3/n2-2/n+5

所以4----------------------->0，所以--------------,

即方程/(0=m的最小根乙大于g(x)的最小值，

所以g(x)=4、g(x)=t2>g(x)=f3都有2个不等实根，且这6个实根互不相等,

所以当OVmVl时，f[g(x)]=m有6个不相等的实根，所以C正确；

④令/(%)=，，则g(f)=m,

当/n=2时，方程g(，)=2化为/-3/=0，得4=3,£2=0;

当芍=0=/(力，得%=-1,X2=3：

当6=3=/(幻,得当=11,X4=2,&=2+e3符合题意，所以D正确.

故选：BCD.

【点睛】

关键点点睛：作出函数的图象，利用数形结合法求解是解题关键.

2.已知函数/(x)=2"+x-2的零点为。，函数8(刈=1082工+工一2的零点为8,贝IJ

()

a22

A.a+b=2B.2+log2b=2c.a+b>3D.0<ab<l

【答案】ABD

【分析】

在同一坐标系中分别作出函数y=2',y=log2x,)，=2一%的图象，图像的交点即为函

数的零点，反函数的性质知A,B关于点(1』)对称，进而可判断A,B,。正确.由函数

(1、

/1)在R上单调递增，且/-<0,/(1)>0,可得零点。的范围，可得C不正确.

【详解】

由〃x)=0,g(x)=O得2、=2-冗，Iog2x=2-x,

函数),=2、与y=log2x互为反函数，

在同一坐标系中分别作出函数y=21y=log2x,y=2-x的图象，如图所示，

-3

则B伽lo&b）.

由反函数的性质知A,“关于点（1,1）对称，

则。+匕=2,2"+log28=2.因为。>0,b>0,且标b,

所以0<出><（学）=1，故48,D正确.

因为/（/=2'+1一2在R上单调递增，且/0）=1>0,

所以一<4<1.

2

因为。2+力2=/+（2—。尸=2（〃一］尸+2—<t/<,所以/+厅£（2,5）,故C不正

确.

故选：ABD

【点睛】

方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力

和逻辑推理能力，属于难题.

3.已知函数y=/（x-l）的图象关于x=l对称，且对y=/（x）,xwR,当

%,工,£（—8,0］时，」一）一/（』）<o成立,若〃*卜/仅/+1）对任意的无ER恒

成立，则。的可能取值为（）

A.->/2B.-1C.1D.y/2

【答案】BC

【分析】

由己知得函数是偶函数，在［0,十刃）_1_是单调增函数，将问题转化为|2©|<|2/十1|对

任意的XER恒成立，由基本不等式可求得范围得选项.

【详解】

因为函数），=/（工一1）的图象关于直线x=l对称，所以函数y=/（x）的图象关于直线

x=o（即y轴）对称，所以函数A#是偶函数.

ZVI

又大,/W（Y，0］时，J\2/J\"<0成立,所以函数/（X）在［0,+00）上是单调增函数.

且〃2奴）<+1）对任意的N£R恒成立，所以12ar|<|2/+11对任意的xgR恒成

立，

当x=0时，Ovl恒成立，当x#0时，|。|<笔答=|x+；|=|x|+|；|,

12x\2x2x

又因为|划+|1-|22\伍国=应，当且仅当|打=立时，等号成立，

LXV2x2

所以|a|＜忘，因此一正＜。＜应，

故选：BC.

【点睛】

方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数。之）（十）恒成立即可）

或恒成立（〃＜『"）1nhi即可）；②数形结合（y=/（x）图象在y=g（x）上方

即可）；③讨论最值/（x）1nhiNO或/（耳侬W0恒成立.

4.设[4表示不超过X的最大整数，Jia：[1.2]=1,[-1.2]=-2,了=国乂称为取整函

数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数〃进行计

费，以下关于“取整函数"的描述，正确的是（）

A.Vxe[2x]-2[x]

B.Vx,yG/?,若[戈]二[习，则

C.VxwR,[司+x+g=[2x]

D.不等式2[x]2—[x]—3N0的解集为{x|x＜0或xN2}

【答案】BCD

【分析】

通过反例可得A错误，根据取整函数的定义可证明BC成立，求出不等式2--，-320的

解后可得不等式2[可2一[司一3之0的解集，从而可判断D正确与否.

【详解】

对于A,%=-1.5,则[2月=[-3]=-3,2[x]=2x（-2）=-4,故[2x]工2区,故A不成

立.

