《简单的线性规划（第2课时）》教学设计

1/13.3.2简单的线性规划问题(第2课时)(名师：陈庚生)【核心素养】通过学习简单的线性规划问题，提升学生的数学抽象、数学建模与数据处理的能力．【学习目标】理解线性规划问题中的某些几何意义，进而解决相应的非线性问题及含参问题．【学习重点】简单的二元线性规划问题．【学习难点】准确而快速的得到线性规划可行域，并进行最优解的求解．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1思考：非线性目标函数如何求解？含参问题如何解决？2．预习自测1.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()A．(－∞，5)B．[7，＋∞)C．[5,7)D．(－∞，5)∪[7，＋∞)【知识点：简单的线性规划；数学思想;数形结合】解：C画出可行域，知当直线y＝a在x－y＋5＝0与y轴的交点(0,5)和x－y＋5＝0与x＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形．故5≤a<7.2.已知变量满足约束条件若目标函数的最大值为1，则.【知识点：简单的线性规划；数学思想；数形结合】解：33.已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()A．B．C．1D．2【知识点：简单的线性规划；数学思想;数形结合】解：A根据约束条件画出可行域，如图，由图可知当直线z＝2x＋y经过点B时，z最小，由解得所以zmin＝2×1－2a＝1，解得a＝.故选A.（二）课堂设计1．知识回顾图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．2．课堂讲解一、直线的斜率型例1.已知实数x、y满足不等式组,求函数的值域.【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：所给的不等式组表示圆的右半圆(含边界)，-2-22Oxy（-1，-3）-2可理解为过定点，斜率为的直线族．则问题的几何意义为：求过半圆域上任一点与点的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点和点的直线斜率最大，．过点所作半圆的切线的斜率最小．设切点为，则过B点的切线方程为．又B在半圆周上，P在切线上，则有解得因此.综上可知函数的值域为.练习1：设实数满足，则的最大值是__________.【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：画出不等式组所确定的三角形区域ABC（如图2），表示两点确定的直线的斜率，求z的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．由图2可以看出直线OP的斜率最大，故P为与的交点，即A点．∴．故答案为．注：解决本题的关键是理解目标函数的几何意义，当然本题也可设，则，即为求的斜率的最大值．由图可知，过点A时，t最大．代入，求出，即得到的最大值是．练习2：若实数x，y满足则不等式组表示区域的面积为________，的取值范围是________．【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：如图所示，不等式组表示区域面积为×1×3＝，理解为区域上的点P(x，y)与点Q(1，－2)连线所在直线斜率的变化范围，kAQ＝＝1，kOQ＝＝－2，结合图形分析知的取值范围为(－∞，－2]∪[1，＋∞)．二、平面内两点间的距离型（或距离的平方型）例2.已知实数x、y满足，则的最值为________.【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：目标函数，其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方.由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示：可行域为图中内部（包括边界），易求B（-2，-1），结合图形知，点(2,2)到点B的距离为其到可行域内点的最大值，；点(2,2)到直线x+y-1=0的距离为其到可行域内点的最小值，.例3.已知实数x、y满足的最小值.【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：目标函数，其含义是点(-2,1)与可行域内的点的最小距离的平方减5.由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示（直线右上方）：点(-2,1)到可行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1的距离，由点到直线的距离公式可求得，故练习3.已知，求的最小值．【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：作出可行域如图3，并求出顶点的坐标A（1，3）、B（3，1）、C（7，9）．而表示可行域内任一点（x，y）到定点M（0，5）的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足Ｎ在线段上，故z的最小值是．注：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离（或平方）、点到直线的距离等．三．变换问题研究目标函数（含参问题）例4.已知，且的最大值是最小值的3倍，则a等于（）A．或3B．C．或2D．【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：求解有关线性规划的最大值和最小值问题，准确画图找到可行域是关键.如图所示，点和B点分别取得最小值和最大值.由，由得B(1，1).∴.由题意得故答案B.四．求代数式范围问题例5.已知函数f(x)＝ax2－c满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：这是一类流传很广的题目，其常见的错误解法是由f(1)、f(2)的范围，去求a，c的范围，连续多次运用同向不等式相加这一性质，导致范围扩大．实际上，可以看做关于a、c的线性规划问题．由－4≤f(1)≤－1，得－4≤a－c≤－1.问题转化为在约束条件(－4≤a－c≤－1，－1≤4a－c≤5)下目标函数z＝9a－c的最优解，由图可知，在A，解方程组及得A(0,1)，C(3,7)．∴zmax＝9×3－7＝20，zmin＝9×0－1＝－1.∴－1≤f(3)≤20.依题设条件，将问题视作典范的线性规划问题，数形结合，简化了解题过程．练习3:已知求z＝4x＋y的最值．【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】方法一：仿例5.方法二：∵4x＋y＝(x－y)＋(x＋y)，又1≤x－y≤2,2≤x＋y≤4，∴≤(x－y)＋(x＋y)≤13，即z∈[，13]．