2025《初中数学》专题突破专题59 二次函数背景下的等腰三角形、直角三角形存在性问题（含答案及解析）

模型介绍模型介绍一、如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．同理可求，下求．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、B均往下移一个单位，当点A坐标为（1,0），点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：而对于本题的，或许代数法更好用一些．【代数法】表示线段构相等（1）表示点：设点坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3），（2）表示线段：，（3）分类讨论：根据，可得：，（4）求解得答案：解得：，故坐标为．小结几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C；（2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；（3）根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；（4）列出方程求解．问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．二、【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标．【几何法】两线一圆得坐标（1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；（2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；（3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）重点还是如何求得点坐标，求法相同，以为例：【构造三垂直】求法相同，以为例：构造三垂直步骤：第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．例题精讲例题精讲考点一：二次函数中的直角三角形存在性问题【例1】．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的表达式；（2）直线l过点A与抛物线交于点P，当∠PAB＝45°时，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（4，0），B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是直线AC上一动点，过点D作DE垂直于y轴于点E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点D的坐标；（3）在AC上方的抛物线上是否存在点P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．考点二：二次函数中的等腰三角形存在性问题【例2】．如图，抛物线y＝﹣x2+5x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．（3）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标．变式训练【变2-1】．如图．已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B．（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；（2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变2-2】．如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点，点P是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）将线段AB绕点B顺时针旋转90°得线段BD（点D是点A的对应点），求点D的坐标，并判断点D是否在抛物线上；（3）过点P作PM⊥x轴交直线BD于点M，试探究是否存在点P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出点m的值；若不存在，说明理由．1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．（1）求a、b、c的值；（2）连接PA、PC、AC，求△PAC面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC为直角三角形，若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知抛物线y＝﹣x2﹣x的图象如图所示：（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为．（2）判断△ABC的形状，并说明理由．（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接AC，BD．（1）求点A，B，C，D的坐标；（2）点F为抛物线对称轴上的动点，且△BEF与△AOC相似，请直接写出符合条件的点F的坐标；（3）点P为抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使△BDP是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A、E两点，P是x轴上点B左侧一动点，当以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似时，求点P的坐标；（3）若F是直线BC上一动点，在抛物线上是否存在动点M，使△MBF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且BO＝OC＝3AO．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，其顶点为D，已知AB＝4，∠ABC＝45°，OA：OB＝1：3．（1）求二次函数的表达式及其顶点D的坐标；（2）点M是线段BC上方抛物线上的一个动点，点N是线段BC上一点，当△MBC的面积最大时，求：①点M的坐标，说明理由；②MN+BN的最小值；（3）在二次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴相交于点C，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点C的距离之和最短时，求点P的坐标；（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．9．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数表达式；（2）在抛物线对称轴上是否存在一点M，使以A，N，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出M点的坐标．若不存在，请说明理由．10．抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请求出点M的坐标．（3）如图1，P为直线BC上方的抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D点，过点D作DE⊥AC于E点．设m＝PD+DE，求m的最大值及此时P点坐标．12．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知如图1，在以O为原点的平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣1），连接AC，AO＝2CO，直线l过点G（0，t）且平行于x轴，t＜﹣1．