对于B,[x]=[y]=w,则+y＜加+1,

故一加一1＜一丁《一加，所以工一）＞-1,故B成立.

对于C,设％=机+/*,其中加wZ,rw[O,l）,

则[x]+x+—=2m+r+—,[2x]=2/n+[2r],

22

若OWr＜g,则r+|=0,[2r]=0,故[x]+x+；=[2x];

若;vr＜l,则r+y=1,[2r]=l,故卜]+x+-=[2x],故C成立.

对于D,由不等式2［呼一［同一320可得3V—1或［4之|,

故x<0或xN2,故D正确.

故选：BCD

【点睛】

本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部

分和小数部分的关系，本题属于较难题.

5.若/(X)满足对任意的实数。，匕都有44+6)=〃。)/®且f(l)=2,则下列判

断正确的有()

A.〃力是奇函数

B.”力在定义域上单调递增

C.当%£(0,+8)时，函数/(刈>1

型+妙迪+以迎鸳上幽+心叽2020

,/(1)"3)f(5)/(2015)/(2017)/(2019)

【答案】BCD

【分析】

利用新定义结合函数的性质进行判断.计算出了⑴判断A；先利用/。)=2>1证明所有

有理数〃，有/(P)>I,然后用任意无理数g都可以看作是一个有理数列的极限，由极限

的性质得这样可判断C,由此再根据单调性定义判断B,根据定义计算

/(2/0

/一-(〃CN),然后求得D中的和，从而判断D.

/(2H-1)

【详解】

令4=0,b=l,则/⑴=/(1+0)=/⑴/(0),即2=2/(0),"0)=1,/")不可

能是奇函数，A错；

对于任意xwR，/(x)w0,若存在小£/?,使得/(%)=o,则

/(0)=/(x0+(-x0))=/(x0)f(-x0)=0,与/(0)=1矛盾，故对于任意XER,

.•.对于任意xeR,/)=陪+升佃佃=/图>。，

•:/(1)=2>1,.•.对任意正整数〃，

同理f（n）=/（I+1+…+1）=/（1）/（1）--/（I）=2">1，

对任意正有理数〃，显然有p=%（名〃是互质的正整数），则

n

M尼卜阳]/

对任意正无理数9,可得看作是某个有理数列Pl，P2，P3,…的极限，而

iwN,i./W）与f（pj的极限，了.,

综上对所有正实数x,有C正确，

设e<七，则々一百>。，「•一$）>1，则

/（工2）=/（③+。2一玉））=/（%>/（工2一玉）>/（X），，/（X）是增函数，B正确;

由已知/（2〃）=/（2〃—1+1）=/（2〃-1）/（1）=2/（2〃-1）,俨=2,

/（2016）/（2018）/（2020）

型+加+3..।।

++=2+22…+2=2x1010=2020

）（）/（2015）/（2017）/（2019）

”1）“3/51010个2

,D正确.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查新定义函数，考查学生分析问题，解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能

力，对学生要求较高，本题属于难题.

--------,x>2

6.已知定义域为R的奇函数满足f（x）=《2x-3,下列叙述正确的

x2-2x+2,0<x<2

是（）

A.存在实数匕使关于x的方程f（x）="有7个不相等的实数根

B.当一1<X1<w<1时，恒有

C.若当X€（0,。]时，/（X）的最小值为L则。£[1,3]

2

33

D.若关于4的方程f（x）=5和〃幻=加的所有实数根之和为零，则初二一耳

【答案】AC

【分析】

根据奇函数/（一此=-/（幻，利用已知定义域的解析式，可得到对称区间上的函数解析

式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案

【详解】

函数是奇函数，故在R上的解析式为：

-^―,x<-2

2x+3

-x2-2x-2,-2<x<0

f(x)=<0,x=0

x2-2x+2,0<x<2

—,x>2

[2x-3

对4如下图所示直线4与该函数有7个交点，故A正确;

故当/（X）的最小值为1时有。故C正确

【点睛】

本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的

图象分析命题是否成立

7.定义：若函数尸（工）在区间［a句上的值域为［a同，则称区间［a同是函数尸（无）

的“完美区间”，另外，定义区间尸（X）的“复区间长度〃为2（。一4）,已知函数

y（x）=p-i|,则（）

A.［（）』是/（X）的一个〃完美区间〃

B.上黄，与叵是/（戈）的一个“完美区间”

C."力的所有"完美区间"的"复区间长度”的和为3+方

D./（力的所有"完美区间〃的“复区间长度〃的和为3+2逐

【答案】AC

【分析】

根据定义，当冗w［O,l］时求得/(X)的值域，即可判断A；对于B,结合函数值域特点即可

判断；对于C、D,讨论人K1与人＞1两种情况，分别结合定义求得“复区间长度〃，即可判

断选项.

