《一元二次不等式及其解法》教学设计

1/33.2一元二次不等式及其解法(名师:向鑫)一、教学目标【核心素养】通过学习一元二次不等式的解法，提升学生的数学运算和逻辑推理能力.【学习目标】（1）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；（3）会解一元二次不等式.【学习重点】从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.【学习难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系.二、教学设计（一）课前设计预习任务任务：预习教材P76—P80,完成P80相应练习题预习自测1.不等式的解集是（）A.B.C.D.答案：A解析：略2.不等式的解集为（）A.B.C.D.答案：B解析：略（二）课堂设计1.知识回顾（1）一元二次方程的方程的解法.（2）二次函数的性质.（3）我们预习本课的一元二次不等式的解法？2.问题探究问题探究一一元二次不等式的含义1.什么是一元二次不等式？阅读与思考：春天来了，熊猫饲养员计划在靠墙的位置为它们圈建一个矩形的室外活动室.现有可以做出20m栅栏的材料，要求使得活动室的面积不小于42m2，你能确定与墙平行的栅栏的长度范围吗？分析：设与墙平行的栅栏长度为（）则依题意得：，整理得：.想一想：（1）该式子是等式还是不等式？（2）该式中含有几个未知数？（3）未知数的最高次数是几次？定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.写一写：请写出5个不同的一元二次不等式.抽象与归纳：用字母代替数，抽象一元二次不等式的一般形式.=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④.2.一元二次不等式的解集与三个二次的关系？（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系观察与思考：（1）一元二次不等式左边的形式，在学过的哪些知识中出现过？一元二次方程；二次函数容易知道：二次方程的有两个实数根：二次函数有两个零点：于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点.（2）一元二次不等式的解集与一元二次方程的根，与一元二次函数的图象，有怎样的关系？一元二次不等式的解集，就是二次函数的图象在部分点的横坐标的集合.抽象与归纳：一般地，一元二次不等式的解集，就是二次函数的图象在部分的点的横坐标的集合.一元二次不等式的解集，就是二次函数的图象在部分的点的横坐标的集合.一元二次方程的解集，就是二次函数的图象在的点的横坐标的集合.可得下表：二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R例1：解不等式.【知识点：一元二次不等式的解法】【解析】两边都乘以－1，并移项，得.因为Δ＞0，方程的解是.所以，原不等式的解集是{x|1－eq\f(\r(3),3)＜x＜1＋eq\f(\r(3),3)}.点拔：解一元二次不等式直接用图解法处理，解题过程中的二次函数图像可画出草稿纸上.例2：已知的解集为{x|－eq\f(1,3)<x<eq\f(1,2)}，设求a、c的值，并解不等式.【知识点：含参不等式的解法,二次函数的图像】【解析】由的解集为{x|－eq\f(1,3)<x<eq\f(1,2)}知a<0，且方程的两根为.由韦达定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,－\f(1,3)＋\f(1,2)＝－\f(2,a),－\f(1,3)×\f(1,2)＝\f(c,a)，))由此得a＝－12，c＝2.此时，即化为.得解集为{x|－2<x<3}.点拔：解决这类问题的关键是善于从题目条件中捕捉到根的信息，然后利用一元二次不等式与方程根的关系解决.例3.解不等式(x3－1)(x2＋2x－3)(x－2)≥0.解析：【知识点：高次不等式的解法】原不等式可化为(x－1)2(x2＋x＋1)(x＋3)(x－2)≥0，即(x－1)2(x＋3)(x－2)≥0.由上图可知原不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2或x＝1}．点拨：解高次不等式的一般方法为数轴标根，其步骤分为两大步：①将不等式化为标准形式，强调不等式右边为0，左边各因式x的系数均为1；②画数轴穿根，强调区别各根是否满足不等式，偶次不穿．3.课堂总结【知识梳理】二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R【思维导图】一元一次不等式研究方法一元一次不等式研究方法解一元二次不等式（及其逆向运用）可化为一元二次不等式的分式不等式解含参一元二次不等式一元二次不等式的解一元二次不等式恒成立一元二次函数图像一元二次方程的根解一元二次不等式（及其逆向运用）可化为一元二次不等式的分式不等式解含参一元二次不等式一元二次不等式的解一元二次不等式恒成立一元二次函数图像一元二次方程的根一元二次不等一元二次不等式及其解法【重难点突破】(1)一元二次不等式与相应函数、方程的关系(2)含参一元二次不等式的解法.4.随堂检测1.已知函数，则当自变量x满足________，函数值等于0；当自变量x满足________，函数值大于0；当自变量x满足________，函数值小于0.答案：x＝1或x＝3；x>3或x<1；1<x<3.解析：【知识点：一元二次不等式的解法,二次函数的图像】2.已知x＝1是不等式的解，求k的取值范围_______.答案：(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)解析：【知识点：一元二次不等式的解法,二次函数的图像】3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表：x－3－2－101234y60－4－6－6－406则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________.答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)解析：【知识点：一元二次不等式的解法,二次函数的图像】4.若关于x的不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是______.答案：0≤k<3解析：【知识点：一元二次不等式的解法,二次函数的图像】5.已知集合A＝{x|}，B＝{x|0<x＋a<4}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围________.答案：1≤a≤2解析：【知识点：一元二次不等式的解法,二次函数的图像】三、课后作业基础型自主突破1.