（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；（2）若D（﹣4，m）为抛物线y＝x2+bx+c上一定点，点D到直线l的距离记为d，当d＝DO时，求t的值．（3）如图2，若E（﹣4，m）为上述抛物线上一点，在抛物线上是否存在点F，使得△BEF是直角三角形，若存在求出点F的坐标，若不存在说明理由．14．如图①，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于O、A两点，直线y＝﹣x+3与y轴交于B点，与该抛物线交于A，D两点，已知点D横坐标为﹣1．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图①，在线段OA上有一动点H（不与O、A重合），过H作x轴的垂线分别交AB于P点，交抛物线于Q点，若x轴把△POQ分成两部分的面积之比为1：2，请求出H点的坐标；（3）如图②，在抛物线上是否存在点C，使△ABC为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D．（1）求此函数的关系式；（2））在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC与点M，当点N坐标为多少时，线段MN的长度最大？最大是多少？（3）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标．（4）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由．16．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，请问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，1），二次函数y＝x2+bx﹣的图象经过点C．（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）点N坐标为（0，2），点M在抛物线上，且∠NBM＝45°，直接写出点M坐标；（4）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，已知直线y＝3x﹣3分别交x轴，y轴于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上求一点P，使△ABP的周长最小，并求出最小周长和P点的坐标；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．20．如图，已知直线y＝3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ABP是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）在抛物线上求一点Q，使得△ACQ为以AC为底边的等腰三角形，并写出Q点的坐标；（4）除（3）中所求的Q点外，在抛物线上是否还存在其它的点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点Q（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点Q，请说明理由．21．如图，抛物线交x轴于A（﹣2，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，抛物线y＝ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x﹣2经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；②作点B关于点C的对称点B'，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）23．如图，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．（1）如图①，连接BC，在y轴上存在一点D，使得△BCD是以BC为底的等腰三角形，求点D的坐标；（2）如图②，在抛物线上是否存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图③，连接BC，在直线AC上是否存在点F，使△BCF是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（4）如图④，若抛物线的顶点为H，连接AH，在x轴上是否存在一点K，使△AHK是等腰三角形？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由；（5）如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△ACG是等腰三角形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

模型介绍模型介绍一、如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．同理可求，下求．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、B均往下移一个单位，当点A坐标为（1,0），点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：而对于本题的，或许代数法更好用一些．【代数法】表示线段构相等（1）表示点：设点坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3），（2）表示线段：，（3）分类讨论：根据，可得：，（4）求解得答案：解得：，故坐标为．小结几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C；（2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；（3）根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；（4）列出方程求解．问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．二、【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标．【几何法】两线一圆得坐标（1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；（2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；（3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）重点还是如何求得点坐标，求法相同，以为例：【构造三垂直】求法相同，以为例：构造三垂直步骤：第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．例题精讲例题精讲考点一：二次函数中的直角三角形存在性问题【例1】．