1.1.2 空间向量的数量积运算(分层练习)（解析版）

第一章空间向量与立体几何1.1.2空间向量的数量积运算精选练习基础篇基础篇化简：a⋅2【答案】b【分析】利用向量的数量积运算律可得解.【详解】a已知空间向量a,b的夹角为π3，|【答案】2【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律计算作答.【详解】由空间向量a,b的夹角为π3，|所以|a已知空间向量a，b，c两两夹角均为60∘，其模均为1，则a−【答案】5【分析】根据空间向量数量积的定义可求得a⋅b=【详解】因为a=b=c=1，且a所以a−所以a−b+2c=已知a=4，e为空间单位向量，a,e=120∘，则【答案】2【分析】利用向量投影的概念可求得结果.【详解】由题意可知，a在e方向上投影的模为a若a、b、c是空间任意三个向量，λ∈R，下列关系中，不恒成立的是（

A．a⋅bcC．λa+b【答案】ABD【分析】根据数量积的运算律判断A、B，根据向量数乘的运算律判断C，利用反例说明D.【详解】对于A：a⋅b=a⋅a⋅c=a⋅对于B：a+b⋅对于C：根据向量数乘的分配律知λa对于D：若a与b不共线时，不存在λ使得b=λ且当a=0，b≠0时a与b共线，但是也不存在故选：ABD平行六面体ABCD−A1B1C1D1的各棱长均为1，3 B．2+2 C．2 D．【答案】D【分析】分析得出AC1=【详解】由已知可得AB⋅AA1=所以AC12故选：D．如图，在四面体ABCD中，∠BAC=60°，∠BAD=∠CAD=45°，AD=2，AB=AC=3.则BC⋅BD=（

A．32 B．52 C．92 【答案】C【分析】根据图形，转化向量，利用向量数量积公式，即可求解.【详解】BC==3×2×如图，60°的二面角α−AB−β的棱上有A、B两点，射线AC、BD分别在两个半平面内，且都垂直于棱AB．若AB=1，AC=1，BD=2．则CD

【答案】2【分析】由CD=CA+【详解】∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴CA⋅AB=0，∵CD=CA+AB=12+1如图，各棱长都为2的四面体ABCD中CE=ED，AF=2FD，则向量BE⋅CF=A．−13 B．13 C．−12 【答案】A【分析】由向量的运算可得BE=12【详解】由题得BA,BC夹角，BD,BC夹角，∵CE=ED∴CF∴=故选：A.如图，三棱锥A−BCD的各棱长都是a，点E､F､G分别是AB､AD､CD的中点，则a2等于（

A．2BA⋅AC B．2AD⋅BD【答案】B【分析】根据向量的数量积运算逐个分析判断即可【详解】由题意，三棱锥A−BCD为正四面体，∵点E､F､G分别是AB､AD､CD的中点，∴EF⊥FG，且EF=FG=1对于A，2BA⋅AC对于C，2FG⋅CA∴a2等于正四面体P﹣ABC的棱长为2，点D是△PAB的重心，则PD⋅A．12 B．−12 C．2【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算和数量积的定义计算即可.【详解】因为点D是△PAB的重心,∴正四面体P﹣ABC的棱长为2∴PD提升篇提升篇（多选）下列四个结论正确的是（

）A．若空间中的O，A，B，C满足OC=13OA+23B．空间中三个向量a，b，c，若a//b，则a，b，C．空间中任意向量a，b，c，都满足aD．若a⋅b<0【答案】AB【分析】根据共线向量定理可判断A，根据共面向量的概念可判断B，根据向量数量积及向量数乘的概念可判断C，根据向量数量积的定义可判断D.【详解】对于A，因为OC=13OA+所以AC//CB，所以A，B，对于B，空间中三个向量a，b，c，若a,b共线，则a，b，对于C，(a⋅b)⋅c是与c而a与c方向不确定，故无法确定(a⋅b对于D，当非零向量a,b方向相反时，a⋅故选：AB.三个平面两两垂直，它们交于一点O，空间一点P到三个面的距离分别为2,3和25，则【答案】5【分析】利用向量表达出OP=OA+OB+【详解】构造以OP为对角线的长方体，则OP=OA+OB+故OP2=OA故答案为：5如图所示，空间四边形ABCD每条边和对角线长都为a，点E，F分别是AB，AD的中点，则EF

【答案】−【分析】确定向量EF,【详解】由题意知△BCD为正三角形，则∠DBC=60因为点E，F分别是AB,AD的中点，所以EF∥而BD，BC的夹角为60∘，所以EF，BC的夹角为60∘，则EF，CB的夹角为所以EF⋅CB如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E为棱【答案】2【分析】设B1E=λB1C1(0≤λ≤1)，利用向量数量积的定义及运算法则可得【详解】由已知E为棱B1C1因为AE=所以AE=1×2所以向量AE在向量AC方向上投影数量为1+λ2又0≤λ≤1，∴1≤1+λ≤2，∴2所以向量AE在向量AC方向上投影的数量的取值范围为2故答案为：2正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），M,N分别为棱AD,AC的中点，则FM⋅BN

【答案】52/【分析】根据题意得到BN=12【详解】由题意，可得BN=AN−又由正八面体ABCDEF的棱长都是2，且各个面都是等边三角形，在△ABD中，由AB=AD=2,BD=22，可得AB2所以FM⋅=−=−1故答案为：52如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E,G分别是AB,CD的中点．设AB=a,

【答案】证明见解析【分析】先EG将用−12a【详解】证明：因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，所以△ABC,△ABD都为等边三角形，所以∠BAC=∠BAD=πEG=AB=−故EG⊥AB.在三棱锥P−ABC中，BC⊥平面PAB，平面PAC⊥平面ABC.(1)证明：PA⊥平面ABC；(2)若PA=22AB=22BC,D为PC中点，求向量【答案】(1)证明见解析；(2)2【分析】（1）由线面垂直和面面垂直的性质定理和判定定理证明即可；由BD=12BA+【详解】（1）证明：过点B作BO⊥AC于点O，

∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC,BO⊂平面ABC，∴BO⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC,∴BO⊥PA.∵BC⊥平面PAB,PA⊂平面PAB,∴BC⊥PA.∴BC∩BO=B,BC,BO⊂平面ABC,∴PA⊥平面ABC.（2）由（1）知BC⊥PA,BC⊥AB,PA⊥AB，设AB=1，则PA=22∵D为PC中点，∴BDBD∴AP∴cosAP∴AP与BD夹角的余弦值为2如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1DA．AB．AC．向量B1C与AD．向量BD1与AC【答案】CD【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果.【详解】∵在平行六面体ABCD−A1B1C∴A对于A，A=36+36+36+3×2×18=216，∴A对于B，A=AA1⋅AB对于C，连接A1D，由题意可知△AA∵B1C=A1D，且向量A1D与AA1对于D，∵BD∴=ADBD∴cos故选：CD（多选）已知空间单位向量PA，PB，PC两两夹角均为60∘，PA=2PE，BCA．P、A、B、C四点可以共面B．PAC．EF=22【答案】BC【分析】根据向量共面即可判断点共面，进而可判断A，根据数量积的运算律即可求解B，根据模长的计算公式即可判断C，根据夹角公式即可