1.1.1 空间向量及其线性运算(分层练习)（解析版）

第一章空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算精选练习基础篇基础篇在空间四边形OABC中，OA+AB+A．OA B．AB C．OC D．AC【答案】C【分析】根据平面向量的加法运算法则，即可求解.【详解】OA+AB+在三棱锥A−BCD中，若△BCD是正三角形，E为其重心，则AB+12【答案】0【分析】首先根据几何关系，转化向量再进行运算可得答案.【详解】延长DE交边BC于点F，则DE=2EF，则有AB+12故AB+12在平行六面体ABCD−A1B1CA．BC+BBC．AD−AB+【答案】ABC【分析】作出平行六面体ABCD−A【详解】解:如图所示：

A中，BC+BB中，A1C中，AD−D中，B1故选:ABC．下列命题中，正确命题的个数为（

）①若a//b，则a与②若AB=CD，则A，B，C，③若a，b不共线，则空间任一向量p=λa+μA．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】举特例否定①；利用向量共线的定义否定②；依据共面向量基本定理否定③.【详解】当a=0，b≠0时，a//当AB=CD时，A，B，C，当a，b不共线时，当且仅当p,a,b共面时才满足（多选）下列命题正确的是（

）A．空间中所有的单位向量都相等B．若a=bC．若a，b满足a>b，且a，bD．对于任意向量a，b，必有a【答案】BD【分析】根据向量的基本概念即可求解.【详解】对于A：向量相等需要满足两个条件：长度相等且方向相同，缺一不可，故A错；对于B：根据平行向量和相等向量的定义可知B正确；对于C：向量不能比较大小，故C错；对于D：根据向量的模的三角不等式知a+（多选）下列命题为真命题的是（）A．若空间向量a，b满足a＝bB．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC＝AC．若空间向量m，n，p满足m=n，nD．空间中，a//b，b【答案】BC【分析】由向量相等的条件和向量共线的定义判断各个选项.【详解】对于A，两个向量相等，但方向不一定相同，不能得到a=对于B，由正方体的结构特征可知，AC与A1C1长度相等，方向相同，有AC对于C，空间向量m，n，p满足m=n，n=p，即m与n长度相等方向相同，则有m与p长度相等方向相同，有m=对于D，b=0时，满足a//b，故选：BC（多选）下列命题中错误的是（

）A．|a|−|bB．若A,B,C,D是空间任意四点，则有ABC．若AB,CDD．对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C，若OP=xOA+yOB+z【答案】ACD【分析】根据向量共线的性质可判断CA，由向量的线性运算即可判断B，根据共面定理的推论即可判断D.【详解】对于A，当a,b方向相同的共线时，此时|a|−|b对于B,AB+对于C，AB,CD共线，有可能A,B,C,D四点在同一条直线上，所以不能得到对于D，对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C，若OP=xOA+yOB+zOC（其中如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，当λ=1时，点P在棱BB1上B．当μ=1时，点P在棱B1C．当λ+μ=1时，点P在线段B1CD．当λ=μ时，点P在线段BC【答案】BCD【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可求解【详解】当λ=1时，BP=BC+μ则CP//BB1，即同理当μ=1时，则B1P//BC，故当λ+μ=1时，μ=1−λ，所以BP=λBC+故点P在线段B1当λ=μ时，BP=λBC+BB故选：BCD．已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点（如图所示），并且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，【答案】证明见解析．【分析】根据题意，由向量的线性运算可得EG=k【详解】∵OE=kOA，OFEG=kOD∴AC//EG，因为AC、EG提升篇提升篇设向量e1，e2，e3不共面，已知AB=e1+e2+e3，BC=A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据A，C，D三点共线，可得AC//CD，则存在唯一实数μ，使得【详解】由AB=e1得AC=因为A，C，D三点共线，所以AC//则存在唯一实数μ，使得AC=μCD，则2=4μ1+λ=8μ2=4μ，解得若点P∈平面ABC，且对空间内任意一点O满足OP=14OA+λA．−58 B．−38 C．【答案】D【分析】根据条件得出P，A，B，C四点共面，再根据OP=14【详解】∵P∈平面ABC，∴P，A，B，C四点共面，又OP=14OA+λOB+18或者根据∵P∈平面ABC，∴P，A，B，C四点共面，则存在实数x,y，使得PA=x即OA−又4OP=OA+4λOB+如图，设O为平行四边形ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若OE=12OD+xA．−2 B．0 C．−1 D．3【答案】B【分析】根据向量的线性运算的几何表示，得出OE=【详解】∵E为OC的中点，∴OE∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∴OE∵OE→=12OD→已知O为空间任意一点，A,B,C,P四点共面，但任意三点不共线．如果BP=mOA+OB+A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【分析】由题设条件推得OP=mOA【详解】因为BP=OP−得OP−OB=m因为O为空间任意一点，A,B,C,P满足任意三点不共线，且四点共面，所以m+2+1=1，故m=−2.故选：A.（多选）给出下列命题，其中正确的命题为（）A．若AB=CD，则必有A与C重合，B与D重合，AB与B．若AD=1C．若Q为△ABC的重心，则PQD．非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面【答案】BC【分析】根据向量相等不能得出线段相等判断A选项，根据向量减法得出判断B选项，根据重心性质得出向量关系判断C选项，应用特殊向量判断共面判断D选项.【详解】在平行四边形ABDC中，满足AB=CD，但不满足A与C重合，B与D重合，AB与因为AD=13AC+23AB，所以3AD若Q为△ABC的重心，则QA+QB+QC=0，所以在三棱柱ABC−A1B1C1中，令AB=a，AC=b，AA1=c，满足a与b，故选：BC.（多选）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（）A．OM=3OA−2C．MA+MB+【答案】ABD【分析】根据各项中向量之间的线性关系，应用数形结合法判断M与A，B，C是否存在不共面的情况即可.【详解】A：OM+2OB+OC=3