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的表达式；（2）直线l过点A与抛物线交于点P，当∠PAB＝45°时，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设y＝（x﹣2）2+k，把A（﹣1，0）代入得：（﹣1﹣2）2+k＝0，解得：k＝﹣9，∴y＝（x﹣2）2﹣9＝x2﹣4x﹣5，答：抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，如图：设P（m，m2﹣4m﹣5），则PM＝|m2﹣4m﹣5|，∵A（﹣1，0），∴AM＝m+1∵∠PAB＝45°∴AM＝PM，∴|m2﹣4m﹣5|＝m+1，即m2﹣4m﹣5＝m+1或m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），当m2﹣4m﹣5＝m+1时，解得：m1＝6，m2＝﹣1（不合题意，舍去），当m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），解得m3＝4，m4＝﹣1（不合题意，舍去），∴P的坐标是（6，7）或P（4，﹣5）；（3）在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形，理由如下：在y＝x2﹣4x﹣5中，令x＝0得y＝﹣5，令y＝0得x＝﹣1或x＝5，∴B（5，0），C（0，﹣5），由抛物线y＝x2﹣4x﹣5的对称轴为直线x＝2，设Q（2，t），∴BC2＝50，BQ2＝9+t2，CQ2＝4+（t+5）2，当BC为斜边时，BQ2+CQ2＝BC2，∴9+t2+4+（t+5）2＝50，解得t＝﹣6或t＝1，∴此时Q坐标为（2，﹣6）或（2，1）；当BQ为斜边时，BC2+CQ2＝BQ2，∴50+4+（t+5）2＝9+t2，解得t＝﹣7，∴此时Q坐标为（2，﹣7）；当CQ为斜边时，BC2+BQ2＝CQ2，∴50+9+t2＝4+（t+5）2，解得t＝3，∴此时Q坐标为（2，3）；综上所述，Q的坐标为（2，3）或（2，﹣7）或（2，1）或（2，﹣6）．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（4，0），B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是直线AC上一动点，过点D作DE垂直于y轴于点E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点D的坐标；（3）在AC上方的抛物线上是否存在点P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（4，0），B（﹣1，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+4；（2）连接OD，由题意知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF，据垂线段最短，可知：当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．由（1）知，在Rt△AOC中，OC＝OA＝4，∴AC＝4．又∵D为AC的中点．∴DF∥OC，∴DF＝OC＝2，∴点D的坐标为（2，2）；（3）假设存在，设点P的坐标为（m，﹣m2+3m+4）．∵点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，4），∴AP2＝（m﹣4）2+（﹣m2+3m+4﹣0）2＝m4﹣6m3+2m2+16m+32，CP2＝（m﹣0）2+（﹣m2+3m+4﹣4）2＝m4﹣6m3+10m2，AC2＝（0﹣4）2+（4﹣0）2＝32．分两种情况考虑，①当∠ACP＝90°时，AP2＝CP2+AC2，即m4﹣6m3+2m2+16m+32＝m4﹣6m3+10m2+32，整理得：m2﹣2m＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝2，∴点P的坐标为（2，6）；②当∠APC＝90°时，CP2+AP2＝AC2，即m4﹣6m3+10m2+m4﹣6m3+2m2+16m+32＝32，整理得：m（m3﹣6m2+6m+8）＝0，∴m（m﹣4）（m2﹣2m﹣2）＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝4（舍去），（舍去），，∴点P的坐标为（1+，3+）．综上所述，假设成立，即存在点P（2，6）或（1+，3+），使得△ACP是直角三角形．考点二：二次函数中的等腰三角形存在性问题【例2】．如图，抛物线y＝﹣x2+5x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．（3）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标．解：（1）由题意得，﹣1+5+n＝0，解得，n＝﹣4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x﹣4；（2）y＝﹣x2+5x﹣4＝﹣（x﹣）2+，抛物线对称轴为：x＝，顶点坐标为（，）；（3）∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，﹣4），∴OA＝1，OB＝4，在Rt△OAB中，AB＝＝，①当PB＝BA时，PB＝，∴OP＝PB﹣OB＝﹣4，此时点P的坐标为（0，﹣4），②当PA＝AB时，OP＝OB＝4此时点P的坐标为（0，4）．变式训练【变2-1】．如图．已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B．（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；（2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把点A（4，0）代入二次函数有：0＝﹣16+4b+3得：b＝所以二次函数的关系式为：y＝﹣x2+x+3．当x＝0时，y＝3∴点B的坐标为（0，3）．（2）如图：作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP，则：BP＝AP设BP＝AP＝x，则OP＝4﹣x，在直角△OBP中，BP2＝OB2+OP2即：x2＝32+（4﹣x）2解得：x＝∴OP＝4﹣＝所以点P的坐标为：（，0）综上可得点P的坐标为（，0）．【变2-2】．如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点，点P是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）将线段AB绕点B顺时针旋转90°得线段BD（点D是点A的对应点），求点D的坐标，并判断点D是否在抛物线上；（3）过点P作PM⊥x轴交直线BD于点M，试探究是否存在点P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出点m的值；若不存在，说明理由．解：（1）把点A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）代入解析式y＝ax2+4x+c，得，解得，∴y＝x2+4x﹣1；（2）如图，作AC⊥y轴于点C，作DH⊥y轴于点H，∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠HBD+∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠HBD，在△ABC和△DBH中，，∴△ABC≌△BDH（AAS），∴HB＝AC＝3，DH＝BC＝3，∴OH＝2，∴D（﹣3，2），把D（﹣3，2）代入y＝x2+4x﹣1中，得（﹣3）2+4×（﹣3）﹣1＝﹣4≠2，∴点D不在抛物线上；（3）存在点P，∵D（﹣3，2），B（0，﹣1），∴直线BD的解析式为y＝﹣x﹣1，设P（m，m2+4m﹣1），则M（m，﹣m﹣1），由（2）知：∠BMP＝45°，当△PBM是等腰三角形，且45°为底角时，有∠MBP＝90°或∠MPB＝90°，若∠MBP＝90°，则P与A重合，即m＝﹣3，若∠MPB＝90°，则PB∥x轴，即P的纵坐标为﹣1，∴m2+4m﹣1＝﹣1，解得m＝0（舍）或m＝﹣4，∴m＝﹣4，若45°为顶角，即MP＝MB，∵MP＝﹣m﹣1﹣m2﹣4m+1＝﹣m2﹣5m，MB＝﹣＝﹣，∴﹣m2﹣5m＝﹣m，解得m＝0（舍）或m＝﹣5+，∴m的值为﹣3，﹣4，﹣5．1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．