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是（）A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(2,3)≤x≤\f(1,2)))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤－\f(2,3)或x≥\f(1,2)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≥\f(1,2)))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤－\f(3,2)))答案：B解析：【知识点：一元二次不等式的解法】2.不等式eq\f(x－1,x＋2)<0的解集为（）A.(1，＋∞)B.(－∞，－2)C.(－2,1)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案：C解析：【知识点：一元二次不等式的解法,分式不等式的解法】3.不等式的解集为（）A.B.RC.D.答案：C解析：【知识点：一元二次不等式的解法】4.若0＜m＜1，则不等式(x－m)(x－eq\f(1,m))＜0的解集为（）A.{x|eq\f(1,m)＜x＜m}B.{x|x＞eq\f(1,m)或x＜m}C.{x|x＞m或x＜eq\f(1,m)}D.{x|m＜x＜eq\f(1,m)}答案：D解析：【知识点：一元二次不等式的解法】5.不等式的解集是_____________.答案：解析：【知识点：一元二次不等式的解法】6.解下列不等式：(1)(x＋3)(2－x)≤4；(2)；(3).答案：见解析解析：【知识点：一元二次不等式的解法】(1)(x＋3)(2－x)≤4⇔(x＋3)(x－2)≥－4⇔⇔⇔(x＋2)(x－1)≥0.∴原不等式的解集为{x|x≤－2或x≥1}.(2)∵，∴.即解不等式.由求根公式知.∴的解集是{x|x<eq\f(1－\r(5),2)或x>eq\f(1＋\r(5),2)}.∴原不等式的解集为{x|x<eq\f(1－\r(5),2)或x>eq\f(1＋\r(5),2)}.(3)原不等式的解集为{x|－eq\r(2)<x<eq\r(2)}.能力型师生共研7.若不等式的解集为，则的取值范围是（）A.B.C.D.答案：B解析：【知识点：一元二次不等式的解法,二次函数的图像】8.不等式的解集是，则（）A.B.C.D.答案：C解析：【知识点：一元二次不等式的解法,二次函数的图像】9.不等式的解集是（）A.B.C.D.答案：D解析：【知识点：一元二次不等式的解法,指数函数的性质】10.不等式－1<x2＋2x－1≤2的解集是________.答案：{x|－3≤x<－2或0<x≤1}解析：【知识点：一元二次不等式的解法,二次函数的图像】探究型多维突破11.若不等式|2x－3|>4与关于x的不等式的解集相同，则的解集是（）A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(7,2)或x<－\f(1,2)))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(7,2)))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(7,2)或x>\f(1,2)))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)<x<\f(1,2)))))答案：D解析：【知识点：一元二次不等式的解法,二次函数的图像】由|2x－3|>4得2x－3>4或2x－3<－4，则x>eq\f(7,2)或x<－eq\f(1,2).由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－p＝\f(7,2)－\f(1,2)，,q＝\f(7,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)－\f(7,2)，,q＝\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)))，))对应方程的两根分别为eq\f(1,2)，－eq\f(7,2)，则的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)<x<\f(1,2))))).12.已知函数的图像都在x轴的上方，求实数k的取值范围.答案：见解析解析：【知识点：一元二次不等式的解法,二次函数的图像】(1)当时，k＝－5或k＝1.若k＝－5，则y＝24x＋3的图像不可能都在x轴的上方.若k＝1，则y＝3的图像都在x轴的上方.(2)当时，则所给二次函数应满足，即，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＜－5，或k＞1,1＜k＜19，))解得1＜k＜19.综上所述，1≤k＜19.四、自助餐1.不等式－x2－x＋2≥0的解集为（）A.{x|x≤2或x≥1}B.{x|－2<x<1}C.{x|－2≤x≤1}D.∅答案：C解析：【知识点：一元二次不等式的解法】2.不等式的解集为（）A.B.RC.D.答案：A解析：【知识点：一元二次不等式的解法】3.设集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x∈R}，则集合A∩Z中元素的个数是（）A.4B.5C.6D.7答案：C解析：【知识点：一元二次不等式的解法】4.已知集合，，则集合=（）A.B.C.D.答案：C解析：【知识点：一元二次不等式的解法】5.函数y＝lg(x2－4)＋eq\r(x2＋6x)的定义域是（）A.(－∞，－2)∪[0，＋∞)B.(－∞，－6]∪(2，＋∞)C.(－∞，－2]∪[0，＋∞)D.(－∞，－6)∪[2，＋∞)答案：B解析：【知识点：一元二次不等式的解法,函数的定义域】6.已知集合，，且，则a的取值范围为（）A.B.C.D.答案：A解析：【知识点：一元二次不等式的解法】7.若，则不等式的解是（）A.B.C.或D.或答案：A解析：【知识点：一元二次不等式的解法,】8.不等式解集为，则的值为（）A.B.C.D.答案：B解析：【知识点：一元二次不等式的解法,二次函数的图像】9.若，则的解集是__________.答案：解析：【知识点：一元二次不等式的解法,二次函数的图像】10.若关于x的不等式eq\f(x－a,x＋1)>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝______.答案：4解析：【知识点：一元二次不等式的解法,二次函数的图像】11.解下列不等式：（1）；（2）.答案：见解析解析：【知识点：一元二次不等式的解法】（1）不等式可化为，∴不等式的解集是；（2）的根为，∴不等式的解集是.12.若关于x的不等式的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\