《简单的线性规划（第3课时）》教学设计

1/13.3.2简单的线性规划问题(第3课时)(名师：陈庚生)【核心素养】通过学习简单的线性规划问题，提升学生的数学抽象、数学建模与数据处理的能力．【学习目标】能够从实际问题中抽象出线性规划模型，并加以解决．【学习重点】从实际问题中抽象出相应模型．【学习难点】实际问题中抽象出相应模型，并准确写出线性目标函数和完整的约束条件．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材思考：什么是目标函数，线性规划的最优解在实际问题中的特殊性2．预习自测1.有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为()A．z＝6x＋4yB．z＝5x＋4yC．z＝x＋yD．z＝4x＋5y【知识点：简单的线性规划；】解：A设需x辆6吨汽车，y辆4吨汽车，则运输货物的吨数为z＝6x＋4y，即目标函数z＝6x＋4y.2.某电视台每周播放甲、乙两部连续剧，播放连续剧甲一次需80分钟，有60万观众收看，播放连续剧乙一次需40分钟，有20万观众收看．已知电视台每周至少播出电视剧6次，总时间不超过320分钟，则电视台最高收视率为每周观众有()A．300万人B．200万人C．210万人D．220万人【知识点：简单的线性规划；数学思想：建模】解：B3.某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元甲乙原料限额（吨）（吨）【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合，建模】解：D（二）课堂设计1．例题讲解例1、某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1kg要用煤9吨，电力4kw，劳力（按工作日计算）3个；制造乙产品1kg要用煤4吨，电力5kw，劳力10个.又知制成甲产品1kg可获利7万元，制成乙产品1kg可获利12万元.现在此工厂只有煤360吨，电力200kw，劳力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克，才能获得最大经济效益？【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合，建模】思路导析：设未知量，建立目标函数，根据平面区域求最值.解：设此工厂应生产甲、乙产品kg,kg，利润万元，则依题意可得约束条件利润目标函数为作出不等式组所表示的平面区域，即可行域（如图），作直线，把直线向右上方平移至位置时，直线经过可行域上的点时，此时取得最大值.解方程组得点的坐标为.所以应生产甲20千克、乙产品24千克，才能获得最大经济效益.变式练习1、某糕点厂生产高档蛋糕和普通面包，生产高档蛋糕1千克分别需要面粉100克、糖200克、鸡蛋300克，生产普通面包分别需要面粉300克、糖200克、鸡蛋100克.现已在库存量面粉为15千克，糖12千克，鸡蛋15千克，若在此基础上进行生产，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合，建模】解析：设设高档蛋糕和普通面包应各生产千克和千克，则所满足的数学关系式为即分别画出不等式组中各不等式所表示的区域，然后取交集.如图所示的平面区域（阴影部分）就是不等组所表示的区域.例2、某人有楼房一幢，室内面积共计180，拟分割成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为13，可住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间才能获得最大收益？【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合，建模】思路导析：按线性规划问题的步骤.解：设隔出大房间间，小房间间，收益为元，则满足且作出可行域如图作出直线即，平行移动，当到达点时（记为），的纵截距最大，解得，但，所以不是最优解，于是将从向左下方平移，平移过程中，最早经过可行域的整点可能为，,它们对应的值一次为36,34,35,36,34,35,33,31,32分别与50的乘积.所以当经过和时，取得最大值，所以应隔出小房间12间，或大房间3间，小房间8间，可以获得最大利润.规律总结：最优解不一定都在边界上，如果要求的最优解是可行域中的整数解，且直观上不易确定最优解，那么在求得非整数解后，可以在其附近按可行域中的最优解应满足的必要条件对的取值一一列举.由边界直线方程分别求得对应的最大（或最新）整数值，再代入目标函数分别计算并比较大小，如能适当推理估计，则过程更简.变式练习2、经调查，某高校两个专业拟招收新生.已知专业招收100名新生需配备教师：教授1人，副教授4人；专业招收100名新生需配备教师：教授1人，副教授2人.专业新生每年的学费为6000元；专业新生每年的学费为5000元.这所高校为两个专业配备的教师确定为：教授不超过5人，副教授不超过16人.问两个专业每年从这两个专业的新生中招收多少名新生收缴的学费最多？【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合，建模】解：设专业招收新生人，专业招收新生人，每年收缴的学费为元，则，作出可行域如图，做直线，即，把直线向右上方平移至的位置时，直线经过可行域上的点，这时取得最大值，解方程组得点的坐标为（3,2）把代入元.例3、已知，,求的最大值和最小值.【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合，建模】思路导析：要求的最值，可令，则为斜率为-1的平行直线系在轴上的截距，将已知条件转化为不等式组，作出平面区域（可行域）.解：设，题设条件可转化为作出它们在平面直角坐标系内围成的区域如图所示，则为斜率为-1的平行直线系在轴上的截距.当直线往右平移时，随之增大，经过不等式组所表示的平面区域的点时，取最小值，即；当直线经过点时，取最大值，即.所以的最大值和最小值分别是18和4.规律总结：这类问题的解题思路是在直角坐标平面内，根据条件确定平面区域，并将最值问题转化为直线在坐标轴上的截距问题来解决.变式练习3、已知实数满足则的取值范围是.解析：依题意作出可行域如图，直接求出各直线交点，再求.例4.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品，且使所用钢板张数最少？【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合，建模】解：设变量，列出线性约束条件，画出可行域，可用不同的方法求整点最优解．