《等比数列（第1课时）》教学设计

1/22.4.1等比数列第一课时（马浚）一、教学目标1.核心素养通过学习等比数列提高从数学角度发现和提出、分析和解决问题的能力,锻炼数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标（1）由特殊到一般,理解并会判断等比数列.（2）掌握等比数列通项公式及证明.（3）应用等比数列知识解决相应问题.3.学习重点（1）等比数列定义及判断.（2）通项公式的推导.4.学习难点会用等比数列解决相应问题.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材,思考:什么是等比数列?任务2观察等比数列,总结等比数列的规律,前后两项的比值可以是任意实数吗?任务3结合之前的探索,能写出其通项公式吗?等比数列何时递增,递减,或者变成等差数列?2．预习自测1．数列4,16,64,256…是什么数列?第五项是多少?答案:等比数列；1024.【知识点:等比数列】【解析】等比数列的通项公式是:2．在等比数列中,则＝________．【知识点:等比数列通项公式】【解析】等比数列的通项公式是:,由题意求出n和q3．已知x,y,z∈R,若－1,x,y,z,－3成等比数列,则xyz的值为（）A．－3B．±3C．－3eq\r(3)D．±3eq\r(3)答案:C【解析】∵-1,x,y,z,-3成等比数列,∴=xz=（-1）×（-3）=3,且＞0,即y＜0,∴y=-,xz=3,则xyz=-3．答案:充分不必要条件.【知识点:等比数列通项公式,充要条件的判断；数学思想:推理论证能力】【解析】充分不必要条件.由q>1,得,又得即>反之不然.取=,可得>,但=（二）课堂设计1．知识回顾（1）等差数列概念.（2）等差数列通项公式及推导.2．问题探究问题探究一借助等差数列的定义,类比得到等比数列定义●活动一回顾旧知,夯实基础.之前我们学习了等差数列,我们是怎样定义并且判断等差数列?如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示．数学语言表达式:(n∈N*,d为常数),或(为常数)．●活动二探索规律,发现新知.类比于等差数列,观察以下几个数列2,4,8,16,32…；1,1,1,1,1…；1,-1,1,-1,1,-1…；1,0,1,0,1,0,…；3,9,27,81,243,…；它们都有着怎样的规律●活动二新旧整合,得出结论.结合活动一与活动二,能给出等比数列定义吗?如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非0常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达式:(q为非0常数),或(n∈N*,q为非0常数)．问题探究二类比等差数列通项公式及性质,结合等比数列定义得到等比数列通项公式和性质,并证明重点、难点知识★▲●活动一温故知新,迎难而上.回忆等差数列,写出通项公式.通项公式:．推广:(m,n∈N*)．●活动二类比旧知得出新知.在等比数列中,是否只需确定某些量就可以写出通项公式?只需确定首项与公比即可得到通项公式.推广:,公比为非0常数.●活动三思维谨慎,扎实前进.能否给出通项公式证明?借助定义,eq\f(an,an－1)＝q(n≥2,q为非0常数),列出n-1个式子,累乘后得到通项公式.●活动四夯实基础,勇于探索.等差数列中,公差大于0时,数列递增；反之递减.等比数列也有相似结论吗?请归纳总结.首相大于0,公比大于1时递增;公比大于0小于1时递减；首项小于0时,公比大于0小于1时递增,公比大于1时递减；首项不等于0,公比等于1时,既是等差又是等比；公比小于0时,为摆动数列.问题探究三等比数列相关问题及相应解决思路重点、难点知识★▲●活动一初步运用基础知识的掌握例1.在等比数列中,,则n＝________．【知识点:等比数列通项公式】答案:6例2.在等比数列中,<0,若对正整数n都有,那么公比q的取值范围是?【知识点:等比数列通项公式】答案:由得●活动二能力提升通项公式性质的运用例1.数列是等差数列,若构成公比为q的等比数列,则q＝________.【知识点:等比数列性质】答案:1.例2.在正项等比数列中,,,则＝（）A.eq\f(5,6)B.eq\f(6,5)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,2)【知识点:等比数列性质】答案:D3．课堂总结【知识梳理】（1）等比数列定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非0常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达式:(n≥2,q为非0常数),或(n∈N*,q为非0常数)．（2）等比数列通项公式:；通项公式的推广:.【重难点突破】（1）等比数列通项公式运用时为了减少计算量可以尝试使用其推广式.（2）公比这是必然的,不存在公比为0的等比数列,还可以理解为等比数列中,不存在数值为0的项,各项不为0的常数列既是等差数列又是等比数列；至于等比数列的增减,则可以从首项与公比的正负及范围,通过列不等式进行确定.（3）等比数列的定义中有“从第二项起”“同一个常数”的描述应与等差数列中的描述理解一致.（4）等比数列的通项公式可以用迭代法累乘法推导,其中累乘法与累加法相似,可做一做比较,便于掌握.4．随堂检测一、选择题1.在等比数列中,,则公比为（）A．2B．3C．4D．8答案:A.解析：【知识点:等比数列的通项公式】二、解答题1.求下列各等比数列的通项公式:（1）,.（2）,且.（3）,且.答案:（1）.（2）.（3）.解析：【知识点:等比数列通项公式】2.求以下等比数列的第4项与第5项:（1）5,－15,45,…….（2）1.2,2.4,4.8,…….（3）.答案:（1）,.（2）,.（3）=,=.解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】3.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.答案:这四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】设四个数依次为x,y,12-y,16-x．依题意,有x+(12−y)=2y①②由①式得x=3y-12③将③式代入②式得y（16-3y+12）=（12-y）2,整理得y2-13y+36=0,解得,代入③式得.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.5.(1)已知是等比数列,且,求.(2),三数成等差数列,成等比数列,求.答案:(1)＋.(2).解析：【知识点:等差数列的性质,等比数列】(1)∵是等比数列,∴.又,∴.(2)∵a,1,c成等差数列,∴a+c=2.又成等比数列,∴,有ac=1或ac=-1,当ac=1时,由a+c=2,得a=1,c=1,与a≠c矛盾.∴ac=-1,∴（三）课后作业 基础型自主突破一、填空题1.已知等比数列的公比为正数,且则=.答案:.解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】设等比数列的公比为q,∵,且q>0,,所以,所以q=,又∵,∴2.设数列是首项为1,公比为-3的等比数列=______．答案:121.解析：【知识点:等比数列】∵数列是首项为1,公比为-3的等比数列,∴,