【详解】

对于A,当X£［O,1］时，/(x)=|x2-l|=l-x2,则其值域为［0,1］,满足定义域与值域的

范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A正确；

对于B,因为函数/(力二,一心0,所以其值域为［0,内)，而匕*＜0,所以不存

在定义域与值域范围相同情况，所以B错误；

对于C,由定义域为［。，同，可知0«。＜力，

当时，何。［0』，此时〃力=产一1卜1一寸，所以/(力在心，句内单调递

减.

f(a)=i-a2=bcc

则满足|=i_/=a，化简可得a2-a=b2-b^

即所以4_2_=匕_』或。一'二,一6,

[2)[2)2222

解得〃=b(舍)或a+b=l,

a+b=i

由《».解得力=1或b=0(舍)，

所以。=。-1=0,经检验满足原方程组，所以此时完美区间为［0］］,则“复区间长度”为

29-〃)=2；

当匕＞1时，①若OVavL贝可，此时“切一=/•⑴=0.当f⑴在/b］

的值域为［a句，则a=0J(3=R因为人＞1,所以/(3=6一1=。，即满足

庐一匕_1=0,解得b=号5,b上兴(舍).所以此时完美区间为［。,上手］,则

“复区间长度”为2(b-〃)=2x与叵=1+石；

②若1W。，则/(x)=Y-i,XG［t7,b］,此时在［。，句内单调递增，若/(X)

的值域为ab］贝时小।,则为方程-7-1=0的两个不等式实数

t［f(b)=b--1=b

根,

1-5/5

解得西一上泸，巧一巴黄，所以•a=

乙l，与l<a矛盾，所以此时不存在完美

,1+V5

b=---

2

区间.

综上可知，函数/（同二产一”的”复区间长度，，的和为2+1+逐=3+石，所以C正确，

D错误；

故选：AC.

【点睛】

本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应

用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.

8.下列选项中。的范围能使得关于X的不等式f+k-a-zvo至少有一个负数解的是

（）

A.卜小。）B.（2,3）C.（1,2）D.（0,1）

【答案】ACD

【分析】

将不等式变形为忖一4<2一炉，作出函数》二次一4，丫=2一/的图象，根据恰有一个负

数解时判断出临界位置，再通过平移图象得到。的取值范围.

【详解】

因为x2+|x——2<0,所以|x—a|v2—x2且2・％2>O，

在同一坐标系中作出丁=k一《,，=2—工2的图象如下图：

9

工一々=2-丁仅有一解，所以A=l+4（〃+2）=。，所以。=一［,

将）=g一4向右移动至第二次过点（0,2）时，|0-同=2,此时〃=2或。=一2（舍），

结合图象可知：。£(一｝,2｝厅以ACD满足要求.

故选：ACD.

【点睛】

本题考查函数与方程的综合应用，着重考查数形结合的思想，难度较难.利用数形结合可解

决的常见问题有：函数的零点或方程根的个数问题、求解参数范围或者解不等式、研究函

数的性质等.

+2x4-1V0

9.已知函数〃力=1/+2]+1[<0‘则下列判断正确的是()

A./(X)为奇函数

G

B.对任意石，％2R,则有(玉-^)[/(%))-/(^)]<0

C.对任意xwR,则有〃X)+〃T)=2

D,若函数y=|/(x)|一〃比有两个不同的零点，则实数m的取值范围是(YO,0)U(4,T8)

【答案】CD

【分析】

根据函数的奇偶性以及单调性判断AB选项；对工进行分类讨论，判断C选项；对选项D,

构造函数，将函数的零点问题转亿为函数图象的交点问题，即可得出实数m的取值范围.

