1.3 空间向量及其运算的坐标表示(分层练习)（解析版）

第一章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示精选练习基础篇基础篇点A3,4,5关于坐标平面Oyz对称的点B的坐标为（A．3,4,−5 B．−3,4,5C．−3,4,−5 D．−3,−4,−5【答案】B【分析】利用空间直角坐标系中点的对称特征判定即可.【详解】关于坐标平面Oyz即点A3,4,5关于坐标平面Oyz对称的点B的坐标为已知点P5,4,−3，则点P到x轴的距离为（

A．3 B．5 C．25 D．【答案】B【分析】点Px,y,z到x轴的距离【详解】∵点P5,4,−3，∴点P到x轴的距离为4点P(1,−2,5)到xOy平面的距离为（

）A．1 B．2 C．−2 D．5【答案】D【分析】根据空间点的坐标的含义，即可得答案.【详解】点P(1,−2,5)在xOy平面上的射影是P'则点P(1,−2,5)到xOy平面的距离为PP已知点A(1,−1,2)，则满足(x−1)2+(y+1)A．以点(1,−1,2)为球心，以3为半径的球面B．以点(1,−1,2)为球心，以3为半径的球面C．以点(−1,1,−2)为球心，以3为半径的球面D．以点(−1,1,−2)为球心，以3为半径的球面【答案】B【分析】根据空间两点间的距离公式可得答案.【详解】方程(x−1)2动点(x,y,z)到定点A(1,−1,2)的距离为3.故选：B.已知a=−3,2,5，b=1,5,−1，则【答案】44【分析】根据空间向量数量积的坐标运算求得正确答案.【详解】由于a+3所以a⋅a+3b已知空间直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A1,1,0，B0,1,3，C2,5,1，则BC【答案】2【分析】根据空间向量中点坐标以及两点间距离公式计算即可；【详解】设BC的中点为D，因为B0,1,3，C2,5,1，所以D1,3,2AD=AD=已知两个向量a=2,−1,2，b=6,m,n，且a∥A．1 B．3 C．5 D．9【答案】B【分析】根据空间向量的平行，列出比例式，求得m,n，即得答案.【详解】由题意a=2,−1,2，b=故62=m已知a=2,3,1，b=1,−2,−2，则a在A．2b B．−2b C．23【答案】D【分析】根据空间向量的投影向量公式进行求解.【详解】a⋅bb2=2,3,1⋅已知空间向量m=1,2,3，空间向量n满足m//n且A．12,1,3C．−32,−1,−【答案】A【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可.【详解】∵m=1,2,3，且空间向量n满足m//n，又m⋅n=7，∴1×λ+2×2λ+3×3λ=14λ=7，得λ=1如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=5,AD=4,AA1=3，以直线DA,DC,D

A．点B1的坐标为B．点C1关于点B对称的点为C．点A关于直线BD1D．点C关于平面ABB1【答案】BCD【分析】对于A，根据图示分析即可；对于B，设点C1关于点B对称的点为Px,y,z，再根据B为C1P的中点列式求解即可；对于C，根据四边形ABC【详解】对于A，由图形及其已知可得：点B1的坐标为4,5,3对于B，由图，C10,5,3，B4,5,0，设点C1关于点则0+x2=4,5+y2=5,对于C，在长方体中AD所以四边形ABC1D1为正方形，即点A关于直线BD1对称的点为对于D，因为CB⊥平面ABB1A1，故点C0,5,0关于平面AB故选：BCD.提升篇提升篇已知向量a=1,1,0，b=−1,0,2，且ka+b【答案】75/【分析】向量的垂直用坐标表示为x1【详解】ka2a−b=21,1,0因为ka+b所以ka即k−1,k,2⋅3,2,解得：k=已知m>0，n>0，空间向量a=m,4,−3与b=1,n,2垂直，则A．32 B．3 C．9 D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用空间向量垂直的坐标表示，再利用均值不等式求解作答.【详解】依题意，a⋅而m>0，n>0，则6=m+4n≥2m⋅4n因此mn≤94，当且仅当所以当m=3,n=34时，mn取得最大值故选：D.在四面体P−ABC中，PA,PB,PC两两垂直，设PA=PB=PC=a，则点 P 到平面ABC的距离为（A．63a B．33a C．【答案】B【分析】由题设构建空间直角坐标系，过P作PH⊥面ABC，交面ABC于H，则PH的长即为P到平面ABC的距离，确定P、H（三角形重心）坐标，应用两点式求距离即可.【详解】根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P−xyz，则P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).过P作PH⊥面ABC，交面ABC于H，则PH的长即为P到平面ABC的距离.PA=PB=PC=a，则H为△ABC的外心.易知△ABC为正三角形，∴H为△ABC的重心，可得 H 的坐标为∴|PH|=a∴点 P 到平面ABC的距离为a=(1,−1,2)，b=(−2,1,−1)，c=(5,−3,k)，若a，b，c共面，则实数kA．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用空间向量共面的充要条件：存在唯一的实数对(x,y)，使c=xa+y【详解】∵向量a=(1,−1,2)，b=(−2,1,−1)，若向量a，b，c共面，则存在唯一的实数对(x,y)，使c=x即(5,−3,k)=x(1,−1,2)+y(−2,1,−1)=(x−2y,−x+y,2x−y)∴x−2y=5−x+y=−32x−y=k，解得x=1y=−2k=4如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，CC1=

【答案】34【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设P0,m,3−3m【详解】以C1为坐标原点，分别以C1D则C10,0,0,D则C=4m当m=34时，C1P⋅D如图，棱长为2正方体ABCD−A1B1C1D1，O为底面AC的中心，点P在侧面BC1内运动且

【答案】8【分析】以点C为坐标原点，CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设点P0,y,z0≤y≤2,0≤z≤2，求得y=2z，取线段BB1的中点E，可知点P的轨迹为线段CE，求出点【详解】以点C为坐标原点，CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、则D12,0,2、O1,1,0、BD1O=因为D1O⊥PO，则D1O⋅由题意可得0≤z≤20≤2z≤2，则0≤z≤1取点E0,2,1，则点P的轨迹为线段CE，设点B关于直线CE的对称点为点B则线段BB'的中点M0,2+s2,tBB'=0,s−2,t联立①②可得s=65，t=85，则点所以，点P到底面ABCD的距离与它到点B的距离之和的最小值，即为点B'到平面ABCD的距离，即为85.故答案为：已知点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．(1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积；(2)若向量a分别与AB，AC垂直，且|a|=3【答案】(1)73；(2)a=(1,1,1)或【分析】(1)设<AB,AC>=θ，由cosθ=(2)设a=(x,y,z)，由a⋅AB=0,【详解】（1）解：因为AB=(−2,−1,3)，AC设<AB,AC又因为θ∈[0,π]，所以所以以AB,AC为边的平行四边形的面积S=|AB（2）解：设a=(x,y,z)，则a⋅AB=−2x−y+3z=0,解得x=y=z=1或x=y=z=−1，所以a=(1,1,1)或a设全体空间向量组成的集合为V，a=(a1,a2,(1)设u=−1,0,0，v=0,0,−1，若(2)对于V中的任意单位向量x，求fx【答案】(1)22,0,−22或【分析】（1）设a=a1（2）设x与a的夹角为α，根据数量积的运算律得到f(x【详解】（1）依题意得：fu=u则−u⋅a=a（2）设x与a的夹角为α，则x⋅则f(x)+2x如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F，G分别为AB，SC，SD的中点．若AB=a，SD=b．(1)求EF；(2)求cosAG【答案】(1)4a2+【分析】（1）构建空间直角坐标系并确定相关点