所以z的最大值为13，最小值为.3．课堂总结【知识梳理】1．求解目标函数不是直线形式的最值的思维程序是：2．常见代数式的几何意义主要有以下几点：(1)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；表示点(x，y)与点(a，b)的距离．(2)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．4．随堂检测1.已知不等式组，则目标函数z=2y﹣x的最大值是（）A．1B．﹣1C．﹣5D．4【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：A2.若满足约束条件，QUOTEx-1≫0,x-y≤0,x+y-4≤0,则QUOTExy的最大值为（）A．1B．C．3D．4【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：C3.若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为()A．2B．－2C．D．－【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：D4.实数满足，若恒成立，则实数的取值范围是.A．B．C．D．【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：A5.已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()A．B．C．1D．2【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：A根据约束条件画出可行域，如图，由图可知当直线z＝2x＋y经过点B时，z最小，由解得所以zmin＝2×1－2a＝1，解得a＝.故选A.（三）课后作业基础型自主突破1.已知变量x,y满足约束条件则的取值范围是()A．B．C．D．(3,6]【知识点：简单的线性规划，直线的斜率；数学思想：数形结合】解：A提示：可理解为可行域中一点到原点的直线的斜率2.已知满足，的最大值为，若正数满足，则的最小值为（）A.3B.C.2D.【知识点：简单的线性规划，基本不等式；数学思想：数形结合】解：B3.若实数满足约束条件，则目标函数的最大值为.【知识点：简单的线性规划，直线的斜率；数学思想：数形结合】解：4.已知变量满足约束条件若目标函数的最大值为1，则.【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：35.已知当取何值时，取得最大值是，最小值是.【知识点：简单的线性规划，两点间距离公式；数学思想：数形结合】解：当x=2,y=3时，最大值为13；当x=45,y=25时，提示：可表示可行域内的点到原点距离的平方6.已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【知识点：简单的线性规划，向量的数量积；数学思想：数形结合】解：B提示：=-2x+y.能力型师生共研7．实数满足，若恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：A8.在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是（）A．B．C．D．【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：D9.设满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围为()A．B．C．D．【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：B探究型多维突破11．已知点在由不等式确定的平面区域内，则点所在的平面区域面积是.【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：412.定义，设实数，满足约束条件，则的取值范围是（）A.B.C.D.【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合，函数思想】解：B由条件，当4x＋3y≥3x－y，即x＋2y≥0时，问题等价于在下求目标函数z＝4x＋y的值域，可得z∈[－7，10]，同理当x＋2y＜0时，z∈(－7，8]，综上，z∈[－7，10]．自助餐1.已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()A．B．C．1D．2【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：B由题意作出所表示的区域如图阴影部分所示，作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得a＝，所以a＝.2.若实数x，y满足不等式组且x＋y的最大值为9，则实数m＝()A．－2B．－1C．1D．2【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：C如图，设x＋y＝9，显然只有在x＋y＝9与直线2x－y－3＝0的交点处满足要求，解得此时x＝4，y＝5，即点(4,5)在直线x－my＋1＝0上，代入得m＝1.3.若实数x、y满足则的取值范围是()A．(0,1)B．(0,1]C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)【知识点：简单的线性规划，直线的斜率；数学思想：数形结合】解：C在平面内作出x、y满足的可行域，设P(x，y)为可行域内任一点，则直线PO的斜率kPO＝，由数形结合得，kPO>1，故的取值范围是(1，＋∞).4.已知x、y满足则的最值是()A．最大值是2，最小值是1B．最大值是1，最小值是0C．最大值是2，最小值是0D．有最大值无最小值【知识点：简单的线性规划，直线的斜率；数学思想：数形结合】解：C5．若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是A.B.C.D.【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：A6.实数x，y满足若目标函数z＝x＋y取得最大值4，则实数a的值为()A．4B．3C．2D．【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：C作出可行域，由题意可知可行域为△ABC内部及边界，y＝－x＋z，则z的几何意义为直线在y轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A时，目标函数取得最大值4，此时A点坐标为(a，a)，代入得4＝a＋a＝2a，所以a7.设变量x，y满足若直线kx－y＋2＝0经过该可行域，则k的最大值为_______．【知识点：简单的线性规划；