【详解】

对于A选项，当工〉0时・，-x<0,则

f(~x)=-(—x)2+2(-x)+1=-(x2+2%-1)w-f(x)

所以函数/(尤)不是奇函数，故A错误；

对于B选项，y=f+2x+l的对称轴为冗=一1，y=-f+2x+l的对称轴为x=l

所以函数)=9+2工+1在区间[0,+8)上单调递增，函数)，=一/+2%+1在区间(_oo,o)

上单调递增，并且02+2x0+1=-02+2x0+1

所以/(力在R上单调递增

即对任意不<毛,(%,毛£氏)，都有/(%)</(电)

则％一9v0,/(%)一/(々乂。=>(不)—故B错误；

对于C选项，当x>0时，-x<0,则/(―%)=—(―幻~+2(—x)+1=—X?—2%+1

则/(%)+/(-x)=x24-2X+1-A:2-2x+l=2

当x=0时，/(-0)=/(0)=1,则/(-0)+/(0)=2

当x<0时，一]>0,M/(-x)=(-x)2+2(-x)+1=x2-2x+1

贝ijf(x)+f(-x)=-x24-2X+1+X2-2x4-1=2

即对任意xwR,则有f(x)+f(r)=2,故C正确；

对于D选项，当x=0时，y=|/(O)|=l±O,则x=o不是该函数的零点

当XHO时，-郎=0。1^^=相

令函数g*)=上工必，函数丁=加

X

由题意可知函数)=机与函数gq)=l^l必的图象有两个不同的交点

x

因为/(x)NO时，XG[1-&,同，f(x)<0时,XG(-00,1-V2)

1-八

xH—+2,x>0

X

所以g(x)=«-X+—+2,1-^2<x<0

x

x----2,x<1->/2

x

当x>0时，设Ov^v/vl，g(X)-g(X2)=X+^■一x2---=—~~~—

%x2否％2

因为％_彳2<°，X1々-1<0，所以g(xJ_g(9)>0，即g(xj>g(x2)

设1<%<8，g(药)一g(工2)=&-)(百工2」)<0,即g(xj<g(w)

所以函数g(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(l,+oo)上单调递增

同理可证，函数g(X)在区间［1-夜,0)上单调递减，在区间卜81-J5)上单调递增

g⑴=1+；+2=4

函数g(x)图象如下图所示

由图可知，要使得函数)'=加与函数g*)=n必的图象有两个不同的交点

X

则实数m的取值范围是(-OO,0)U(4,M),故D正确；

故选：CD

【点睛】

本题主要考查了利用定义证明函数的单调性以及奇偶性，由函数零点的个数求参数的范

围，属于较难题.

忸-x<1..

10.己知/*)=《1,则关于X的方程"(x)]2-/(%)+24-1=0,下列正

Inx,x>1.

确的是()

A.存在实数上,使得方程恰有1个不同的实数解;

B.存在实数3使得方程恰有2个不同的实数解;

C.存在实数左，使得方程恰有3个不同的实数解;

D.存在实数3使得方程恰有6个不同的实数解;

【答案】ACD

【分析】

令/(耳=，之0,根据判别式确定方程产一1+2左一1=0根的个数，作出了(力的大致图

象，根据根的取值，数形结合即可求解.

【详解】

令"X)=年0,则关于X的方程"(x)]2-f(x)+2k-\=0f

可得厂—/+2k—1=0，

当％=(时，A=l-4(2A:-l)=0,此时方程仅有一个根.=3

当时，△=1-4（2%—1）>0,此时方程有两个根乙山，

且％+弓=1，此时至少有一个正根：

当时，A=l—4（2Z-l）<0,此时方程无根；

作出〃力的大致图象，如下：

当左时，此时方程有两个根;12,且4+，2=1，此时至少有一个正根，

8

当乙40,1）、Z2G（0,1）,且/产/2时，/（x）=Z，有6个不同的交点，D正确；

当方程有两个根4,，2,一个大于1，另一个小于0，

此时f（x）=r,仅有1个交点，故A正确；

当方程有两个根4冉，一个等于1，另一个等于o，/（x）=r,有.3个不同的交点，

当时，△ul-qzk-DvO,此时方程无根.

8

故选：ACD

【点睛】

关键点点睛：本题考查了根的个数求参数的取值范围，解题的关键是利用换元法将方程化

为/2一/+2攵-1=（），根据方程根的分布求解，考查了数形结合的思想，分类讨论的思想.

