第1章 集合与常用逻辑用语-综合检测1（基础卷）（解析版）

第1章集合与常用逻辑用语本卷满分150分，考试时间120分钟。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列各组集合表示同一集合的是A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根据集合相等的定义判断．【解析】A中两个集合中元素都是4和5，A是同一集合；B中集合是点集，是数集，不是同一集合；C中，由于，因此不是同一个集合；D中，是数集，是点集，不是同一集合．故选A．2．已知集合，则M的非空子集的个数是A．7 B．8C．15 D．16【答案】C【分析】解分式不等式求集合M，并确定元素个数，根据元素个数与集合子集的数量关系求M的非空子集的个数．【解析】由题设，，即，可得，所以共有4个元素，故M的非空子集的个数．故选C3．“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】进行正向和逆向推理即可得到答案．【解析】由显然可以推出，若，显然满足，但不满足．即“”是“”的充分不必要条件．故选A．4．设集合，集合，则等于A． B．C． D．【答案】C【分析】根据并集的定义即可求出．【解析】，，．故选C．5．已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是A．是的必要不充分条件 B．是的充要条件C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件【答案】B【分析】根据充分条件与必要条件的定义进行判断即可．【解析】依题意是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，，所以是的充要条件，A、C错误；是的充分不必要条件，D错误；是的充要条件，B正确．故选B6．以下四个命题中既是存在量词命题又是真命题的是A．三角形的内角和均为180° B．至少有一个实数，使C．两个无理数的和一定是无理数 D．存在一个负数，使【答案】B【分析】依次检验各个选项是否为存在量词命题和真命题即可【解析】选项A，是全称量词命题且是真命题，故A错误；选项B，是存在量词命题且是真命题，当时，有，故B正确；选项C，是全称量词命题且是假命题，比如都是无理数，但为有理数，故C错误；选项D，是存在量词命题且是假命题，因为若，必有，故D错误，故选B7．已知命题p：，使成立，则p的否定是A．，使不成立 B．，使不成立C．，使不成立 D．，使不成立【答案】C【分析】由特称命题的否定形式，判断即得解【解析】由特称命题的否定形式可得“，使成立”的否定为“，使不成立”故选C8．已知，命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是A． B．C． D．【答案】B【分析】由命题“，”是真命题，求得，结合选项，即可得到命题是真命题的一个必要不充分条件，得到答案．【解析】由命题“，”是真命题，可转换为不等式在恒成立，因为，所以，结合选项，命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是．故选B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知，则下面命题不正确的是A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件【答案】ABC【分析】利用来判断AB；利用来判断CD．【解析】对于A，，故“”是“”的充分条件为假命题；对于B，，故“”是“”的必要条件为假命题；对于C，当时，，故“”是“”的充分条件为假命题；对于D，，故“”是“”的必要条件为真命题．故选ABC10．下列表述中正确的是A．若，则 B．若，则C． D．【答案】ABD【分析】根据集合运算的性质，依次判断即可【解析】选项A：，正确．选项B：，则集合中的元素都在集合中，故，正确．选项C：若，则，错误．选项D：集合运算的德摩根律，即两个集合交集的补集等于它们补集的并集，正确．故选ABD11．下列各组中的两个集合相等的是A．B．C．D．【答案】BD【分析】根据集合相等的概念对选项逐个分析判断即可．【解析】对于A，因为P中含有1，而Q中没有，故错误；对于B，因为，所以，正确；对于C，，显然，故C错误；对于D，因为故，故D正确．故选BD．12．已知关于x的方程，下列结论正确的是A．方程有实数根的充要条件是或B．方程有两正实数根的充要条件是C．方程无实数根的必要条件是D．当时，方程的两实数根之和为0【答案】BC【分析】对A：由即可判断；对B：由即可判断；对C：由即可判断；对D：当时，即可判断．【解析】对A：若有实数根，则，解得或，故A错误；对B：由题意，，解得，故B正确；对C：若方程无实数根，则，解得，该条件的一个必要条件是，故C正确；对D：当时，方程无实数根，故D错误；故选BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．下列对象能组成集合的是___________．①桃浦中学一部分学生②倒数等于自身的实数③超过100页的书④世界知名艺术家⑤方程的全体解【答案】②③⑤．【分析】根据集合元素的三要素，确定性、互异性和无序性可判断．【解析】①桃浦中学一部分学生不符合确定性，不能构成集合；②倒数等于自身的实数有和1，可构成集合；③超过100页的书符合集合元素的特征，可以构成集合；④世界知名艺术家，“知名”没有确定性，不能构成集合；⑤方程无解，可构成空集．因此，能构成集合的为②③⑤．故答案为②③⑤．14．已知集合，，若，则实数m的取值范围为___________．【答案】【分析】由可得，再由集合间的包含关系求解即可．【解析】，，即，故．故答案为．15．若“，”的否定是假命题，则实数的取值范围是___________．【答案】【分析】由题意，“，”是真命题，转化为，分析即得解【解析】由题意，“，”的否定是假命题，即“，”是真命题故，对恒成立，又，，则实数的取值范围是，故答案为16．集合，则“或”是“”的___________条件．（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）．【答案】必要不充分【分析】结合集合的关系与充分条件与必要条件的定义进行判断即可．【解析】由题得，当或时，即，即当时，不一定成立；当时，一定成立．所以“或”是“”的必要不充分条件．故答案为必要不充分四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）集合，，若中仅有一个元素，求实数的值．【答案】实数的取值集合为．【分析】联立可得，故方程只有唯一解，分、讨论即得解【解析】联立方程组得．因为中仅有一个元素，故方程只有唯一解所以可以分两种情况考虑：（1）当时，方程有两个相等的实数根，即，从而可得，解得；（2）当时，方程只有一个根，符合题意．综上所述，实数的取值集合为．18．（12分）已知集合，，证明：的充要条件为．【答案】证明见解析【分析】根据集合的交集，分析可得，且或，且，解出m根据集合中元素的互异性检验可得，反之可求出．【解析】证明：若，，，所以，且，解得或；或，且（无解，舍去）经检验，时，，不满足集合中元素的互异性，不合题意舍去，则，所以是的必要条件；若，，，所以，所以是的充分条件，综上得的充要条件为．19．（12分）已知集合，．若的充分非必要条件为，求实数的取值范围．【答案】或．【分析】解绝对值不等式确定集合，然后由充分非必要条件的定义得集合包含关系，然后可求解．【解析】由已知，的充分非必要条件为，则是的真子集．当即时，满足题意，当时，由题意，等号不同时取得，解得，综上的取值范围是或．20．（12分）已知集合（1）若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围；（2）若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围．【答案】（1）且（2）或【分析】（1）中有两个元素等价于方程有两个不相等的实数根；（2）集合A最多有两个子集即中至多有一个元素，等价于方程无解或只有一解．【解析】（1）由于中有两个元素，所以关于的方程有两个不等的实数根，所以，且，即，且．故实数的取值范围是且．（2）集合A最多有两个子集即中至多有一个元素，即方程无解或只有一解，当时，方程为，，集合；当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，此时，若关于的方程没有实数根，则中没有元素，此时．综上可知，实数的取值范围是或．21．（12分）已知集合．（1）若，，求；（2）若，求出a，b的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由题设得，利用集合的补、交运算求即可．（2）根据集合相等得，求解即可．【解析】（1）由题设，，而或，