设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张．可得且x、y都是整数．求目标函数z＝x＋y取最小值时的x、y.作可行域如图所示，平移直线z＝x＋y可知直线经过点(，)，此时x＋y＝，但与都不是整数，所以可行域内的点(，)不是最优解，如何求整点最优解呢？方法一：平移求解法首先在可行域内打网格，其次描出A(，)附近的所有整点，接着平移直线l：x＋y＝0，会发现当移至B(3,9)、C(4,8)时，即z的最小值为12.方法二：特值验证法由方法一知，目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的左下侧靠近边界的整点，依次满足条件的整点A0(0,15)，A1(1,13)，A2(2,11)，A3(3,9)，A4(4,8)，A5(5,8)，A6(6,7)，A7(7,7)，A8(8,7)，A9(9,6)，A10(10,6)，…，A27(27,0)．将这些点的坐标分别代入z＝x＋y，求出各个对应值，经验证可知，在整点A3(3,9)和A4(4,8)处z取得最小值，其解法的思路是找整点、验证算、选优解．方法三：调整优值法由非整点最优解(，)，z＝，∴z≥12.令x＋y＝12，y＝12－x代入约束条件整理得3≤x≤，∴x＝3和x＝4，这时最优整点为(3,9)和(4,8)．调整优值法的解法思路是先求非整点最优解，再借助不定方程的知识调整最优解，最后筛选出整点最优解．故本例有两种截法．第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法最少要截两种钢板共12张．3．课堂总结【知识梳理】解线性规划应用题的步骤：①审题(需要时可列表分析)；②设相关变元，列出目标函数和线性约束条件(不等式组)；③作图，确定可行域；④找最优解，求出目标函数的最值；⑤回答实际问题．4．随堂检测1.配置A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示(单位：kg)原料药剂甲乙A25B54药剂A、B至少各配一剂，且药剂A、B每剂售价分别为100元、200元，现有原料甲20kg，原料乙33kg，那么可以获得的最大销售额为()A．600元B．700元C．800元D．900元【知识点：简单的线性规划;数学思想：数形结合，建模】解：D2.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为()A．4650元B．4700元C．4900元D．5000元【知识点：简单的线性规划;数学思想：数形结合，建模】解：C3.某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元【知识点：简单的线性规划;数学思想：数形结合，建模】解：C设某公司生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，获利为z元，则x，y满足的线性约束条件为目标函数z＝300x＋400y.作出可行域，如图中四边形OABC的边界及其内部整点．作直线l0：3x＋4y＝0，平移直线l0经可行域内点B时，z取最大值，由得B(4,4)，满足题意，所以zmax＝4×300＋4×400＝2800.4.某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．【知识点：简单的线性规划;数学思想：数形结合，建模】解：23005.某验室至少需要某种化学药品10kg，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋3kg，价格为12元；另一种是每袋2kg，价格为10元．由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少为________元．【知识点：简单的线性规划;数学思想：数形结合，建模】解：44（三）课后作业基础型自主突破1.车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组有5名男工，3名女工，乙组有4名男工，5名女工，并且要求甲组种数不少于乙组，乙种组数不少于1组，则最多各能组成工作小组为()A．甲4组、乙2组B．甲2组、乙4组C．甲、乙各3组D．甲3组、乙2组【知识点：简单的线性规划;数学思想：数形结合，建模】解：D设甲、乙两种工作分别有x、y组，依题意有作出可行域可知(3,2)符合题意，即甲3组，乙2组．2.某学校用800元购买A、B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A、B两种用品应各买的件数为()A．2件，4件B．3件，3件C．4件，2件D．不确定【知识点：简单的线性规划;数学思想：数形结合，建模】解：B设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3,3)．3.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为()A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元【知识点：简单的线性规划;数学思想：数形结合，建模】解：B设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件目标函数z＝400x＋300y，画图可知，当平移直线400x＋300y＝0至经过点(4,2)时，z取最小值2200.4.某企业拟用集装箱托运甲、乙两种产品，甲种产品每件体积为5m3，重量为2吨，运出后，可获利润10万元；乙种产品每件体积为4m3，重量为5吨，运出后，可获利润20万元，集装箱的容积为24m3【知识点：简单的线性规划;数学思想：数形结合，建模】解：60万元设甲种产品装x件，乙种产品装y件(x，y∈N)，总利润为z万元，则且z＝10x＋20y.作出可行域，如图中的阴影部分所示．作直线l0：10x＋20y＝0，即x＋2y＝0.当l0向右上方平移时z的值变大，平移到经过直线5x＋4y＝24与2x＋5y＝13的交点(4,1)时，zmax＝10×4＋20×1＝60(万元)，即甲种产品装4件、乙种产品装1件时总利润最大，最大利润为60万元．5.铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：ab(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．【知识点：简单的线性规划;数学思想：数形结合，建模】解：15设购买铁矿石A、B分别为x，y万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，则目标函数z＝3x＋6y.