二、导数及其应用多选题

11.已知a>0,b>0,下列说法错误的是（）

A.若。“.必=1,则〃+人之2

B.若，+2a=e"+3b，则。>匕

c.a(lna-lnb)2〃一力恒成立

D.---Z?ln〃v一恒成立

ee

【答案】AD

【分析】

对A式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A错误；对B不等式放缩

/+24>/+»，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B正确；对C不等

式等价变型〃(Ina-lnh)Na-〃。In幺之1一々，通过O,lnx>1-,恒成立，可得

bax

a=1

C正确；D求出二一/Hnb的最大值，当且仅当I,1时取等号，故D错误.

eb=-

e

【详解】

A.aabh=1<^>a\na+b\nb=O

由图可知，当人.1+时，存在0+,使/(a)+/S)=O

此时1,故A错误.

B.ea+2a=eb-^3b>eh+2b

设/(x)=e、2x单调递增，/.a〉/?,B正确

C.a(\na-\nb)>a-b-

又\/x>0,lnx>l—,In—21—,C正确

xha

Y]

D.y=—=>y=-当且仅当x=1；

eemax

y=xlnx=ymin=一!当且仅当工=」；

ee

a-\

所以二—Rn〃W-,当且仅当<1时取等号，D错误.

eeb=-

故选：AD

【点睛】

本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数

形结合的数学思想，属于难题.

Inx

12.对于函数/(X)=-r，下列说法正确的是()

X~

A.函数在五处取得极大值!B.函数的值域为1-8,5

2e

c./(外有两个不同的零点D./(2)</(V^)</(V3)

【答案】ABD

【分析】

求导，利用导数研究函数的单调区间,进而研究函数的极值可判断A选项，作出函数/*)

的抽象图像可以判断BCD选项.

【详解】

2

l.x-lnx-2x1-21nx>

函数的定义域为(O,+8)，求导/，3)二

4

XX

令ra)=o,解得：x=8

X(0,^)戏(五,+00)

f'M+0—

fM极大值

所以当］二-时，函数有极大值/(&)=(，故A正确；

对于BCD,令f(x)=0,得lnx=0,即x=l,当x—>+oo时，lni>0,%2>0，则

/(x)>0

作出函数/(幻的抽象图像，如图所示：

,故B正确；函数只有一个零点，故C错误；又函数

/(x)在(五,+oo)上单调递减，且&<6<同<2,则/⑵<人正)</(石)，故D

正确：

故选:ABD

【点睛】

方法点睛：本题考查利用导数研究函数单调性，函数的极值，函数的值域，及求函数零点

个数，求函数零点个数常用的方法：

(1)方程法：令/(力=0,如果能求出解，有几个解就有几个零点.

(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间句上是连续不断的曲线，且

/(a)/(/?)<0,还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才

能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.

(3)数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题.先画出两个函数的图像，看其

交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

13.已知函数/(刈=皿目—X+Jg(x)=x-(x-l)lnx,则下列结论正确的是()

A.g。)存在唯一极值点且”(1,2)

B./(力恰有3个零点

C.当ZV1时，函数g(x)与〃(切="的图象有两个交点

D.若不入2>0且/(x)+/(w)=o，则

【答案】ACD

【分析】

根据导数求得函数g'(x)在(0,+8)上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A正

确；利用导数求得函数“外在(-8,0),(0,+00)单调递减，进而得到函数“X)只有2

个零点，可判定B不正确；由g(X)=Ax,转化为函数。(x)=(x-l)lnx和〃心0=(1-幻x

的图象的交点个数，可判定c正确：由/(%)+/(w)=0,化简得到/(%)=/('-),

X2

结合单调性，可判定D正确.