∴∴则．3.等比数列的公比为______．答案:16.解析：【知识点:等比数列的通项公式】等比数列的通项公式是：4.若1、a、b、c、9成等比数列,则b=______．答案:3.解析：【知识点:等比数列】利用等比数列通用公式求出相应的值,5.公比为2的等比数列的各项都是正数,且,则=______．答案:5.解析：【知识点:等比数列通项公式,对数的运算性质】∵公比为2的等比数列的各项都是正数,且,∴=4,∴•26=4,解得=,∴,∴.

故答案为：5．能力型师生共研一、选择题1.在数列中,则________.A.B.C.D.答案:B解析:【知识点:等比关系的确定;数学思想:推理论证能力】二、填空题1.设为公比的等比数列,若和是方程的两根,则_________.答案:-18解析:【知识点:等比数列,根与系数的关系】根据为公比q＞1的等比数列,和是方程4x2+8x+3=0的两根,可得=,=,从而可确定公比q=3,进而可得+=-18．三、证明题1.已知:是与的等比中项,且同号,求证:也成等比数列答案:见解析解析:【知识点:等比数列】由题设:得:∴也成等比数列.探究型多维突破一、选择题1.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为,则的取值范围是（）A．B．C．D．答案:D.解析:【知识点:等比关系的确定,解三角形;数学思想:推理论证能力】设三边:a、qa、、q＞0则由三边关系:两短边和大于第三边a+b＞c,即

（1）当q≥1时a+qa＞,等价于解二次不等式:＜0,由于方程=0两根为:和,故得解:0＜q＜且q≥1,即1≤q＜

（2）当q＜1时,a为最大边,qa+＞a即得＞0,解之得q＞或q＜且q＞0即q＞综合（1）（2）,得:q∈故选D．二、证明题1.设均为非零实数,,求证:成等比数列且公比为答案:见解析解析:【知识点:等比关系的确定;数学思想:推理论证能力,运算求解能力,创新意识,应用意识】证明:证一:关于的二次方程有实根,∴,∴则必有:,即,∴成等比数列设公比为,则,代入∵,即,即证二:∵∴∴,∴,且∵非零,∴自助餐一、选择题等比数列中,和是方程的两根,则=（）答案:C.解析:【知识点:等比数列,根与系数的关系】等比数列中,和是方程的两根,,可得,和都是负数,可得=-．故选:C．2.已知等比数列的公比为正数,且则=（）

A.0.5B.2答案:C.解析:【知识点:等比数列】设公比为q,由已知得,即q2=2,又因为等比数列的公比为正数,所以q=,故a1=,故选C.等比数列的首项为1,项数是偶数,所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170,则=（）答案:C.解析:【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】设等比数列的项数为2n,∵所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170,∴S奇:S偶=1:2．∵S奇=,S偶==qS奇由题意可得,q=2,∴．故选:C．在等比数列中,,则n=（）

答案:B.解析:【知识点:等比数列的通项公式】,求得n=8等比数列中,,则数列的前10项和等于（）答案:B.解析:【知识点:等比数列的通项公式,对数的运算性质】由题意得,等比数列中,,所以,由等比数列的性质得,,所以数列的前10项和,故选:B．6.数列的首项1,数列为等比数列且,若,则（）A.20B.512C.1013D.1024答案.D.解析:【知识点:等比数列的通项公式】由可知,所以,又数列为等比数列,所以,于是有,即,又,所以,故答案选D.二、填空题1．已知数列为等比数列,且=4,=64,则=____________．答案:16.解析:【知识点:等比数列的通项公式】,由已知条件求出通项公式,所以.2．数列中,（c是常数,n=1,2,3,…）,且成公比不为1的等比数列．则c的值是______．答案:2.解析:【知识点:等比数列】∵,∴又∵成公比不为1的等比数列,∴,即c2-2c=0解得c=2,或c=0,故答案为23.若公比不为1的等比数列满足,等差数列满足,则的值为______．答案:26.解析:【知识点:等比数列通项公式,等差数列前n项和】∵公比不为1的等比数列{an}满足,∴,解得,由等差数列的性质可得,故答案为:26三、解答题1.在等比数列中,,求和q．答案:见解析解析:【知识点:等比数列通项公式】2.设是一个公差为d（d≠0）的等差数列,它的前10项和且成等比数列,求数列的通项公式．

答案:=2n.解析:【知识点:等差数列前n项和,等比数列】∵成等比数列,∴又∵{an}是等差数列,∴,∴,即,化简可得,∵,