（1）求a、b、c的值；（2）连接PA、PC、AC，求△PAC面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC为直角三角形，若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点∴，解得：∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；（2）如图1，过点P作PE∥y轴，交AC于E，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为y＝x+3，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，设点P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），∴S△ACP＝PE•（xC﹣xA）＝×[﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）]×（0+3）＝﹣（m2﹣3m）＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，S△PAC最大＝；（3）存在，点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．如图2，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴OA＝OC＝3，∴AC2＝OA2+OC2＝32+32＝18，∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线对称轴为x＝﹣1，设点Q（﹣1，n），则AQ2＝[﹣1﹣（﹣3）]2+n2＝n2+4，CQ2＝[0﹣（﹣1）]2+（n﹣3）2＝n2﹣6n+10，∵△QAC为直角三角形，∴∠CAQ＝90°或∠ACQ＝90°或∠AQC＝90°，①当∠CAQ＝90°时，根据勾股定理，得：AQ2+AC2＝CQ2，∴n2+4+18＝n2﹣6n+10，解得：n＝﹣2，∴Q1（﹣1，﹣2）；②当∠ACQ＝90°时，根据勾股定理，得：CQ2+AC2＝AQ2，∴n2﹣6n+10+18＝n2+4，解得：n＝4，∴Q2（﹣1，4）；③当∠AQC＝90°时，根据勾股定理，得：CQ2+AQ2＝AC2，∴n2﹣6n+10+n2+4＝18，解得：n1＝，n2＝，∴Q3（﹣1，），Q4（﹣1，）；综上所述，点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．2．已知抛物线y＝﹣x2﹣x的图象如图所示：（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为y＝﹣x2﹣x+2．（2）判断△ABC的形状，并说明理由．（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）将该抛物线向上平移2个单位，得y＝﹣x2﹣x+2，故答案为：y＝﹣x2﹣x+2；（2）当y＝0时，﹣x2﹣x+2＝0，解得x1＝﹣4，x2＝1，即B（﹣4，0），A（1，0）．当x＝0时，y＝2，即C（0，2）．AB＝1﹣（﹣4）＝5，AB2＝25，AC2＝（1﹣0）2+（0﹣2）2＝5，BC2＝（﹣4﹣0）2+（0﹣2）2＝20，∵AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（3）y＝﹣x2﹣x+2的对称轴是直线x＝﹣，设P（﹣，n），AP2＝（1+）2+n2＝+n2，CP2＝+（2﹣n）2，AC2＝12+22＝5当AP＝AC时，AP2＝AC2，+n2＝5，方程无解；当AP＝CP时，AP2＝CP2，+n2＝+（2﹣n）2，解得n＝0，即P1（﹣，0），当AC＝CP时AC2＝CP2，+（2﹣n）2＝5，解得n1＝2+，n2＝2﹣，P2（﹣，2+），P3（﹣，2﹣）．综上所述：使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标（﹣，0），（﹣，2+），（﹣，2﹣）．3．如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接AC，BD．（1）求点A，B，C，D的坐标；（2）点F为抛物线对称轴上的动点，且△BEF与△AOC相似，请直接写出符合条件的点F的坐标；（3）点P为抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使△BDP是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝6或﹣2，令x＝0，则y＝3，故点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（6，0）、（0，3），则函数的对称轴为直线x＝（6﹣2）＝2，当x＝2时，y＝﹣x2+x+3＝4，即点D（2，4）；（2）tan∠CAO＝，当△BEF与△AOC相似时，则，即，解得：EF＝6或，故点F的坐标为：（2，6）或（2，﹣6）或或；（3）存在，理由：△BDP是直角三角形只要可能是∠DBP和∠BDP为直角，①当∠DBP为直角时，过点B作y轴的平行线，交过点P与x轴的平行线于点H，交过点D与x轴的平行线于点G，∵DG＝BG＝4，则△BDG为等腰三角形，∠DBG＝45°，则∠PBH＝45°，即△PBH为等腰直角三角形，则设PH＝BH＝m，则点P（6﹣m，﹣m），将点P的坐标代入抛物线表达式得：﹣m＝﹣（6﹣m）2+（6﹣m）+3，解得：m＝0（舍去）或12，故点P的坐标为（﹣6，﹣12）；②当∠BDP为直角时，∵AD＝BD＝3，AB＝64，则△ABD为等腰直角三角形，即∠ADB＝90°，即点P于点A重合，故点P（﹣2，0）；综上，点P的坐标为（﹣2，0）或（﹣6，﹣12）．4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A、E两点，P是x轴上点B左侧一动点，当以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似时，求点P的坐标；（3）若F是直线BC上一动点，在抛物线上是否存在动点M，使△MBF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．解：（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）联立直线AE和抛物线的函数关系式成方程组，得：，解得：，，∴点E的坐标为（4，﹣5），∴AE＝＝5，在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0，得：﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴点B的坐标为（3，0），∵C（0，3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠CBO＝45°，BC＝3，∵直线AE的函数表达式为y＝﹣x﹣1，∴∠BAE＝45°＝∠CBO．设点P的坐标为（m，0），则PB＝3﹣m，∵以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似，∴＝或＝，∴＝或＝，解得：m＝或m＝﹣，∴点P的坐标为（，0）或（﹣，0）；（3）∵∠CBO＝45°，∴存在两种情况（如图2）．①取点M1与点A重合，过点M1作M1F1∥y轴，交直线BC于点F1，∵∠CBM1＝45°，∠BM1F1＝90°，∴此时△BM1F1为等腰直角三角形，∴点M1的坐标为（﹣1，0）；②取点C′（0，﹣3），连接BC′，延长BC′交抛物线于点M2，过点M2作M2F2∥y轴，交直线BC于点F2，∵点C、C′关于x轴对称，∠OBC＝45°，∴∠CBC′＝90°，BC＝BC′，∴△CBC′为等腰直角三角形，∵M2F2∥y轴，∴△M2BF2为等腰直角三角形．∵点B（3，0），点C′（0，﹣3），∴直线BC′的函数关系式为y＝x﹣3，联立直线BC′和抛物线的函数关系式成方程组，得：，解得：，，∴点M2的坐标为（﹣2，﹣5），综上所述：点M的坐标为（﹣1，0）或（﹣2，﹣5）．5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且BO＝OC＝3AO．