甘肃省靖远县第二中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

高考模拟卷·数学（120分钟150分）考生须知：1．本卷侧重：高考评价体系之综合性．2．本卷怎么考：①考查同一层面、横向的交互融合的综合能力（题18）；②考查不同层面之间、纵向的融会贯通的综合能力（题11）．3．本卷典型情境题：题3、16．4．本卷测试范围：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则集合（）A． B． C． D．2．若抛物线（）的焦点到准线的距离为2，则该抛物线的焦点坐标为（）A． B． C． D．3．某餐饮店在网络平台推出一些团购活动后，每天团购券的核销量（单位：张），则200天中团购券的核销量在84到132张的天数大约是（若随机变量，则，，）（）A．191 B．137 C．159 D．1644．函数的图象在点处的切线方程为（）A． B． C． D．5．在等比数列中，，，则（）A．3 B．4 C． D．6．如图所示，是棱长为3的正方体，M，N分别是下底面的棱，的中点，P是上底面的棱上的一点，，过点P，M，N的平面交上底面于，点Q在上，则（）A． B． C． D．27．函数的图象大致为（）A． B．C． D．8．在平面直角坐标系中，设，是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的两支分别交于点A，B，若为正三角形，则该双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．对于二项式，下列说法正确的是（）A．展开式中的常数项为 B．展开式中的常数项为C．展开式中的有理项有3项 D．展开式中的有理项有4项10．若（），则（）A．z有可能为实数 B．z不可能为纯虚数C．的最小值为 D．若，则11．某校数学兴趣小组的成员在研究一组数字，已知该组数字均为正整数，总个数为M，其中最大的数字为E（），且在内的每一个整数均出现在该组数字中，该组数字满足如下规律：对该组数字中的任意正整数a（），数字a的个数是所有不小于a的数字的个数的10%．现在从这组数字中任取一个数字，记“数字为n”为事件，“数字不小于n”为事件，其中，则下列结论一定正确的是（）A． B．C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量，，且，则________．13．函数，若“”是“取得最大值”的充分条件，则________．14．已知，，则的最大值是________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（1）求函数的极值．（2）若关于x的方程有两个不同的解，求a的取值范围．16．（15分）2024年6月4日，“嫦娥六号”携带月球样品，自月球背面起飞，完成世界首次月球背面采样和起飞．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，现从该校高三学生中随机抽取100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图，这是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥六号”的部分）．性别关注度合计关注没关注男女合计附：0.1500.1000.0500.0100.0052.0722.7063.8416.6357.879，其中．（1）完成上面的列联表，并计算回答根据小概率值的独立性检验，分析“性别是否影响学生对‘嫦娥六号’的关注程度”；（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人，记被抽取的3名女生中对“嫦娥六号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．17．（15分）如图，在直三棱柱中，D是的中点，，．（1）证明：平面．（2）若，，求平面与平面的夹角的余弦值．18．（17分）已知椭圆的离心率为，P是直线上的一动点，点Q在椭圆C上．（1）求n的值．（2）若的最小值小于，且直线，的斜率之积为，O为坐标原点，请问平面内是否存在定点T，满足恒成立？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．19．（17分）在平面直角坐标系中，利用公式，其中a，b，c，d为常数①，将点的坐标变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a，b，c，d组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A，B，…表示．（1）在平面直角坐标系中，将点绕原点O按逆时针方向旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标；（2）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点O按逆时针方向旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；（3）向量（行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设A是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：．高考模拟卷·数学参考答案题序1234567891011答案BADCDCADADBCDBC1．答案B解题分析由题意，．2．答案A解题分析由题意知，故该抛物线的焦点坐标为．3．答案D解题分析由题可知，，．故200天内团购券的核销量在84到132张的天数大约是．4．答案C解题分析由，知，又，故所求切线方程为，即．5．答案D解题分析因为，，所以．因为，所以．6．答案C解题分析∵平面，平面平面，平面，∴，易知，故．7．答案A解题分析函数，其中，且，由定义域可以排除B．该函数为奇函数，所以C错误．，所以A正确．8．答案D解题分析不妨设点A在双曲线的右支上，则，又∵，则，∴，，，，∴，∴，即，由，知．9．答案AD解题分析的展开式的第项，常数项为，有理项有4项．10．答案BCD解题分析由题意知，，其中．若z为实数，则，不合题意，故A不正确；若z为纯虚数，则，不合题意，即z不可能为纯虚数，故B正确；当时，取得最小值，且最小值为，故C正确；若，则，即（负值已舍去），故D正确．11．答案BC解题分析设正整数的个数为，由题意，，则①，②，得，即，故，故A错误；由，故，故B正确；由题意知，故，故C正确；当时，，故D不正确．12．答案解题分析由，知，解得．13．答案解题分析，其中，，由题意知，则，此时．14．答案解题分析，设，所以原式．令，所以．又函数在上单调递增，所以原式．15．答案（1）．当时，，为减函数；当和时，，为增函数．故函数的极大值为，极小值为．（2）由，可知，又由题意知函数的定义域为，故方程在上有两个不相等的根，则有即．16．解题分析（1）完成列联表如下：性别关注度合计关注没关注男303060女122840合计4258100零假设为：性别与关注度之间无关联．，所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“性别会影响学生对‘嫦娥六号’的关注程度．”（2）因为随机选一个高三的女生，她对此事关注的概率为，而，所以随机变量X的分布列为X0123P故．17．解题分析（1）如图1，记与的交点为O，连接，因为三棱柱是直三棱柱，所以．因为，所以四边形是正方形，故．因为，，所以．又因为是的中点，所以，所以．因为四边形是正方形，所以O是的中点，所以．又因为，平面，，所以平面．（2）因为，，所以．如图2，以C为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，．因为平面，所以平面的一个法向量为．设平面的法向量为，则即解得取，得．设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为．18．解题分析（1）若椭圆C的焦点在x轴上，由题意知，解得；若椭圆C的焦点在y轴上，由题意知，解得．（2）当椭圆C的焦点在x轴上时，的最小值为，当椭圆C的焦点在y轴上时，的最小值为（不合题意），故椭圆C的方程为．设，，则，，因为直线，的斜率之积为，所以，所以。根据对称性可知定点T若