由得记P(1,2)，画出可行域，如图所示，当目标函数z＝3x＋6y过点P(1,2)时，z取最小值，且最小值为zmin＝3×1＋6×2＝15.能力型师生共研6.某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180t支援物资的任务，该公司有8辆载重为6t的A型卡车和4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费用为A型卡车320元，B型卡车504元，请问该公司调配A型卡车________辆，B型卡车________辆时，公司所花的成本费用最低．【知识点：简单的线性规划;数学思想：数形结合，建模】解：5,2设每天调出A型卡车x辆，B型卡车y辆，公司所花的成本为z元，依题意有⇒目标函数z＝320x＋504y(其中x，y∈N)．上述不等式组所确定的平面区域如图所示．由图易知，直线z＝320x＋504y在可行域内经过的整数中，点(5,2)使z＝320x＋504y取得最小值，z最小值＝320×5＋504×2＝2608(元)．即调A型卡车5辆，B型卡车2辆时，公司所花的成本费用最低．7.某企业生产A、B两种产品，每生产一吨产品所需要的劳动力和煤、电如下表：产品品种劳动力(个)煤(吨)电(度)A产品394B产品1045已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200度，试问该企业生产A产品______吨、B产品______吨时，才能获得最大利润，最大利润为______.【知识点：简单的线性规划;数学思想：数形结合，建模】解：20,24,428设生产A、B两种产品各为x，y吨，利润为z万元．由题意得z＝7x＋12y.作出不等式组表示的平面区域(如图)．将目标函数z＝7x＋12y转化为直线l：y＝－x＋.这是一条斜率为－，在y轴上的截距为的直线，当z变化时，可以得到一族平行直线．直线与阴影部分的交点满足不等式组，且当截距最大时，目标函数取得最大值．由图可知，当直线l经过M点时，在y轴上的截距最大，此时z取最大值．由得即A(20,24)．故zmax＝20×7＋12×24＝428(万元)．8.某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为何值时，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？工人(名)资金(万元)甲420乙85【知识点：简单的线性规划;数学思想：数形结合，建模】解:(1)依题意得解得故甲产品为一等品的概率P甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P乙＝0.4.(2)依题意得x、y应满足的约束条件为且z＝0.65x＋0.4y.作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分，即可行域．作直线l0：0.65x＋0.4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，此时z取得最大值．解方程组得x＝2，y＝3.故M的坐标为(2,3)，所以z的最大值为zmax＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.所以，当x＝2，y＝3时，z取最大值为2.9.某工厂用两种不同的原料均可生产同一种产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90kg，若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100kg.如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过2000元，那么工厂每月最多可生产多少产品？【知识点：简单的线性规划;数学思想：数形结合，建模】解：将已知数据列成下表：每吨甲原料每吨乙原料费用限制成本(元)100015006000运费(元)5004002000产品(kg)90100设此工厂每月甲乙两种原料各用x(t)、y(t)，生产z(kg)产品，则即且z＝90x＋100y.作出以上不等式组表示的平面区域，即可行域．作直线l：90x＋100y＝0，即9x＋10y＝0.把l向右上方移动到位置l1时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z＝90x＋100y取得最大值．∴zmax＝90×＋100×＝440.因此工厂最多每天生产440kg产品．探究型多维突破10.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合，建模】解：方法一：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足即z在可行域的四个顶点A(9,0)，B(4,3)，C(2,5)，D(0,8)处的值分别是zA＝2.5×9＋4×0＝22.5，zB＝2.5×4十4×3＝22，zC＝2.5×2＋4×5＝25，zD＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，zB最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．方法二：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足即让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．自助餐1.某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆，若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，运完全部黄瓜的最低运费为（）A．12120元B．12480元C．11880D．12260元【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合，建模】解：B设租用大卡车x辆，农用车y辆，最低运费为z元．z=960x＋360y．线性约束条件是：作出可行域．作直线960x＋360y=0．即8x＋3y=0，向上平移至过点B(10，8)时，z=960x＋360y取到最小值．z最小=960×10＋360×8=12480.2.某人承揽一项业务，需做文字标牌2个，绘画标牌3个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用（）张，才能使总的用料面积最小．A．甲0张，乙1张B．甲1张，乙1张C．甲0张，乙2张D．