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3，∴c＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC＝3，∵BO＝OC＝3AO，∴BO＝3，AO＝1，∴B（3，0），A（﹣1，0），∵该抛物线与x轴交于A、B两点，∴，∴，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，（2）存在，理由：设P（1，m），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴BC＝3，PB＝，PC＝，∵△PBC是等腰三角形，①当PB＝PC时，∴＝，∴m＝﹣1，∴P（1，﹣1），②当PB＝BC时，∴3＝，∴m＝±，∴P（1，）或P（1，﹣），③当PC＝BC时，∴3＝，∴m＝﹣3±，∴P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣），∴符合条件的P点坐标为P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）．6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，其顶点为D，已知AB＝4，∠ABC＝45°，OA：OB＝1：3．（1）求二次函数的表达式及其顶点D的坐标；（2）点M是线段BC上方抛物线上的一个动点，点N是线段BC上一点，当△MBC的面积最大时，求：①点M的坐标，说明理由；②MN+BN的最小值；（3）在二次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵∠ABC＝45°，∴OB＝OC，∵OA：OB＝1：3，AB＝4，∴OA＝1，OB＝3，∴OC＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），将A、B、C代入y＝ax2+bx+c中，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）；（2）①设BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+3，过点M作MG∥y轴交BC于点G，设M（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3），∴PG＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，∴S△MBC＝×3×（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+，∵0＜t＜3，∴当t＝时，S△MBC有最大值，此时M（，）；②过点M作MH⊥x轴交于H，交BC于N，∵∠OBC＝45°，∴NH＝BN，∴MN+BN＝MN+NH≥MH，∵M（，），∴MH＝，∴MN+BN的最小值为，故答案为：；（3）存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形为直角三角形，理由如下：设P（m，﹣m2+2m+3），如图2，当∠ACP＝90°时，过点C作EF∥x轴，过点A作AE⊥EF交于E，过点P作PF⊥EF交于F，∴∠ECA+∠FCP＝90°，∵∠ACE+∠EAC＝90°，∴∠FCP＝∠EAC，∴△ACE∽△CPF，∴＝，∴＝，解得m＝0（舍）或m＝，∴P（，）；如图3，当∠CAP＝90°时，过点A作MN⊥x轴，过点C作CM⊥MN交于M，过点P作PN⊥MN交于N，∵∠MAC+∠NAP＝90°，∠MAC+∠MCA＝90°，∴∠NAP＝∠MCA，∴△ACM∽△PAN，∴＝，∴＝，解得m＝﹣1（舍）或m＝，∴P（，﹣）；综上所述：P点坐标为（，）或（，﹣）．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，∴，解得，∴抛物线的表达式为：；（2）存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：令x＝0，则y＝4，∴点C（0，4），∵A（﹣3，0）、C（0，4），∴AC＝5，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+4，设点M（m，0），则点Q（m，﹣m+4），①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，连接AQ，∵CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，解得：舍去负值），∴点；②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或m＝0（舍去0），∴点Q（1，3）；③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：舍去）；综上所述，点Q的坐标为（1，3）或．8．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴相交于点C，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点C的距离之和最短时，求点P的坐标；（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，（2）如图1，∵点A，B关于直线l对称，∴连接BC交直线l于点P，由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴直线l：x＝1，C（0，﹣3），∵B（3，0），∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝﹣2，∴P（1，﹣2），（3）设点M（1，m），∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴AC2＝10，AM2＝m2+4，CM2＝（m+3）2+1＝m2+6m+10，∵△MAC为直角三角形，∴当∠ACM＝90°时，∴AC2+CM2＝AM2，∴10+m2+6m+10＝m2+4，∴m＝﹣，∴M（1，﹣）当∠CAM＝90°时，∴AC2+AM2＝CM2，∴10+m2+4＝m2+6m+10，∴m＝，∴M（1，）当∠AMC＝90°时，AM2+CM2＝AC2，∴m2+4+m2+6m+10＝10，∴m＝﹣1或m＝﹣2，∴M（1，﹣1）或（1，﹣2），即：满足条件的点M的坐标为（1，﹣）或（1，）或（1，﹣1）或（1，﹣2）．9．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数表达式；（2）在抛物线对称轴上是否存在一点M，使以A，N，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出M点的坐标．若不存在，请说明理由．解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，解得，故抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．设直线AC的函数表达式为y＝kx+n，将A（﹣1，0）、C（2，3）分别代入y＝kx+n中可得解得，故直线AC的函数表达式为y＝x+1．（2）存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝1，设点M（1，m），∵A（﹣1，0），M（1，m），N（0，3），∴AM2＝（1+1）2+m2＝4+m2，同理AN2＝10，MN2＝1+（m﹣3）2．当AM是斜边时，则4+m2＝10+1+（m﹣3）2，解得；当AN是斜边时，4+m2+1+（m﹣3）2＝10，解得：m＝1或2；当MN是斜边时，4+m2+10＝1+（m﹣3）2，解得：．故点M的坐标为或（1，1）或（1，2）或．10．抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），∴，解得，即此抛物线的解析式是y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x＝1；（3）存在点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，设点P的坐标为（1，y），当PA＝PD时，则＝，解得y＝﹣，当DA＝DP时，则＝，解得y＝﹣4±2，当AD＝AP时，则＝，解得，y＝±4（舍去﹣4），由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，﹣）或（1，﹣4﹣2）或（1，﹣4+2）或（1，4）．11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请求出点M的坐标．（3）如图1，P为直线BC上方的抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D点，过点D作DE⊥AC于E点．设m＝PD+DE，求m的最大值及此时P点坐标．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点代入解析式y＝ax2+bx+3，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）如图，当∠MCB＝90°时，延长MC交x轴于点G，∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，AB＝3﹣（﹣1）＝4∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵∠MCB＝90°，∴∠GCB＝90°，∠GCO＝45°，∴∠GCO＝∠CGO＝45°，∴OG＝OC＝3，∴G（﹣3，0），设直线GC的解析式为y＝kx+3，∴0＝﹣3k+3，解得k＝1，∴直线GC的解析式为y＝x+3，∴x＝1时，y＝x+3＝4，此时M（1，4）；如图，当∠MBC＝90°时，延长BM交y轴于点H，∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵∠MBC＝90°，∴∠HBO＝45°，∴∠HBO＝∠BHO＝45°，∴OH＝OB＝3，∴H（0，﹣3），设直线BH的解析式为y＝px﹣3，∴0＝3p﹣3，解得p＝1，∴直线BH的解析式为y＝x﹣3，∴x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，此时M（1，﹣2）；当∠CMB＝90°时，设M（1，a），∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴BC2＝32+32＝18，MC2＝1+（a﹣3）2，BM2＝4+a2，∵∠CMB＝90°，∴BC2＝MC2+BM2，∴18＝1+（a﹣3）2+4+a2，整理，得a2﹣3a﹣2＝0，解得，此时或；综上所述，点M（1，4）或点M（1，﹣2）或点或点．（3）如图，设PD与x轴的交点为F，点P（n，﹣n2+2n+3），∵B（3，0），C（0，3），设直线BC的解析式为y＝qx+3，∴0＝3q+3，解得q＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∴D（n，﹣n+3），∴PD＝﹣n2+2n+3﹣（﹣n+3）＝﹣n2+3n；∵A（﹣1，0），C（0，3），∴，∴，连接AD，∴，∵S△ADC＝S△ABC﹣S△ADB，AB＝3﹣（﹣1）＝4∴，∴，∴∵抛物线开口向下，∴m有最大值，且当时，取得最大值，且为，此时，故点．12．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵点B（5，0），C（0，5）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；（2）设点M关于直线BC的对称点为点M′，连接MM′，BM′，则直线FM′为抛物线对称轴关于直线BC的对称直线，∵点E是点D关于直线BC的对称点，点E落在抛物线上，∴直线FM′与抛物线的交点E1，E2为D1，D2落在抛物线上的对称点，∵对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，∴，∴点M的坐标为（2，0），∵点C的坐标为（0，5），点B的坐标为（5，0），∴OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°，∴△MBF是等腰直角三角形，∴MB＝MF，∴点F的坐标为F（2，3），∵点M关于直线BC的对称点为点M′，∴BM′＝BM，∠MBM′＝90°，∴△MBM′是等腰直角三角形，∴BM′＝BM＝3，∴点M′的坐标为（5，3），∴FM′∥x轴，∴﹣x2+4x+5＝3，解得，x1＝，x2＝，∴E1（，3），E2（，3），∴点E的坐标为（，3）或（，3）；（3）存在，Q1（，），Q2（，），Q3（，2）．设Q（m，﹣m2+4m+5），P（2，p），①当OP＝PQ，∠OPQ＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴，交PL于K，∴∠LPO＝90°﹣∠LOP＝90°﹣KPQ，∠PLO＝∠QKP＝90°，∴∠LOP＝∠KPQ，∵OP＝PQ，∴△LOP≌△KPQ（AAS），∴LO＝PK，LP＝QK，∴，解得m1＝，m2＝（舍去），当m1＝时，﹣m2+4m+5＝，∴Q（，）；②当QO＝PQ，∠PQO＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴于T，交PL于K，同理可得△PKQ≌△QTO（AAS），∴QT＝PK，TO＝QK，∴，解得m1＝，m2＝（舍去），当m1＝时，﹣m2+4m+5＝，∴Q（，）；③当QO＝OP，∠POQ＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴于T，交PL于K，同理可得△OLP≌△QSO（AAS），∴SQ＝OL，SO＝LP，∴，解得m1＝2+，m2＝2﹣（舍去），当m1＝2+时，﹣m2+4m+5＝2，∴Q（，2）；综上，Q1（，），Q2（，），Q3（，2）．13．已知如图1，在以O为原点的平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣1），连接AC，AO＝2CO，直线l过点G（0，t）且平行于x轴，t＜﹣1．（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；（2）若D（﹣4，m）为抛物线y＝x2+bx+c上一定点，点D到直线l的距离记为d，当d＝DO时，求t的值．（3）如图2，若E（﹣4，m）为上述抛物线上一点，在抛物线上是否存在点F，使得△BEF是直角三角形，若存在求出点F的坐标，若不存在说明理由．解：（1）∵C（0，﹣1），∴y＝x2+bx﹣1，又∵AO＝2OC，∴点A坐标为（﹣2，0），代入得：1﹣2b﹣1＝0，解得：b＝0，∴解析式为：y＝x2﹣1；（2）∵D（﹣4，m）为抛物线y＝x2﹣1上一定点，∴m＝×16﹣1＝3，∴D（﹣4，3），∴OD＝＝5，∴d＝5，∴t＝﹣（5﹣3）＝﹣2；（3）点E（﹣4，m）在抛物线y＝x2﹣1的上，∴m＝3，∴E（﹣4，3），∵B（2，0），∴直线BE为y＝﹣x+1，①如图1，当B点为直角顶点时，则BF⊥BE，∴直线BF的斜率为2，设直线BF的解析式为y＝2x+n，把B（2，0）代入得2×2+n＝0，∴n＝﹣4，∴直线BF的解析式为y＝2x﹣4，解得或，∴F（6，8）；②当F点为直角顶点时，设BE的平行线y＝﹣x+b与抛物线有且只有一个交点P，∴﹣x+b＝x2﹣1，整理得x2+2x﹣4b﹣4＝0，∴△＝4+4（4b+4）＝0，解得b＝﹣，∴平行线为y＝﹣﹣，∴x2+2x+1＝0，解得x＝﹣1，∴y＝﹣，∴平行线与抛物线的交点P为（﹣1，﹣），∵B（2，0），E（﹣4，3），∴BE＝＝3，∴BE的中点Q为（﹣1，），∴QP＝+＝＜＝BE，∴此种情况不存在，③当E点为直角顶点时，如图2，设点F（n，n2﹣1），而点E（﹣4，3），B（2，0），过点E作y轴的平行线交x轴于点N，交过点F与x轴的平行线于点M，则∠EBN＝∠MEF，则tan∠EBN＝tan∠MEF，即，∴，解得：n＝﹣4（舍去）或12，故点F的坐标为（12，35）；故在抛物线上存在点F，使得△BEF是直角三角形，点F的坐标为（6，8）或（12，35）．