【详解】

由函数g(x)=%一(x—l)lnx,可得g'(x)=_lnx+，,x>0,则g"(x)=-LL<o,

XXx~

所以g'(x)在(0,"o)上为单调递减函数，又由g'(l)=l>0,g(2)=-M2+gv0,

所以函数g(x)在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A正确；

由函数/(x)=ln|x|-x+；,

i2।

当x>OH寸，f(x)=lnx-x+-f可得/(力="”+2,

X1

i3

因为—x2+%—1=—(%—/A—w<0，所以/'(x)vO,函数/(x)在(0,+°。)单调递减；

又由/(1)=0,所以函数在(0,+8)上只有一个零点，

当x<0时，/(x)=ln(-x)-x+-,可得r(x)=_r:l,

Xr

13

因为一丁+%—1=—(%—耳)2一a<0,所以/'(X)VO,函数/(X)在(-00,。)单调递减；

又由/(-1)=0,所以函数在(一8,0)上只有一个零点，

综上可得函数/(6=1小|-1+：在定义域内只有2个零点，所以B不正确；

令g(x)="，BPx-(x-\)\nx=kx,Bp(x-l)lnx=(l-A:)x,

设0(x)=(x-l)lnx,〃i(x)=(l-k)x,

可得d(x)=lnx+l-：,则/(H=[+!>O,所以函数。(x)(0,+8)单调递增，

又由"(1)=0,可得当tw(0,D时,”(x)v0,函数。(%)单调递减,

当xw(l,+oo)时,“(力>0,函数。(%)单调递增,

当x=i时，函数e(x)取得最小值，最小值为0(i)=o,

又由双x)=(l-A)x,因为Zvi,则1一2>0,且过原点的直线，

结合图象，即可得到函数e(x)=(x-l)lnx和巩x)=(l-Qx的图象有两个交点，所以C正

确；

由百占>0,若%>0,42>0时，因为/(%)+/(七)=0，

可得/(%)=-/。3)=-,与-%+()=仙/+；_:=/(})

'f&一人2

勺

fM=f(-K因为/(%)在(0,XO)单调递减，所以即XR=1，

同理可知，若用<0,W<0时，可得看工2=1，所以D正确.

故选：ACD.

pIxI-1x-1|lnx

刑(x)=(l-左)X

【点睛】

函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：

1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为

从/（X）中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条

件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常

解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符

合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.

14.设函数/（幻=/+以+双〃力£R）,下列条件中，使得y=f（x）有且仅有一个零点

的是（）

A.a-1,b=2B,。=-3,b=-3c.。>0,b<2D.a<0,b>0

【答案】ABC

【分析】

求导广（幻=3/+〃，分和。<0进行讨论，当。NO时，可知函数单调递增，有且

只有一个零点；当avO时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极

大值与极小值与。的关系，再验证选项即可得解.

【详解】

QfM=x3+ax+b,求导得r（x）=3d+々

当a»0时，f\x）>0,.,./3）单调递增，当xff时，/（x）f-oo；当xf”

时，+8；由零点存在性定理知，函数/（%）有且只有一个零点，故A,C满足题

足、；

当X变化时，/（X）,/（X）的变化情况如下表:

f'(x)+0—0+

fM极大值极小值

故当,函数/*）取得极大值

_a2a

+b,

~3T

+b3

当工=，函数/（X）取得极小值/+b

3

又当Xf-00时，f(X)->-00；当Xf4O0时，/(x)f+8；

2a

>0+b>0

T,即b>-网

则需，,即<>0,

2aI-a,3

>0+b>0

D选项，a<0,b>0t不一定满足，故D不符合题意；

故选：ABC

【点睛】

思路点睛：本题考查函数的零点问题，如果函数y=/（x）在区间口,句上的图像是连续不

断的一条曲线，并且有〃。卜/伍）<0,那么，函数）=/（力在区间（。力）内有零点，

即存在使得/（c）=0,这个c也就是方程/（尤）=0的根，考查学生的逻辑推

理与运算能力，属于较难题.

15.关于函数/（x）=/+sinx,xe（—4,+8）,下列结论正确的有（）

A./（x）在（0,”）上是增函数

B./（©存在唯一极小值点小

C./（外在（一肛+0。）上有一个零点

D./（x）在（-肛+0。）上有两个零点

【答案】ABD

【分析】

根据函数/（为求得/（X）与尸（X）,再根据/〃（箱>0在（-肛+◎恒成立，确定/"）在

（一肛+0。）上单调递增，及xw（0,+8）r（x）>0,且存在唯一实数豌e（一号，一］）,使

r（xo）=O,从而判断A,B选项正确；再据此判断函数/（%）的单调性，从而判断零点个数.

【详解】

由已知f（x）=ex+sinX,XG（一4,+8）得ff（x）=ex+cosx，/"*）=-一sinx,

xe（一肛-H»）,f\x）>0恒成立，

f（x）在（-肛+o。）上单调递增，

又八一7）=^-y-<0，r（-|）=e%>0,/（0）=2>0

.•.xe（0,+8）时/（幻>:（0）>0,且存在唯一实数与七（一与使/（%）=0,即

Xn

e=-cosx0,

所以/（x）在（0,+8）上是增函数，且f（x）存在唯一极小值点与,故A,B选项正确.