甲1台，乙2台【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合，建模】解：B设用甲种规格原料x张，乙种规格原料y张，所用原料的总面积是zm2，目标函数z=3x＋2y，线性约束条件，作出可行域．作一组平等直线3x＋2y=t．A不是整点，A不是最优解．在可行域内的整点中，点B(1，1)使z取得最小值．z最小=3×1＋2×1=5.3.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合，建模】解：C设公司每天生产甲种产品X桶，乙种产品Y桶，公司共可获得利润为Z元/天，则由已知，得Z=300X+400Y且，画可行域如图所示，目标函数Z=300X+400Y可变形为Y=，这是随Z变化的一族平行直线解方程组即A（4,4）.4.某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润．A．甲3台，乙9台B．甲4台，乙7台C．甲4台，乙8台D．甲3台，乙7台【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合，建模】解：C设x，y分别为甲、乙两种柜的日产量，目标函数z=200x＋240y，线性约束条件：作出可行域．z最大=200×4＋240×8=2720.5.某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表

年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）A．50，0B．30，20C．20，30D．0，50【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合，建模】解：B设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩,总利润为z万元，则目标函数为.线性约束条件为

即作出不等式组表示的可行域,易求得点.平移直线，可知当直线经过点,即时,z取得最大值,且（万元）.故选B.6．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则x＝10x＋10y的最大值是________．【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：90先画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示．由解得但x∈N*，y∈N*，结合图知当x＝5，y＝4时，zmax＝90.7．某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产，已知工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材料A，B，C的数量和一周内可用资源数量如下表所示：原材料甲(吨)乙(吨)资源数量(吨)A1150B40160C25200如果甲产品每吨的利润为300元，乙产品每吨的利润为200元，那么应如何安排生产，工厂每周才可获得最大利润？【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合，建模】解：设工厂一周内安排生产甲产品x吨、乙产品y吨，所获周利润为z元．依据题意，得目标函数为z＝300x＋200y，约束条件为欲求目标函数z＝300x＋200y＝100(3x＋2y)的最大值，先画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则点A(40，0)，B(40，10)，C，D(0，40)．作直线3x＋2y＝0，当移动该直线过点B(40，10)时，3x＋2y取得最大值，则z＝300x＋200y取得最大值(也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得)．故zmax＝300×40＋200×10＝14000.所以工厂每周生产甲产品40吨，乙产品10吨时，才可获得最大周利润，为14000元．8.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.先库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料.若生产1车皮甲种肥料产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料产生的利润为5000元.那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮能产生最大的利润？【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合，建模】解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：再设分别生产甲、乙两种肥料各车皮产生的利润为.由得两直线的交点令，当直线L：经过点时，它在轴上的截距有最大值为6，此时故分别生产甲、乙两种肥料各2车皮时产生的利润最大为元.9.某家具厂有方木料90m3,五合板60m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m3、五合板1m2，出售一张书桌可获得利润80元，出售一个书橱可获得利润120元．如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使所得利润最大？【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合，建模】解：将已知数据列成下表:方木料（m3）五合板（m2）利润（元）书桌（个）0.1280书橱（个）0.21120限额90600①只生产书桌：因为90÷0.1=900，600÷2=300.所以，可产生书桌300张，用完五合板，此时获利润为80×300=24000（元）；②只生产书橱：因为90÷0.2=450，600÷1=600，所以，可产生450个书橱，用完方木料.此时获利润为120×450=54000（元）；600600400600300900xy(300,0),(0,600)300(900,0),(0,450)BACll1o图⑵③若既安排生产书桌，也安排生产书橱设安排生产书桌x张，安排生产书橱y个,可获利润z元，则，,作出可行域如图⑵，并作直线l:80x+120y=0,即2x+3y=0.将直线l向右平移，得到经过可行域的定点B且距原点最远的直线l1.解方程组得最优解此时，（元）.答：由上面①②③知：只安排生产书桌，可获利润24000元；只生产书橱，