14．如图①，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于O、A两点，直线y＝﹣x+3与y轴交于B点，与该抛物线交于A，D两点，已知点D横坐标为﹣1．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图①，在线段OA上有一动点H（不与O、A重合），过H作x轴的垂线分别交AB于P点，交抛物线于Q点，若x轴把△POQ分成两部分的面积之比为1：2，请求出H点的坐标；（3）如图②，在抛物线上是否存在点C，使△ABC为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．（1）解：y＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，∴B（0，3），把x＝﹣1代入y＝﹣x+3得：y＝4，∴D（﹣1，4），当y＝0时，0＝﹣x+3，∴x＝3，∴A（3，0），∵抛物线过A（3，0），O（0，0），把D（﹣1，4）代入y＝ax2+bx+c＝a（x﹣0）（x﹣3）得：4＝a（﹣1﹣0）（﹣1﹣3），∴a＝1，∴y＝（x﹣0）（x﹣3），即抛物线的解析式是y＝x2﹣3x．（2）解：设H（x，0），则P（x，﹣x+3），Q（x，x2﹣3x），∴PH＝﹣x+3，QH＝3x﹣x2，∵x轴把△POQ分成两部分的面积之比为1：2，∴＝或＝2，即＝或＝2，解得：x1＝2，x2＝3（舍去），x3＝3（舍去），x4＝，∴H点的坐标是（2，0）或（，0）．（3）解：分为三种情况：①若∠BAC＝90°，设C（x，x2﹣3x），∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝45°，∴∠OAC＝45°，∴tan∠OAC＝1，∴＝1，解得：x1＝1，x2＝3（舍去），∴C（1，﹣2）；②若∠ABC＝90°时，∵∠OBA＝45°，∴∠OBC＝45°，设直线BC交于x轴于E，其解析式是y＝kx+3，∴OE＝OB＝3，∴E（﹣3，0），代入得：0＝﹣3k+3，∴k＝1，∴y＝x+3，解方程组得：，，∴C（2+，5+）或（2﹣，5﹣）；③若∠ACB＝90°时，设C（n，k），AC2+BC2＝AB2，即（n﹣3）2+k2+n2+（k﹣3）2＝18，n2﹣3n+k2﹣3k＝0，∵k＝n2﹣3n，代入求出k1＝0，k2＝2，∴n2﹣3n＝0，n2﹣3n＝2，解得：n1＝0，n2＝3（舍去），n3＝，n4＝，∴C（0，0）或（，2）或（，2），综合上述：存在，点C的坐标是（1，﹣2）或（2+，5+）或（2﹣，5﹣）或（0，0）或（，2）或（，2）．15．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D．（1）求此函数的关系式；（2））在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC与点M，当点N坐标为多少时，线段MN的长度最大？最大是多少？（3）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标．（4）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴将其分别代入抛物线解析式，得，解得．故此抛物线的函数表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+t，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，设N的坐标为（n，n2+2n﹣3），则M（n，﹣n﹣3），∴MN＝﹣n﹣3﹣（n2+2n﹣3）＝﹣n2﹣3n＝﹣（n+）2+，把n＝﹣代入抛物线得，N的坐标为（﹣，﹣），当N的坐标为（﹣，﹣），MN有最大值；（3）①当以AB为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，∴KL必过（﹣1，0），∴L必在抛物线上的顶点D处，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴L（﹣1，﹣4），K（﹣1，4）②当以AB为边时，AB＝KL＝4，∵K在对称轴上x＝﹣1，∴L的横坐标为3或﹣5，代入抛物线得L（﹣5，12）或L（3，12），此时K都为（﹣1，12），综上，K（﹣1，4），L（﹣1，﹣4）或K（﹣1，12），L（﹣5，12）或K（﹣1，12），L（3，12）；（4）存在，∵A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4），∴AD2＝（﹣3+1）2+（0+4）2＝20，设E（0，m），则AE2＝（﹣3﹣0）2+（0﹣m）2＝9+m2，DE2＝（﹣1﹣0）2+（﹣4﹣m）2＝17+m2+8m，①AE为斜边，由AE2＝AD2+DE2得：9+m2＝20+17+m2+8m，解得：m＝，②DE为斜边，由DE2＝AD2+AE2得：9+m2+20＝17+m2+8m，解得：m＝，③AD为斜边，由AD2＝ED2+AE2得：20＝17+m2+8m+9+m2，解得：m＝﹣1或﹣3，∴点E的坐标为（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．16．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，请问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴，解得：．∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在，如图1，∵抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，∴其对称轴为，∴设P点坐标为（﹣1，a），∴C（0，3），M（﹣1，0），PM2＝a2，CM2＝（﹣1）2+32，CP2＝（﹣1）2+（3﹣a）2，分类讨论：（1）当PC＝PM时，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得，∴P点坐标为：P1（﹣1，）；（2）当MC＝MP时，（﹣1）2+32＝a2，解得，∴P点坐标为：或；（3）当CM＝CP时，（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，a＝0（舍），∴P点坐标为：P4（﹣1，6）．综上所述存在符合条件的点P，其坐标为或或P（﹣1，6）或．（3）存在，Q（﹣1，2），理由如下：如图2，点C（0，3）关于对称轴x＝﹣1的对称点C′的坐标是（﹣2，3），连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为点Q．设直线AC′函数关系式为：y＝kx+t（k≠0）．将点A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得，解得，所以，直线AC′函数关系式为：y＝﹣x+1．将x＝﹣1代入，得y＝2，即Q（﹣1，2）．17．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，1），二次函数y＝x2+bx﹣的图象经过点C．（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）∵点C（3，1）在二次函数的图象上，∴x2+bx﹣＝1，解得：b＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣y＝x2﹣x﹣＝（x2﹣x+﹣）﹣＝（x﹣）2﹣（2）作CK⊥x轴，垂足为K．∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝AC．又∵∠BAC＝90°，∴∠BAO+∠CAK＝90°．又∵∠CAK+∠ACK＝90°，∴∠BAO＝∠ACK．在△BAO和△ACK中，∠BOA＝∠AKC，∠BAO＝∠ACK，AB＝AC，∴△BAO≌△ACK．∴OA＝CK＝1，OB＝AK＝2．∴A（1，0），B（0，2）．∴当点B平移到点D时，D（m，2），则2＝m2﹣m﹣，解得m＝﹣3（舍去）或m＝．∴AB＝＝．∴△ABC扫过区域的面积＝S四边形ABDE+S△DEH＝×2+××＝9.5（3）当∠ABP＝90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G．∵△APB为等腰直角三角形，∴PB＝AB，∠PBA＝90°．∴∠PBG+∠BAO＝90°．又∵∠PBG+∠BPG＝90°，∴∠BAO＝∠BPG．在△BPG和△ABO中，∠BOA＝∠PGB，∠BAO＝∠BPG，AB＝PB，∴△BPG≌△ABO．∴PG＝OB＝2，AO＝BG＝1，∴P（﹣2，1）．当x＝﹣2时，y≠1，∴点P（﹣2，1）不在抛物线上．当∠PAB＝90°，过点P作PF⊥x轴，垂足为F．同理可知：△PAF≌△ABO，∴FP＝OA＝1，AF＝OB＝2，∴P（﹣1，﹣1）．当x＝﹣1时，y＝﹣1，∴点P（﹣1，﹣1）在抛物线上．18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）点N坐标为（0，2），点M在抛物线上，且∠NBM＝45°，直接写出点M坐标；（4）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A（1，0）代入y＝ax2+bx+4，得a+b+4＝0，∵对称轴为直线x＝，∴﹣＝，∴b＝﹣5a，∴a﹣5a+4＝0，∴a＝1，∴b＝﹣5，∴y＝x2﹣5x+4；（2）令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），令y＝0，则x2﹣5x+4＝0，∴x＝4或x＝1，∴A（1，0），B（4，0），设直线BC的解析式为y＝kx+d，∴，∴，∴y＝﹣x+4，设P（t，﹣t+4），则Q（t，t2﹣5t+4），∴PQ＝﹣t+4﹣（t2﹣5t+4）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，∴当t＝2时，PQ的长度最大，∴P（2，2），Q（2，﹣2），∴PQ＝4，OQ＝2，∵CO＝4，∴四边形OCPQ是平行四边形；（3）∵OB＝OC＝4，∴∠CBO＝45°，∵∠NBM＝45°，∴∠OBM＝∠CBN，过点N作NF⊥BC于点F，∵N（0，2），C（0，4），∴CN＝2，∴NF＝CF＝，∵B（4，0），∴OB＝4，∴NB＝2，∴BF＝3，∴tan∠CBN＝，∴tan∠OBG＝＝＝，∴OG＝，∴G（0，﹣），设直线OM的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣，联立方程组，解得x＝4（舍）或x＝，∴M（，﹣）；过B点作BK⊥BG交y轴于点K，此时∠NBK＝45°，∴∠OKB＝∠OBG，∵tan∠OBG＝＝＝＝，∴OK＝12，∴K（0，12），设直线KB的解析式为y＝k1x+b1，∴，∴，∴y＝﹣3x+12，联立方程组，解得x＝4（舍）或x＝﹣2，∴M（﹣2，18）；综上所述：M点坐标为（﹣2，18）或（，﹣）；（4）存在点F，使得△BEF为等腰三角形，理由如下：过点Q作x轴的垂线，过点Q作QN⊥y轴交于点N，过点E作y轴的垂线ME，∵QM∥y轴，∴∠ODQ＝∠MQD，∵∠DQE＝2∠ODQ，∴∠MQE＝∠ODQ，∵C（0，4），D是OC的中点，∴D（0，2），∵Q（2，﹣2），∴tan∠ODQ＝＝，∴＝，设E（m，m2﹣5m+4），∴＝，解得m＝2（舍）或m＝5，∴E（5，4），∴BE＝，设F（0，y），①当BF＝BE时，＝，∴y＝±1，∴F（0，1）或（0，﹣1）；②当EF＝BE时，＝，此时y无解；③当BF＝EF时，BE的中点T（，2），∴BF＝＝，∴y＝，∴F（0，），综上所述：点F的坐标为（0，1）或（0，﹣1）或（0，）．19．如图，已知直线y＝3x﹣3分别交x轴，y轴于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上求一点P，使△ABP的周长最小，并求出最小周长和P点的坐标；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．解：（1）在y＝3x﹣3中，令y＝0求得x＝1，令x＝0可得y＝﹣3，∴A（1，0），B（0，﹣3），把A、B两点的坐标分别代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为x＝﹣1，∵A、C关于对称轴对称，且A（1，0），∴MA＝MC，C（﹣3，0），∴MB+MA＝MB+MC，∴当B、M、C三点在同一条直线上时MB+MC最小，此时△ABM的周长最小，∴连接BC交对称轴于点M，则M即为满足条件的点，设直线BC的解析式为y＝kx+m，∵直线BC过点B（0，﹣3），C（﹣3，0），∴，解得：，∴直线BC的解析式y＝﹣x﹣3，当x＝﹣1时，y＝﹣2，∴M（﹣1，﹣2），∴存在点M使△ABM周长最短，其坐标为（﹣1，﹣2），最短周长为+＝3+；（3）存在，理由如下：抛物线的对称轴为：x＝﹣1，假设存在M（﹣1，m）满足题意：讨论：①当MA＝AB时，∵OA＝1，OB＝3，∴AB＝，＝，解得：m＝±，∴M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣）；②当MB＝BA时，＝，解得：M3＝0，M4＝﹣6，∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6）（舍弃），③当MB＝MA时，＝，解得：m＝﹣1，∴M5（﹣1，﹣1），答：共存在4个点M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣），M3（﹣1，0），M5（﹣1，﹣1）使△ABM为等腰三角形．20．如图，已知直线y＝3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ABP是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）在抛物线上求一点Q，使得△ACQ为以AC为底边的等腰三角形，并写出Q点的坐标；（4）除（3）中所求的Q点外，在抛物线上是否还存在其它的点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点Q（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点Q，请说明理由．解：（1）令x＝0得：y＝3，∴B（0，3）．令y＝0得：3x+3＝0，解得x＝﹣1，∴A（﹣1，0）．设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将点B的坐标代入得：﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）抛物线的对称轴方程为x＝﹣＝1．设点P的坐标为（1，a）．当AB＝AP时，＝，整理得：10＝4+a2，解得a＝±∴P（1，）或（1，﹣）．当BA＝BP时，＝，整理得：10＝1+（3﹣a）2，解得：a＝0或a＝6（舍去），∴P（1，0）．当AP＝BP时，＝，整理得：6a＝6，解得a＝1，∴P（1，1）．综上所述：点P的坐标为P（1，）或（1，﹣）或P（1，0）或P（1，1）．（3）当点Q在AC的垂直平分线上时，则QA＝QC．由抛物线的对称性可知：此时点Q为抛物线的顶点．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴Q（1，4）．（4）当QA＝QC时，抛物线的顶点即为所求的点Q．如图所示：以A为圆心，以AC长为半径作⊙A，⊙A交抛物线于Q1、Q2、Q3，以C为圆心，AC长为半径作⊙C，交抛物线于点Q4、Q5、Q6．由圆的性质可知：△ACQ1、△ACQ2、△ACQ3、△ACQ4、△ACQ