且f（x）在（一肛与）单调递减，（%,+8）单调递增，

=^2sin(XQ----)<0,

又/（一万）=""+0>0,/(x0)=e"+sinx0=sinx0-cosx0

/（0）=l>0,所以/（x）在（一肛口）上有两个零点，故D选项正确，C选项错误.

故选：ABD.

【点睛】

导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识

点，对导数的应用的考查主要从以下儿个角度进行：（1）考查导数的儿何意义，往往与解析

几何、微积分相联系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参

数.（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题.（4）考查数形结合思想的应

用.

16.（多选）已知函数/（x）=ox-lnx（aeR）,则下列说法正确的是（）

A.若aWO,则函数/*）没有极值

B.若。〉0,则函数/（幻有极值

C.若函数/（x）有且只有两个零点，则实数a的取值范围是

D.若函数/（X）有且只有一个零点，则实数a的取值范围是

【答案】ABD

【分析】

先对/（力进行求导，再对〃进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断.

【详解】

解：由题意得，函数/*）的定义域为（0,+8），且/（幻二4一2=竺二二

XX

当aKO时，r（x）vO恒成立，此时单调递减，没有极值，

又•・•当x趋近于。时，/（%）趋近于+8,当x趋近于+8时，“X）趋近于Y。，

「•有且只有一个零点，

当。＞0时，在（（）,：）上，ru）＜o,单调递减，

在（5,+8）上，rw＞o,/（M单调递增，

.,.当x时，/a）取得极小值，同时也是最小值，

a

•••=l+ln。,

当X趋近于。时，Inx趋近于YO,f（x）趋近于+8,

当X趋近于+8时，/（%）趋近于+8,

当l+lna=O,即。=！时，/V）有且只有一个零点：

e

当l+lna＜0,即时，/（©有且仅有两个零点，

e

综上可知ABD正确，C错误.

故选：ABD.

【点睛】

方法点睛：函数零点的求解与判断方法：

⑴直接求零点：令/（力=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点；

⑵零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间加上是连续不断的曲线，且

/（4/（^）＜o,还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少

个零点；

⑶利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横

坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

17.定义在R上的函数/。)，若存在函数g(x)=at+人(a,b为常数)，使得

f(x)Ng(x)对一切实数x都成立，则称g(x)为函数/*)的一个承托函数，下列命题中

正确的是()

[inx,x>0

A.函数g(x)=-2是函数/*)=〈的一个承托函数

1,元,0

B.函数g(x)=x-1是函数/(x)=x+sinx的一个承托函数

C.若函数8(X)=双是函数〃式)="的一个承托函数，则。的取值范围是[0,々

D.值域是R的函数/3)不存在承托函数

【答案】BC

【分析】

由承托函数的定义依次判断即可.

【详解】

解：对A,.•当x>0时，/(A)=InAe-KJO),

/。)之8。)二-2对一切实数乂不一定都成立，故A错误；

对B,令«x)=/(x)-g(x),则r(x)=x+sinx-(x-l)=sinx+120恒成立，

函数g(x)=x-l是函数/(x)=x+sinx的一个承托函数，故B正确；

xx

对C,令h(x)=e-axf则h(x)=e-at

若。=0,由题意知，结论成立，

若。>0,令〃(x)=0,得x=lna,

函数力(的在(一孙Ina)上为减函数，在(Ina,+8)上为增函数，

・••当x=ln〃时，函数〃(幻取得极小值，也是最小值，为。一alna,

•••g(x)=ar是函数/(x)=e"的一个承托函数，

-1.a-a\na>0，

即InaS1,

0<a<e

若。<0,当XT—时，Zz(X)fT»,故不成立，

综上，当滕女e时，函数g(x)二必是函数〃x)=/的一个承托函数，故C正确；

对D,不妨令不Cr)=2x,g(%)=2x-1,则/(x)-g(x)=lN0恒成立，

故g(x)=2X一1是f(x)=2x的一个承托函数，故D错误.

故选：BC.

【点睛】

方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题

形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造

性解决问题的能力.

18.设函数的定义域为(0,+8),已知/(%)有且只有一个零点，下

列结论正确的有()

A.a=eB./(力在区间(l,e)单调递增

C.x=l是/(力的极大值点D./(e)是/(x)的最小值

【答案】ACD

【分析】

/(X)只有一个零点，转化为方程/一£二0在(0,+8)上只有一个根，即止=则只有

xa