由|OB|,|OC|,|OMB：OM+OA=−此时，M与A，B，C不共面，满足；C：因为MA+MB+MC=0，所以MA=−MB−MCD：4(OM+OA此时，M与A，B，C不共面，满足；故选：ABD如图，四棱锥P−ABCD的底面是边长为1的正方形，E是棱PD上的点，且PE=3ED，若PF=λPC，且满足BF//平面ACE，则λ=（

A．23 B．32 C．33【答案】A【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明BG//平面ACE，结合BF//平面ACE，则证明平面BGF//平面ACE，再利用利用面面平行的性质则有GF【详解】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，则BO=OD，在线段PE取一点G，使得GE=ED，则G是PD的中点，PGPE连接BG，FG，则BG//因为OE⊂平面ACE，BG⊄平面ACE，所以BG//平面ACE.因为BF//平面ACE，BG∩BF=B，BG，BF⊂平面BGF，所以平面BGF//平面ACE因为平面PCD∩平面ACE=EC，平面PCD∩平面BGF=GF，所以GF//所以PFPC=PGPE=《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在阳马P−ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=1，AD=1，CD=2，则下列结论正确的有（

）A．四面体P−ACD是鳖臑B．阳马P−ABCD的体积为2C．若BQ=2D．D到平面PAC的距离为2【答案】BCD【分析】由△PAC不是直角三角形否定选项A；求得阳马P−ABCD的体积判断选项B；以DA，DC，DP为基底表示向量DQ进而判断选项C；求得【详解】A错，连接AC，则△PAC中，PA=2则△PAC不是直角三角形，则四面体P−ACD不是鳖臑；B对，VP−ABCD=C对，DQD对，设D到平面PAC的距离为d，又S△PAC由13⋅32⋅d=13×故选：BCD已知长方体ABCD−A1B1C1D1的棱AB=AD=2，AA1=1，点P满足：

A．当λ=1，γ=0时，P到A1DB．当μ=1时，点P的到平面BDDC．当λ=0，μ=1时，直线PB与平面ABCD所成角的正切值的最大值为2D．当λ=μ=1，γ=12时，四棱锥P−B【答案】CD【分析】根据向量的线性关系确定P所在的位置或区域，结合长方体的结构求点线、点面距离，根据线面角的定义求直线PB与平面ABCD所成角的最大正切值，求棱锥外接球的半径，进而求外接球的表面积.【详解】A：AP=AB+μAD，则μAD=AP所以P到A1D1的距离为3，即棱BC与AB：AP=λAB+AD+γAA所以，当P在CC1上时，P的到平面而CC1//DD1，CC1⊄面BDD所以，由长方体结构特征，最大值问题化为C到BD的距离ℎ，BD=22，则ℎ=C：AP=AD+γAA1，则根据长方体的结构易知：当P与D1重合时，直线PB与面ABCD所成角正切值的最大值为DD：AP=AB+AD+12如下图，PB=PD=PD1=P

所以P−BB1DD1的底面为矩形，顶点P在B故P−BB1DD1外接球的球心O所以PE=P